第一部分《画法几何》复习大纲Word文档下载推荐.docx

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正面投影与水平投影长度相等且对正；

正面投影与侧面投影高度相等且平齐；

水平投影与侧面投影宽度相等。

这种关系简称为“长对正、高平齐、宽相等”，也称为“三等”规律。

（3）在投影图上能反映形体六个向度之间的关系：

即正面投影反映形体左右、上下关系；

水平投影反映形体左右、前后关系；

侧面投影反映形体上下、前后关系。

二．基本形体的投影

1．平面体的投影

表面全部由若干个平面围成的立体称为平面体。

常见的平面体有棱柱和棱锥。

1）棱柱

棱柱的各个侧棱相互平行，两底面为多边形，若其底面垂直于侧棱，则为直棱柱，否则为斜棱柱，底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。

正六棱柱上、下底面平行于H面，水平投影反映其实形，六个棱面均垂直于H面，水平投影积聚为正六边形；

前后两侧面平行于V面，正面投影反映实形，侧面投影积聚成铅垂直线段；

其他四个棱面均为铅垂面，正面、侧面投影都是类似图形。

由此可得正棱柱的投影特点：

在垂直于侧棱线的投影面上的投影反映底面实形（正多边形），其他投影均为矩形，且棱线的投影相互平行。

2）棱锥

棱锥的所有侧棱线都交于锥顶，侧棱面均为三角形，当底面为正多边形且锥顶与底面中心的连线垂直于底面时称为正棱锥。

底面水平放置的正三棱锥的投影图，H投影中等边三角形为底面的实形，因三棱锥的三个侧面均倾斜于H面，三个同样大小的三角形为各侧面的H投影；

V投影为两个全等的直角三角形组合成的等腰三角形；

W投影为一个三角形，是左、右两侧面的重合投影，三角形的底边及左边分别是三棱锥底面和后侧面的重合投影，三角形的底边及左边分别是三棱锥底面和后侧面的积聚投影。

由此可得棱锥的投影特性：

当底面平行于某一投影面时，在该投影面上的投影为底面的实形，内部有若干个共顶点的等腰三角形；

其余投影为一个或多个三角形。

2．曲面体的投影

1）圆柱

圆柱是由一条直线绕着与之平行的轴线旋转一周而形成的，也可认为是由无数条与轴线平行且等距的直线围成。

圆柱轴线垂直于H面的正圆柱，它的水平投影为圆，反映上、下底面的实形，同时也是圆柱面上所有素线的积聚投影；

圆柱的其他两投影为由上、下底面的积聚投影及圆柱面上转向素线的投影围成的矩形，V投影是圆柱最左、最右素线的投影；

W投影是圆柱最前、最后素线的投影。

在作图时还要注意，圆柱投影要画对称线，用单点长画线表示。

2）圆锥

圆锥由一直线绕着与之相交的轴线旋转一周而形成。

圆锥面上的所有素线与轴线交于一点，称为锥顶。

一轴线垂直于H面的正圆锥的投影。

与圆柱投影相似，圆锥的投影图上只画轮廓素线的投影及底圆的投影。

H投影为一个圆，它既是底圆反映实形的投影，又是圆锥面的投影；

其V投影和W投影是两个大小相同的等腰三角形，三角形的底边是圆锥底面的积聚投影，其他两边是圆锥转向素线的投影，其中V投影是锥面最左、最右素线的投影，W投影是锥面最前、最后素线的投影。

3）圆球

圆球是圆绕其任一根直径（轴线）旋转而成的。

球的三面投影都是圆，其直径、大小都相等。

球的V面投影中的圆是过球心且平行于V面的子午线圆的投影；

H面投影中的圆是过球心的水平赤道圆的投影；

W面投影中的圆是过球心平行于W面的子午线圆的投影。

这三个圆的三面投影分别是正面、水平面、侧面的外轮廓线，三个圆的另两投影积聚为直线段，长度等于球的直径，与中心线重合，一般仍用单点长画线来表示。

3．三面投影图的作图步骤

绘制形体的三面投影除了遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影原则外，还要注意形体各部分的左右、上下、前后位置关系，具体作图步骤如下：

（1）分析形体的形状特征，以能较全面地反映形体形状特征的一面作为V投影的方向。

（2）布局。

估计各投影所占幅面大小，根据绘图比例将图均匀布置在图纸上，先画出各图的基准线。

如对称线、底边线、端面线、曲面体的轴线、中心线等。

（3）画V投影或最具特征的投影，根据“三等”关系，作出其他投影。

（4）检查无误后，擦去多余的作图线，加粗图线。

三．点的投影

1．点的三面投影

在V和H两投影面体系中加设与H和V都垂直的侧立投影面W面（简称W面），即得三投影面体系，W面与V和H面的交线分别称为投影轴OZ和OY。

按前述方法求得在H面和V面上的投影a和a′之后，再过点A向W面作垂线，与之相交于a″，点a″即为点A的W面投影，于是得点A的三面投影。

按规定，点的W面投影用相应的小写字母加两撇标记。

得出点在三面体系中的投影规律：

（1）一点的正面投影和水平投影必在同一竖直投影连线上（长对正）。

（2）一点的正面投影和侧面投影必在同一水平投影连线上（高平齐）。

（3）一点的水平投影至OX轴的距离，等于其侧面投影至OZ轴的距离（宽相等）。

点A至W面的距离：

Aa″=a′aZ=aaYH；

点A至V面的距离：

Aa′=aaX=a″aZ；

点A至H面的距离：

Aa=a′aX=a″aYW。

这些投影特性可概括地用“长对正，高平齐,宽相等”九个字去表达。

根据上述投影规律，只要已知点的任意两投影，即可求其第三投影。

例3-1已知一点B的V和W面投影b′和b″，求H面投影b。

解

（1）按第一条规律，过b′作OX轴的垂线，与OX轴交于点bX。

（2）按第二条规律，在所作垂线上量取bXb=bZb″得点b，即为所求。

作图时，也可借助于过O所作的45°

斜线Ob0，作图过程如箭头所示。

2．点的投影与坐标

研究点的坐标，也就是研究点与投影面的相对位置。

可把三个投影面看做三个坐标面，三根投影轴看做三根坐标轴：

点A到W面的距离为x坐标；

点A到V面的距离为y坐标；

点A到H面的距离为z坐标。

因此，点的投影与坐标的关系为：

（1）点A的H面投影a可反映该点的x和y坐标。

（2）点A的V面投影a′可反映该点的x和z坐标。

（3）点A的W面投影a″可反映该点的y和z坐标。

空间点A若用坐标表示，可写成A（x，y，z），此时，它的三个投影的坐标分别为a（x，y），a′（x，z）和a″（y，z）。

如已知一点A的三投影a，a′和a″，就可从图上量出该点的三个坐标；

反之，如已知点A的三个坐标，就能作出该点的三面投影。

3．两点的相对位置

空间两点的相对位置是以其中某一点为基准，判别另一点相对于该点的前后、左右和上下的位置。

这可利用它们在投影图中各组同面投影的相对位置或比较各组的同名坐标值来确定。

在三面投影中，规定：

OX轴向左、OY轴向前、OZ轴向上为三条轴的正向。

如图3-7a所示，若以点B为基准，因xa＜xb，ya＜yb，za＞zb，故知点A在点B的右、后、上方。

4．重影点及其可见性的判别

当空间两点位于同一垂直于某投影面的投射线上时，此两点在该投影面上的投影互相重合，此空间两点称为对该投影面的重影点。

A和B两点在同一垂直于H面的投射线上，这时点A在点B的正上方，它们的投影a和b互相重合，故称点A和B为对H面的重影点。

至于a和b两个投影的可见性，可从V面投影（或W面投影）进行判别。

因a′高于b′（或a″高于b″），即点A在点BB之正上方，故a为可见，b为不可见。

为了区别起见，凡不可见投影的字母写在后面，并加括号表示，如在图3-8b，c，d中，（b）在a之后，（d′）在c′之后，（f″）在e″之后。

四．直线的投影

按直线与投影面的相对位置可分为：

一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线三种，后两种统称为特殊位置直线。

1．一般位置直线

对三投影面不平行又不垂直的直线称一般位置直线（简称一般线）。

图为一般位置直线的立体图，直线和它在某一投影面上的投影所形成的夹角，称为直线对该投影面的倾角。

对H面的倾角用α表示，对V和W面的倾角分别用β和γ表示。

一般线的投影特性如下：

（1）由图看出：

ab=ABcosα，a′b′=ABcosβ，a″b″=ABcosγ，而α，β和γ均介于0°

与90°

之间，cosα，cosβ和cosγ均小于1，故一般线的三个投影都小于实长。

（2）一般线上各点到同一投影面的距离不等，所以各投影面上的投影都倾斜于投影轴。

读图时，一直线只要有两个投影是倾斜的，它一定是一般线。

（3）各投影与相应的投影轴所成的夹角，都不反映直线对各投影面的真实倾角。

2．投影面平行线

1）空间位置

只平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线，称为该投影面的平行线，它有三种情况：

（1）与V面平行的直线称为正面平行线，简称正平线。

（2）与H面平行的直线称为水平面平行线，简称水平线。

（3）与W面平行的直线称为侧面平行线，简称侧平线。

2）投影特性

总而言之：

投影面平行线在它所平行的投影面上的投影是倾斜的，反映实长。

这个实长投影与投影轴的夹角反映该投影面平行线对相应投影面的倾角实形。

其余两投影均小于实长，且平行于相应的投影轴。

3）读图

一直线如果有一个投影平行于投影轴而另有一个投影倾斜时，它必然是一条投影面平行线，平行于该倾斜投影所在的投影面。

3．投影面垂直线

垂直于投影面的直线统称为投影面垂直线。

垂直于一个投影面的直线必同时平行于其他两个投影面。

投影面垂直线也有三种情况。

（1）与V面垂直的直线称为正面垂直线，简称正垂线。

（2）与H面垂直的直线称为水平面垂直线，简称铅垂线。

（3）与W面垂直的直线称为侧面垂直线，简称侧垂线。

投影面垂直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点。

由于投影面垂直线同时与其他两投影面平行，其上各点到相应投影面的距离相等，所以其他两投影与相应的投影轴平行，并都反映该线段的实长。

3）读图

一直线只要有一个投影积聚为一点，它必然是一条投影面垂直线，该垂直线垂直于积聚投影所在的投影面。

4．两直线的相对位置

两直线的相对位置可归纳为三种情况

（1）两直线互相平行。

（2）两直线相交。

（3）两直线交叉。

由于两平行直线或两相交直线都在同一平面上，所以它们称为共面直线。

两交叉直线不在同一平面上，所以称为异面直线。

现将三种情况分述。

1）平行两直线

根据平行投影的特性可知：

两平行直线在同一投影面上的投影相互平行。

若AB∥CD，则ab∥cd，a′b′∥c′d′，a″b″∥c″d″。

反之，若两直线的同面投影互相平行，则此空间两直线一定互相平行。

2）相交两直线

如图所示的AB和CD为相交两直线，其交点K为两直线的共有点，它既是AB上的点，又是CD上的点。

由于直线上点的投影必在该直线的同面投影上，因此，点K的H面投影k应在ab上，又应在cd上。

这样k必然是ab和cd的交点。

同理k′必然是a′b′和c′d′的交点（若在三投影面体系中，k″也必然是a″b″和c″d″的交点）。

由此可得：

相交两直线，其同面投影必相交，且各投影交点的连线必垂直于相应的投影轴（即符合点的投影规律）。

3）交叉两直线

交叉两直线既不互相平行，也不相交。

它们的投影可能有一对或两对同面投影互相平行，但决不可能三对同面投影都互相平行。

交叉两直线也可表现为一对、两对或三对同面投影相交，但这些交点只不过是两直线上对某个、两个或三个投影面的一对重影点的重合投影，这些交点的连线肯定不符合点的投影规律。

4）相互垂直两直线

垂直相交两直线，两直角边与投影面的相对位置可有下列三种情况，它们的投影特性分别是：

（1）当直角的两边都与投影面不平行时，在该投影面上投影不是直角。

（2）当直角的两边都与投影面平行时，在该投影面上的投影仍是直角。

（3）当直角中有一条边与某一投影面平行时，此直角在该投影面上的投影仍反映直角。

五．平面的投影

1．平面的表示法

平面是广阔无边的，它的空间位置常以确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素表示：

（1）不在同一直线上的三点，如图a所表示的点A，B，C。

（2）一直线和线外一点，如图b所表示的点C和直线AB。

（3）平行两直线，如图c所表示的直线AB和CD。

（4）相交两直线，如图d所表示的直线AB和BC。

（5）任意平面图形，如图e所表示的△ABC。

以上五种表示平面的方法，虽表达的形式不同，却都表示同一个平面，并能互相转换。

2．平面对投影面的相对位置

平面对投影面的相对位置，归纳起来有一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面三种，后两种统称为特殊位置平面。

平面与水平面H、正立面V、侧立面W的夹角，称为该平面对投影面H，V，W的倾角，分别用α，β，γ表示。

1）一般位置平面

（1）空间位置：

与三个投影面既不平行也不垂直的平面称为一般位置平面，简称一般面，如图所示的△ABC。

（2）投影特性：

由于一般面不垂直于三个投影面，所以一般面的各个投影都没有积聚性。

用几何图形表示的平面，各个投影都成类似的几何形状，但均小于实形，如图所示。

（3）读图：

一平面的三个投影如果都是平面图形，它必然是一般位置平面。

2）投影面垂直面

垂直于一个投影面，倾斜于其他两个投影面的平面称投影面垂直面，简称垂直面，如表3-3所示，垂直面有三种情况：

①垂直于H面的平面称为水平面垂直面，简称铅垂面，如表3-3中的△ABC。

②垂直于V面的平面称为正面垂直面，简称正垂面，如表3-3中△DEF。

③垂直于W面的平面称为侧面垂直面，简称侧垂面，如表3-3中的平面ABCD。

投影面垂直面在它所垂直的投影面上的投影，积聚成一条与投影轴倾斜的直线。

这个积聚投影与相应投影轴所成的夹角，即为该平面对相应投影面的倾角；

倾角是指平面与投影面所夹的二面角。

其他两投影是类似图形，但小于实形。

一平面只要有一个投影是一条倾斜的直线（积聚投影），它必然是该积聚投影所在的投影面的垂直面。

3）投影面平行面

平行于某一投影面的平面，称为投影面平行面，简称平行面。

它也有三种情况：

①与H面平行的平面称为水平面平行面，简称水平面，如表中的△ABC。

②与V面平行的平面称为正面平行面，简称正平面，如表中的△DEF。

③与W面平行的平面称为侧面平行面，简称侧平面，如表中的△KMN。

（2）投影特性:

投影面平行面在它所平行的投影面上的投影，反映该平面图形的实形。

其他两投影都积聚成与相应投影轴平行的直线。

一平面只要有一个投影积聚为一条平行于投影轴的直线，该平面必为平行于非积聚投影所在的投影面的平面。

那个非积聚投影反映该平面图形的实形。

六．直线与平面、平面与平面的相对位置

1．直线与平面、平面与平面平行

1）直线与平面平行

从立体几何学可知，若平面外一直线与平面内的任一直线平行，则此直线与该平面平行。

如果直线与平面同时垂直于某一投影面时，那么该直线与该平面平行。

如果直线与投影面垂直面的积聚投影的同面投影平行，那么该直线与投影面垂直面平行。

2）平面与平面平行

从立体几何学可知，若一平面上的相交两直线与另一平面上的相交两直线对应平行，则该两平面互相平行。

若两平行平面同时垂直于某一投影面,则它们在该投影面上的积聚投影必定相互平行。

3）直线与平面、平面与平面相交

直线与平面或平面与平面之间，若不平行，则必相交。

直线与平面相交有一个交点，它是直线与平面的共有点，既在直线上，又在平面上。

平面与平面相交必有一条交线，它是两平面的共有线，由一系列共有点组成。

求交线时，只要求出交线上的两个共有点或一个共有点和交线的方向，用直线相连即得。

当相交的直线与平面或平面与平面在投影图中投影相重时，为增强图形的清晰感，须判别它们的可见性，把被平面遮住的部分画成虚线。

一般位置直线与投影面垂直面相交

一般位置平面与投影面垂直面相交

一般位置直线与一般位置平面相交

一般位置平面与一般位置平面相交

直线与平面垂直

由立体几何学可知：

若一直线垂直于一平面上的两条相交直线，那么这条直线必垂直于该平面。

反之，若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面上的所有直线。

由此得出直线与平面垂直的投影特性：

若直线垂直于平面，则直线的水平投影垂直于该平面上的水平线的水平投影、直线的正面投影垂直于该平面上的正平线的正面投影、直线的侧面投影垂直于该平面上的侧平线的侧面投影。

反之，如果一直线垂直于一平面上的一对相交直线，即直线的水平投影垂直于该平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于该平面上正平线的正面投影，则此直线一定垂直于该平面。

两平面互相垂直

两平面互相垂直，是两平面相交的特殊情况。

若一直线垂直于一平面，则包含此直线所作的一切平面均垂直于该平面。

由此推知：

若两平面互相垂直，则由第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，必在第一个平面上。

七．立体表面的交线

假想用来截割立体的平面称为截平面。

截平面与立体表面的交线称为截交线。

由截平面所截得的图形称为截断面或断面，断面是截交线围成的平面图形。

根据立体表面几何属性的不同，截交线可分为平面体的截交线（图a）和曲面体的截交线（图b）两类。

两立体相交，也称两立体相贯，两相交立体的表面交线称为相贯线。

根据立体表面几何性质的不同，相贯两立体有三种情况：

两平面立体相贯、平面立体与曲面立体相贯和两曲面立体相贯。

1．平面体的截交线

平面截割平面体产生的截交线为一个封闭的平面多边形。

多边形的形状或边数由平面体上参与相交的棱线、上（下）底边的数目来决定；

或由平面体上参与相交的棱面或底面的数目来决定。

截交线是截平面与立体表面的共有线，共有线由共有点确定。

求截交线的实质是求截平面与立体表面的共有点和共有线。

求平面体截交线的方法，可归结为先求平面体各棱线及底边与截平面的交点，然后依次连接得截交线；

或者求平面体各棱面及底面与截平面的交线围成截交线。

连接交点时，只有位于同一棱面上的两点才能相连。

1）棱柱的截交线

求平面体截交线的投影时，要先分析平面体未被截割前的形状、截平面与平面体的相对位置，确定截交线的形状；

再分析截平面与投影面的相对位置，弄清楚截交线的投影特性；

然后求作截交线。

2）棱锥的截交线

例6-3已知正三棱锥被正垂面P截割的V投影及部分H投影，补全H投影并求W投影。

解

（1）空间及投影分析：

如图所示，三棱锥底面平行于H面，后侧棱面垂直于W面，其余侧棱面为一般面。

截平面P与三棱锥的三条棱线及三个侧棱面相交，截交线为一个三角形，即△ⅠⅡⅢ。

截平面P是正垂面，其截交线的V投影与PV重合，按照正垂面与一般位置直线求交点的方法作图。

（2）作图（如图所示）：

①根据投影关系，量取Ys和Yb作出三棱锥的W投影；

②求交点Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ:

在V投影上利用PV的积聚性直接求得交点1′2′3′。

根据“高平齐”由点1′，2′和3′向右作投影连线，求出各交点的W投影1″，2″，3″。

按“长对正”由点1′和3′向下作投影连线，求得1和3。

点2可根据2″量取Y2求得；

也可通过棱面SAB上辅助线DⅡ平行于AB求出，即过2′作辅助线d′2′∥a′b′，求出d，再作d2∥ab，交在sb上得2（用于无W投影时）。

③依次连接各点，并判别可见性：

把位于同一棱面上的两点依次连接得截交线的H投影123，W投影1″2″3″。

因P面将三棱锥的左、上部分截去，故截交线的H和W投影均为可见，画成实线。

例6-4已知带缺口的正四棱锥的V投影及部分H投影（图6-7a）,补全H投影并求W投影。

由图可知，四棱锥的缺口是由水平面P、侧平面R和正垂面Q三个平面截割而成的，而且三个截平面都是局部截割四棱锥。

先求水平面P与四棱锥的截交线，其截交线为底面四边形ABCD的类似形，求出P面与棱线SA的交点Ⅰ后，可得到P面截交线（开口四边形）。

同样可求正垂面Q与四棱锥的截交线，扩大Q面,求出Q面与棱线SC的交点N，可得到Q面截交线（开口四边形）。

求出P面和Q面截交线后，R面截交线可自然得到（两条直线）。

最后求出三个截平面两两之间的交线。

①求P面与四棱锥的截交线。

；

②求Q面与四棱锥的截交线；

③求R面与四棱锥的截交线。

④求截平面之间的交线。

⑤判别可见性，完成形体的投影。

2．曲面体的截交线

平面截割曲面体产生的截交线一般为封闭的平面曲线；

有时为由平面曲线与直线组成的封闭平面图形；

特殊情况下为一个平面多边形。

曲面体截交线上的每一点,都是截平面与曲面体表面的共有点。

求截交线时,要先求出一系列共有点,然后依次光滑连接相邻各点，即得曲面体截交线。

求共有点时，应先求它的特殊点：

如极限位置点（最高、最低、最左、最右、最前、最后点），曲面体投影轮廓线与截平面的交点，可见性分界点；

再根据需要求一般点。

1）圆柱的截交线

根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同,圆柱面的截交线有三种形状：

圆、椭圆、两平行直线，如表所示。

例6-5如图所示，圆柱被截平面P截割,求截交线的投影和断面实形。

从图可知，圆柱轴线垂直于W面，截平面P垂直于V面，并且与圆柱轴线斜交，截交线为一椭圆。

椭圆的长轴AB平行于V面，短轴CD垂直于V面。

椭圆的V投影积聚为一直线段（与PV重合），椭圆的W投影为一个圆，重合在圆柱面的W面积聚投影（圆周）上，只需求出截交线椭圆的H投影，即求出椭圆上的共有点（特殊点和一般点），依次连接得截交线。

（2）作图：

①求特殊点，即求长、短轴的端点A和B，C和D：

PV与圆柱最高、最低素线的V投影的交点a′和b′，即为长轴端点A和B的V投影，PV与圆柱最前、最后素线的V投影的交点c′（d′）,即为短轴端点C和D的V投影。

据此求出长、短轴端点的H投影a和b，c和d；

②求一般点：

为使作图准确，需要再求截交线