高一数学函数最值问题教案Word文档下载推荐.docx

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预案：

（1）当天最高温度、最低温度以及何时达到；

（2）在某时刻的温度；

（3）某些时段温度升高，某些时段温度降低．

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：

用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．

函数图象上任意点P的坐标（x，y）的意义：

横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x

时对应的函数值的大小．

（3）图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．

（4）由于点C是函数y＝f（x）图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f（x）≤f（x0），也就是对函数y＝f（x）的定义域内任意x，均有f（x）≤f（x0）成立．

（5）一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；

②存在x0∈I，使得f（x0）＝M.

那么，称M是函数y＝f（x）的最大值．

（6）f（x）≤M反映了函数y＝f（x）的所有函数值不大于实数M；

这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐

标是M.

（7）函数图象上最高点的纵坐标．

（8）函数y＝－2x＋1，x∈（－1，＋∞）没有最大值，因为函数y＝－2x＋1，x∈（－1，＋∞）的图象没有最高点．

（9）不是，因为该函数的定义域中没有－1.

（10）讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；

函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．

（1）函数最小值的定义是：

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；

那么，称M是函数y＝f（x）的最小值。

函数最小值的几何意义：

函数图象上最低点的纵坐标．

（2）讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；

函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．

类型一函数最值的求法

画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值．

【解析】：

函数图象如图所示．

由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和[0,1]

上是上升的，在[－1,0]和（1，＋∞）上是下降的，最高点是（±

1,4），

故函数在（－∞，－1），[0,1]上是增函数；

函数在[－1,0]，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4.

【总结与反思】本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法．求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题．

类型二单调法求函数最值

求函数y＝2x－1在区间[2,6]上的最大值和最小值．

【解析】设2≤x1＜x2≤6，则有f（x1）－f（x2）＝

∵2≤x1＜x2≤6，∴x2－x1＞0，（x1－1）（x2－1）＞0.

∴f（x1）＞f（x2），即函数y＝在区间[2,6]上是减函数．

∴当x＝2时，函数y=在区间[2,6]上取得最大值f

（2）＝2；

当x＝6时，函数y＝在区间[2,6]上取得最小值f（6）＝25.

【总结与反思】

单调法求函数最值：

先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；

常用到下面的结论：

①如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上单调递增，在区间[b，c）上单调递减，则函数y＝f（x）在x＝b处有最大值f（b）；

②如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上单调递减，在区间[b，c）上单调递增，则函数y＝f（x）在x＝b处有最小值f（b）.

类型三函数最值的应用

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h（t）＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？

这时距地面的高度是多少？

（精确到1m）

作出函数h（t）＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象，如图所示，

显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．

由二次函数的知识，对于函数h（t）＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有：

当时，函数有最大值.

即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.

本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力．解应用题的步骤是：

①审清题意读懂题；

②将实际问题转化为数学问题来解决；

③归纳结论．

注意：

要坚持定义域优先的原则；

求二次函数的最值要借助于图象即数形结合．

1．若函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是________．

2．已知函数y＝x＋，下列说法正确的是________．（填序号）

①有最小值，无最大值；

②有最大值，无最小值；

③有最小值，最大值2；

④无最大值，也无最小值．

3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________．

答案与解析

1.【答案】

（－∞，－3]

【解析】由二次函数的性质，可知4≤－（a－1），

解得a≤－3.

2.【答案】①

【解析】∵在定义域上是增函数，

∴，即函数最小值为，无最大值．

3.【答案】[1,2]

【解析】由y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2知，

当x＝1时，y的最小值为2，

当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.

由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.

1．函数的值域是________．

2．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b]（a<

b<

3）有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝__________.

3．若，则函数的最大值为________．

（0,2]

【解析】观察可知y>

0，当|x|取最小值时，y有最大值，

所以当x＝0时，y的最大值为2，即0<

y≤2，

故函数y的值域为（0,2]．

2.【答案】－20

【解析】y＝－（x－3）2＋18，∵a<

3，

∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，

得b＝0（b＝6不合题意，舍去）

－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2（a＝8不合题意，舍去）．

3.【答案】2

【解析】函数在上是单调递增函数，

故.

1．已知函数f（x）＝x2－2x＋2.

（1）求f（x）在区间上的最大值和最小值；

（2）若g（x）＝f（x）－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．

2．若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.

（1）求f（x）的解析式；

（2）若在区间[－1,1]上不等式f（x）>

2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

1.【答案】同解析

【解析】

（1）∵f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，，

∴f（x）的最小值是f

（1）＝1，

又,f（3）＝5，

所以，f（x）的最大值是f（3）＝5，

即f（x）在区间上的最大值是5，最小值是1.

（2）∵g（x）＝f（x）－mx＝x2－（m＋2）x＋2，

∴或，即m≤2或m≥6.

故m的取值范围是（－∞，2]∪[6，＋∞）．

2.【答案】同解析

（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1，∴c＝1，

∴f（x）＝ax2＋bx＋1.

∵f（x＋1）－f（x）＝2x，

∴2ax＋a＋b＝2x，

∴∴f（x）＝x2－x＋1.

（2）由题意：

x2－x＋1>

2x＋m在[－1,1]上恒成立，

即x2－3x＋1－m>

0在[－1,1]上恒成立．

令，

其对称轴为，

∴g（x）在区间[－1,1]上是减函数，

∴g（x）min＝g

（1）＝1－3＋1－m>

0，

∴m<

－1.

利用单调性求函数的最大（小）值：

（1）定义最大值：

设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：

对于任意的x∈I，都有≤M；

存在x0∈I，使得=M.那么，称M是函数的最大值（MaximumValue）.仿照最大值定义，可以给出最小值（MinimumValue）的定义.

（2）配方法：

研究二次函数的最大（小）值，先配方成后，当时，函数取最小值为；

当时，函数取最大值.

（3）单调法：

一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.

（4）图象法：

先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.

1．如果函数f（x）＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f（1＋x）＝f（－x），那么f（－2），f（0），f

（2）的大小关系为________．

2．函数y＝|x－3|－|x＋1|的________．（填序号）

①最小值是0，最大值是4；

②最小值是－4，最大值是0；

③最小值是－4，最大值是4；

④没有最大值也没有最小值．

3．函数的最大值是________．

1.【答案】f（0）<

f

（2）<

f（－2）

【解析】依题意，由f（1＋x）＝f（－x）知，

二次函数的对称轴为x＝，

因为f（x）＝x2＋bx＋c开口向上，

且f（0）＝f

（1），f（－2）＝f（3），

由函数f（x）的图象可知，[，＋∞）为f（x）的增区间，

所以f

（1）<

f（3），即f（0）<

f（－2）．

2.【答案】③

【解析】y＝|x－3|－|x＋1|=.

因为[－1,3）是函数y＝－2x＋2的减区间，

所以－4≤y≤4，综上可知③正确．

3.【答案】

1.求函数的最大值．

2.将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

【解析】令

原函数得最大值为

【解析】设利润为元，每个售价为元，则每个涨（－50）元，从而销售量减少

∴

答：

为了赚取最大利润，售价应定为70元．

1．已知函数f（x）＝3－2|x|，g（x）＝x2－2x，构造函数F（x），定义如下：

当f（x）≥g（x）时，F（x）＝g（x）；

当f（x）<

g（x）时，F（x）＝f（x），那么F（x）________．（填序号）

①有最大值3，最小值－1；

②有最大值3，无最小值；

③有最大值，无最小值；

2．已知函数f（x）＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.

（1）若a＝1，作函数f（x）的图象；

（2）设f（x）在区间[1,2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

1.【答案】③

【解析】　

画图得到F（x）的图象：

射线AC、抛物线及射线BD三段，

联立方程组y＝2x＋3，y＝x2－2x，

得，

代入得F（x）的最大值为，

由图可得F（x）无最小值．

2.【答案】同解析

（1）当a＝1时，f（x）＝x2－|x|＋1

=

作图（如右所示）

（2）当x∈[1,2]时，f（x）＝ax2－x＋2a－1.

若a＝0，则f（x）＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，

g（a）＝f

（2）＝－3.

若a>

0，则

f（x）图象的对称轴是直线x＝.

当0<

<

1，即a>

时，f（x）在区间[1,2]上是增函数，

g（a）＝f

（1）＝3a－2.

当1≤≤2，即≤a≤时，

g（a）＝＝，

当>

2，即0<

a<

时，f（x）在区间[1,2]上是减函数，

g（a）＝f

（2）＝6a－3.

综上可得g（a）＝