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8

55

A3

1

51

A4

43

A5

41

A6

52

销量

35

37

22

32

38

使用LINGO软件，编制程序如下：

model:

!

6发点8收点运输问题;

sets:

warehouses/wh1..wh6/:

capacity;

vendors/v1..v8/:

demand;

links（warehouses,vendors）:

cost,volume;

endsets

目标函数;

min=@sum（links:

cost*volume）;

需求约束;

@for（vendors（J）:

@sum（warehouses（I）:

volume（I,J））=demand（J））;

产量约束;

@for（warehouses（I）:

@sum（vendors（J）:

volume（I,J））<

=capacity（I））;

这里是数据;

data:

capacity=605551434152;

demand=3537223241324338;

cost=62674295

49538582

52197433

76739271

23957265

55228143;

enddata

end

为了能够使用LINGO的强大功能，接着第二节的学习吧。

2LINGO中的集

对实际问题建模的时候，总会遇到一群或多群相联系的对象，比如工厂、消费者群体、交通工具和雇工等等。

LINGO允许把这些相联系的对象聚合成集（sets）。

一旦把对象聚合成集，就可以利用集来最大限度的发挥LINGO建模语言的优势。

现在我们将深入介绍如何创建集，并用数据初始化集的属性。

学完本节后，你对基于建模技术的集如何引入模型会有一个基本的理解。

2.1为什么使用集

集是LINGO建模语言的基础，是程序设计最强有力的基本构件。

借助于集，能够用一个单一的、长的、简明的复合公式表示一系列相似的约束，从而可以快速方便地表达规模较大的模型。

2.2什么是集

集是一群相联系的对象，这些对象也称为集的成员。

一个集可能是一系列产品、卡车或雇员。

每个集成员可能有一个或多个与之有关联的特征，我们把这些特征称为属性。

属性值可以预先给定，也可以是未知的，有待于LINGO求解。

例如，产品集中的每个产品可以有一个价格属性；

卡车集中的每辆卡车可以有一个牵引力属性；

雇员集中的每位雇员可以有一个薪水属性，也可以有一个生日属性等等。

LINGO有两种类型的集：

原始集（primitive　set）和派生集（derivedset）。

一个原始集是由一些最基本的对象组成的。

一个派生集是用一个或多个其它集来定义的，也就是说，它的成员来自于其它已存在的集。

2.3模型的集部分

集部分是LINGO模型的一个可选部分。

在LINGO模型中使用集之前，必须在集部分事先定义。

集部分以关键字“sets:

”开始，以“endsets”结束。

一个模型可以没有集部分，或有一个简单的集部分，或有多个集部分。

一个集部分可以放置于模型的任何地方，但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须定义了它们。

2.3.1定义原始集

为了定义一个原始集，必须详细声明：

·

集的名字

可选，集的成员

可选，集成员的属性

定义一个原始集，用下面的语法：

setname[/member_list/][:

attribute_list];

注意：

用“[]”表示该部分内容可选。

下同，不再赘述。

Setname是你选择的来标记集的名字，最好具有较强的可读性。

集名字必须严格符合标准命名规则：

以拉丁字母或下划线（_）为首字符，其后由拉丁字母（A—Z）、下划线、阿拉伯数字（0，1，…，9）组成的总长度不超过32个字符的字符串，且不区分大小写。

该命名规则同样适用于集成员名和属性名等的命名。

Member_list是集成员列表。

如果集成员放在集定义中，那么对它们可采取显式罗列和隐式罗列两种方式。

如果集成员不放在集定义中，那么可以在随后的数据部分定义它们。

①当显式罗列成员时，必须为每个成员输入一个不同的名字，中间用空格或逗号搁开，允许混合使用。

例2.1可以定义一个名为students的原始集，它具有成员John、Jill、Rose和Mike，属性有sex和age：

students/JohnJill,RoseMike/:

sex,age;

②当隐式罗列成员时，不必罗列出每个集成员。

可采用如下语法：

setname/member1..memberN/[:

attribute_list];

这里的member1是集的第一个成员名，memberN是集的最末一个成员名。

LINGO将自动产生中间的所有成员名。

LINGO也接受一些特定的首成员名和末成员名，用于创建一些特殊的集。

列表如下：

隐式成员列表格式

示例

所产生集成员

1..n

1..5

1,2,3,4,5

StringM..StringN

Car2..car14

Car2,Car3,Car4,…,Car14

DayM..DayN

Mon..Fri

Mon,Tue,Wed,Thu,Fri

MonthM..MonthN

Oct..Jan

Oct,Nov,Dec,Jan

MonthYearM..MonthYearN

Oct2001..Jan2002

Oct2001,Nov2001,Dec2001,Jan2002

③集成员不放在集定义中，而在随后的数据部分来定义。

例2.2

集部分;

;

students:

sex,age;

数据部分;

students,sex,age=John116

Jill014

Rose017

Mike113;

开头用感叹号（!

），末尾用分号（;

）表示注释，可跨多行。

在集部分只定义了一个集students，并未指定成员。

在数据部分罗列了集成员John、Jill、Rose和Mike，并对属性sex和age分别给出了值。

集成员无论用何种字符标记,它的索引都是从1开始连续计数。

在attribute_list可以指定一个或多个集成员的属性，属性之间必须用逗号隔开。

可以把集、集成员和集属性同C语言中的结构体作个类比。

如下图：

集←→结构体

集成员←→结构体的域

集属性←→结构体实例

LINGO内置的建模语言是一种描述性语言，用它可以描述现实世界中的一些问题，然后再借助于LINGO求解器求解。

因此，集属性的值一旦在模型中被确定，就不可能再更改。

在LINGO中，只有在初始部分中给出的集属性值在以后的求解中可更改。

这与前面并不矛盾，初始部分是LINGO求解器的需要，并不是描述问题所必须的。

2.3.2定义派生集

为了定义一个派生集，必须详细声明：

父集的名字

可选，集成员

可用下面的语法定义一个派生集：

setname（parent_set_list）[/member_list/][:

setname是集的名字。

parent_set_list是已定义的集的列表，多个时必须用逗号隔开。

如果没有指定成员列表，那么LINGO会自动创建父集成员的所有组合作为派生集的成员。

派生集的父集既可以是原始集，也可以是其它的派生集。

例2.3

product/AB/;

machine/MN/;

week/1..2/;

allowed（product,machine,week）:

x;

LINGO生成了三个父集的所有组合共八组作为allowed集的成员。

编号成员

1（A,M,1）

22 

（A,M,2）

33 

（A,N,1）

44 

（A,N,2）

55 

（B,M,1）

66 

（B,M,2）

77 

（B,N,1）

88 

（B,N,2）

成员列表被忽略时，派生集成员由父集成员所有的组合构成，这样的派生集成为稠密集。

如果限制派生集的成员，使它成为父集成员所有组合构成的集合的一个子集，这样的派生集成为稀疏集。

同原始集一样，派生集成员的声明也可以放在数据部分。

一个派生集的成员列表有两种方式生成：

①显式罗列；

②设置成员资格过滤器。

当采用方式①时，必须显式罗列出所有要包含在派生集中的成员，并且罗列的每个成员必须属于稠密集。

使用前面的例子，显式罗列派生集的成员：

allowed（product,machine,week）/AM1,AN2,BN1/;

如果需要生成一个大的、稀疏的集，那么显式罗列就很讨厌。

幸运地是许多稀疏集的成员都满足一些条件以和非成员相区分。

我们可以把这些逻辑条件看作过滤器，在LINGO生成派生集的成员时把使逻辑条件为假的成员从稠密集中过滤掉。

例2.4

!

学生集：

性别属性sex，1表示男性，0表示女性；

年龄属性age.;

students/John,Jill,Rose,Mike/:

男学生和女学生的联系集：

友好程度属性friend，[0，1]之间的数。

;

linkmf（students,students）|sex（&

1）#eq#1#and#sex（&

2）#eq#0:

friend;

男学生和女学生的友好程度大于0.5的集;

linkmf2（linkmf）|friend（&

1,&

2）#ge#0.5:

x;

sex,age=116

014

017

013;

friend=0.30.50.6;

用竖线（|）来标记一个成员资格过滤器的开始。

#eq#是逻辑运算符，用来判断是否“相等”，可参考§

4.&

1可看作派生集的第1个原始父集的索引，它取遍该原始父集的所有成员；

&

2可看作派生集的第2个原始父集的索引，它取遍该原始父集的所有成员；

3，&

4，……，以此类推。

注意如果派生集B的父集是另外的派生集A，那么上面所说的原始父集是集A向前回溯到最终的原始集，其顺序保持不变，并且派生集A的过滤器对派生集B仍然有效。

因此，派生集的索引个数是最终原始父集的个数，索引的取值是从原始父集到当前派生集所作限制的总和。

总的来说，LINGO可识别的集只有两种类型：

原始集和派生集。

在一个模型中，原始集是基本的对象，不能再被拆分成更小的组分。

原始集可以由显式罗列和隐式罗列两种方式来定义。

当用显式罗列方式时，需在集成员列表中逐个输入每个成员。

当用隐式罗列方式时，只需在集成员列表中输入首成员和末成员，而中间的成员由LINGO产生。

另一方面，派生集是由其它的集来创建。

这些集被称为该派生集的父集（原始集或其它的派生集）。

一个派生集既可以是稀疏的，也可以是稠密的。

稠密集包含了父集成员的所有组合（有时也称为父集的笛卡尔乘积）。

稀疏集仅包含了父集的笛卡尔乘积的一个子集，可通过显式罗列和成员资格过滤器这两种方式来定义。

显式罗列方法就是逐个罗列稀疏集的成员。

成员资格过滤器方法通过使用稀疏集成员必须满足的逻辑条件从稠密集成员中过滤出稀疏集的成员。

不同集类型的关系见下图。

3模型的数据部分和初始部分

在处理模型的数据时，需要为集指派一些成员并且在LINGO求解模型之前为集的某些属性指定值。

为此，LINGO为用户提供了两个可选部分：

输入集成员和数据的数据部分（DataSection）和为决策变量设置初始值的初始部分（InitSection）。

3.1模型的数据部分

3.1.1数据部分入门

数据部分提供了模型相对静止部分和数据分离的可能性。

显然，这对模型的维护和维数的缩放非常便利。

数据部分以关键字“data:

”开始，以关键字“enddata”结束。

在这里，可以指定集成员、集的属性。

其语法如下：

object_list=value_list;

对象列（object_list）包含要指定值的属性名、要设置集成员的集名，用逗号或空格隔开。

一个对象列中至多有一个集名，而属性名可以有任意多。

如果对象列中有多个属性名，那么它们的类型必须一致。

如果对象列中有一个集名，那么对象列中所有的属性的类型就是这个集。

数值列（value_list）包含要分配给对象列中的对象的值，用逗号或空格隔开。

注意属性值的个数必须等于集成员的个数。

看下面的例子。

例3.1

set1/A,B,C/:

X,Y;

X=1,2,3;

Y=4,5,6;

在集set1中定义了两个属性X和Y。

X的三个值是1、2和3，Y的三个值是4、5和6。

也可采用如下例子中的复合数据声明（datastatement）实现同样的功能。

例3.2

X,Y=14

25

36;

看到这个例子，可能会认为X被指定了1、4和2三个值，因为它们是数值列中前三个，而正确的答案是1、2和3。

假设对象列有n个对象，LINGO在为对象指定值时，首先在n个对象的第1个索引处依次分配数值列中的前n个对象，然后在n个对象的第2个索引处依次分配数值列中紧接着的n个对象，……，以此类推。

模型的所有数据——属性值和集成员——被单独放在数据部分，这可能是最规范的数据输入方式。

3.1.2参数

在数据部分也可以指定一些标量变量（scalarvariables）。

当一个标量变量在数据部分确定时，称之为参数。

看一例，假设模型中用利率8.5%作为一个参数，就可以象下面一样输入一个利率作为参数。

例3.3

interest_rate=.085;

也可以同时指定多个参数。

例3.4

interest_rate,inflation_rate=.085.03;

3.1.3实时数据处理

在某些情况，对于模型中的某些数据并不是定值。

譬如模型中有一个通货膨胀率的参数，我们想在2%至6%范围内，对不同的值求解模型，来观察模型的结果对通货膨胀的依赖有多么敏感。

我们把这种情况称为实时数据处理（whatifanalysis）。

LINGO有一个特征可方便地做到这件事。

在本该放数的地方输入一个问号（?

）。

例3.5

interest_rate,inflation_rate=.085?

每一次求解模型时，LINGO都会提示为参数inflation_rate输入一个值。

在WINDOWS操作系统下，将会接收到一个类似下面的对话框：

直接输入一个值再点击OK按钮，LINGO就会把输入的值指定给inflation_rate，然后继续求解模型。

除了参数之外，也可以实时输入集的属性值，但不允许实时输入集成员名。

3.1.4指定属性为一个值

可以在数据声明的右边输入一个值来把所有的成员的该属性指定为一个值。

例3.6

days/MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:

needs;

needs=20;

LINGO将用20指定days集的所有成员的needs属性。

对于多个属性的情形，见下例。

例3.7

needs,cost;

needscost=20100;

3.1.5数据部分的未知数值

有时只想为一个集的部分成员的某个属性指定值，而让其余成员的该属性保持未知，以便让LINGO去求出它们的最优值。

在数据声明中输入两个相连的逗号表示该位置对应的集成员的属性值未知。

两个逗号间可以有空格。

例3.8

years/1..5/:

capacity=,34,20,,;

属性capacity的第2个和第3个值分别为34和20，其余的未知。

3.2模型的初始部分

初始部分是LINGO提供的另一个可选部分。

在初始部分中，可以输入初始声明（initializationstatement），和数据部分中的数据声明相同。

对实际问题的建模时，初始部分并不起到描述模型的作用，在初始部分输入的值仅被LINGO求解器当作初始点来用，并且仅仅对非线性模型有用。

和数据部分指定变量的值不同，LINGO求解器可以自由改变初始部分初始化的变量的值。

一个初始部分以“init:

”开始，以“endinit”结束。

初始部分的初始声明规则和数据部分的数据声明规则相同。

也就是说，我们可以在声明的左边同时初始化多个集属性，可以把集属性初始化为一个值，可以用问号实现实时数据处理，还可以用逗号指定未知数值。

例3.9

init:

X,Y=0,.1;

endinit

Y=@log（X）;

X^2+Y^2<

=1;

好的初始点会减少模型的求解时间。

在这一节中，我们仅带大家接触了一些基本的数据输入和初始化概念，不过现在你应该可以轻松的为自己的模型加入原始数据和初始部分啦。

4LINGO函数

有了前几节的基础知识，再加上本节的内容，你就能够借助于LINGO建立并求解复杂的优化模型了。

LINGO有9种类型的函数：

1．1． 

基本运算符：

包括算术运算符、逻辑运算符和关系运算符

2．2． 

数学函数：

三角函数和常规的数学函数

3．3． 

金融函数：

LINGO提供的两种金融函数

4．4． 

概率函数：

LINGO提供了大量概率相关的函数

5．5． 

变量界定函数：

这类函数用来定义变量的取值范围

6．6． 

集操作函数：

这类函数为对集的操作提供帮助

7．7． 

集循环函数：

遍历集的元素，执行一定的操作的函数

8．8． 

数据输入输出函数：

这类函数允许模型和外部数据源相联系，进行数据的输入输出

9．9． 

辅助函数：

各种杂类函数

4.1基本运算符

这些运算符是非常基本的，甚至可以不认为它们是一类函数。

事实上，在LINGO中它们是非常重要的。

4.1.1算术运算符

算术运算符是针对数值进行操作的。

LINGO提供了5种二元运算符：

＾　乘方

﹡　乘

／　除

﹢　加

﹣　减

LINGO唯一的一元算术运算符是取反函数“﹣”。

这些运算符的优先级由高到底为：

高　﹣（取反）

　　＾

　　　　﹡／

　　低　﹢﹣

运算符的运算次序为从左到右按优先级高低来执行。

运算的次序可以用圆括号“（）”来改变。

例4.1算术运算符示例。

2﹣5／3，（2﹢4）／5等等。

4.1.2逻辑运算符

在LINGO中，逻辑运算符主要用于集循环函数的条件表达式中，来控制在函数中哪些集成员被包含，哪些被排斥。

在创建稀疏集时用在成员资格过滤器中。

LINGO具有９种逻辑运算符：

#not#　否定该操作数的逻辑值，＃not＃是一个一元运算符

#eq#　　若两个运算数相等，则为true；

否则为flase

#ne#若两个运算符不相等，则为true；

#gt#若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true；

#ge#　若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true；

#lt#　若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；

#le#　若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为true；

#and#　仅当两个参数都为true时，结果为true；

#or#仅当两个参数都为false时，结果为false；

否则为true

这些运算符的优先级由高到低为：

高#not#

#eq##ne##gt##ge##lt##le#

低#and##or#

例4.2逻辑运算符示例

2#gt#3#and#4#gt#2，其结果为假（0）。

4.1.3关系运算符

在LINGO中，关系运算符主要是被用在模型中，来指定一个表达式的左边是否等于、小于等于、或者大于等于右边，形成模型的一个约束条件。

关系运算符与逻辑运算符#eq#、#le#、#ge#截然不同，前者是模型中该关系运算符所指定关系的为真描述，而后者仅仅判断一个该关系是否被满足：

满足为真，不满足为假。

LINGO有三种关系运算符：

“=”、“<

=”和“>

=”。

LINGO中还能用“<

”表示小于等于关系，“>

”表示大于等于关系。

LINGO并不支持严格小于和严格大于关系运算符。

然而，如果需要严格小于和严格大于关系，比如让A严格小