八年级数学下册第1章11直角三角形的性质与判定Ⅰ第2课时含30锐角的直角三角形的性质及练习新湘教.docx
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八年级数学下册第1章11直角三角形的性质与判定Ⅰ第2课时含30锐角的直角三角形的性质及练习新湘教.docx
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八年级数学下册第1章11直角三角形的性质与判定Ⅰ第2课时含30锐角的直角三角形的性质及练习新湘教
课时作业
(二)
[1.1 第2课时 含30°角的直角三角形的性质及应用]
一、选择题
1.如图-2-1,一棵大树在一次强台风中从距离地面5米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,则这棵大树在折断前的高度是( )
图-2-1
A.10米B.15米C.25米D.30米
2.如图-2-2,已知在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,D为斜边AB的中点,则图中与线段AC的长度相等的线段有( )
图-2-2
A.0条B.1条C.2条D.3条
3.如图-2-3,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°,AB=4,则BD的值为( )
图-2-3
A.3B.2C.1D.
4.已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为,则它的最长边长为( )
A.2B.2C.3D.3
5.如图-2-4,AB⊥BC于点B,AD∥BC,BE⊥CD于点E,CE=BC,E为CD的中点,那么∠ADB的度数为( )
图-2-4
A.75°B.60°
C.45°D.无法确定
6.2018·郴州如图-2-5,∠AOB=60°,以点O为圆心,以任意长为半径作弧交OA,OB分别于点C,D;分别以点C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧相交于点P;以O为端点作射线OP,在射线OP中截取OM=6,则点M到OB的距离为( )
图-2-5
A.6B.2C.3D.3
7.如图-2-6,已知∠1=∠2,AD=BD=4,CE⊥AD于点E,2CE=AC,那么CD的长是( )
图-2-6
A.2B.3C.1D.1.5
二、填空题
8.若直角三角形的两个锐角的度数比是2∶1,斜边长为8,则这个直角三角形最短的边长为________.
9.如图-2-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若BC=AB,则∠DCB=________°.
图-2-7
10.如图-2-8,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D.若CD=1,则BD=________.
图-2-8
11.如图-2-9,在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB于点E,交AC于点D,AD=2BC,则∠A=________°.
图-2-9
12.如图-2-10,已知∠AOB=60°,点P在OA上,OP=8,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM=________.
图-2-10
三、解答题
13.如图-2-11,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E是边BC的中点,BF∥AC,EF∥AB,EF=4cm.求:
(1)∠F的度数;
(2)AB的长.
图-2-11
14.如图-2-12,△ABC是等边三角形,D为BC边的中点,DE⊥AC于点E.试探索线段CE与线段AC之间的数量关系,并说明理由.
图-2-12
15.如图-2-13,在等边三角形ABC中,D,E分别是BC,AC上的点,且CD=AE,AD与BE相交于点P.
(1)求证:
∠ABE=∠CAD;
(2)若BH⊥AD于点H,求证:
PB=2PH.
图-2-13
16.如图-2-14,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA于点D.若PC=4,求PD的长.
图-2-14
1.分类讨论思想在△ABC中,AB=AC=10cm,BD是高,且∠ABD=30°,求CD的长
2.图形全等与变换如图-2-15,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AB上一点,∠ACD=15°,点B,E关于CD对称,连接BE交CD于点H,交AC于点G,连接DE交AC于点F.
(1)求∠ADF的度数;
(2)求证:
AF=CG.
图-2-15
详解详析
课堂达标
1.[解析]B 由“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知大树折断部分的高度是10米,则大树在折断前的高度是5+10=15(米).
2.[解析]D 由“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知,AC=AB=AD=BD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CD=AB,所以AC=AD=BD=CD.故选D.
3.[解析]C ∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,∴CB=AB=2,∠B=60°.∵CD是AB边上高,∴∠BDC=90°,
∴∠BCD=30°,
∴BD=BC=1.
4.[解析]B 设三个内角的度数分别为°,
(2)°,(3)°,则+2+3=180,解得=30,∴三个内角分别为30°,60°,90°,∴这个三角形是直角三角形,30°角所对的直角边为最短边,斜边为最长边.∵最短边长为,∴它的最长边为2.
5.[解析]B 由BE⊥CD,CE=BC,根据“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°”得∠EBC=30°.又由BE垂直平分CD得△BCD为等腰三角形,所以∠DBE=∠EBC=30°,根据“两直线平行,内错角相等”得到∠ADB=∠DBC=60°.故选B.
6.[解析]C 由作图知,OP是∠AOB的平分线,点M到OB的距离即为垂线段的长,根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,可得点M到OB的距离是3.
7.[解析]A 在Rt△AEC中,由=,可以得到∠1=∠2=30°.又∵AD=BD=4,得到∠B=∠2=30°,从而求出∠ACD=90°,然后由直角三角形的性质求出CD的长.
8.4
9.[答案]30
[解析]∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=AB,∴∠A=30°,∴∠B=60°.∵CD⊥AB,垂足为D,∴∠CDB=90°,∴∠DCB=30°.
10.[答案]2
[解析]∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°.∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=30°,∴∠BAD=∠B,∴AD=BD.∵CD=1,∴AD=2CD=2,
∴BD=AD=2.
11.[答案]15
[解析]连接BD.∵DE垂直平分AB于点E,∴AD=BD=2BC,∴在Rt△BCD中,∠BDC=30°.又∵BD=AD,∴∠A=∠DBA=∠BDC=15°.
12.[答案]3
[解析]如图,过点P作PC⊥MN于点C.∵PM=PN,∴C为MN的中点,即MC=NC=MN=1.∵在Rt△OPC中,∠AOB=60°,∴∠OPC=30°,
∴OC=OP=4,则OM=OC-MC=4-1=3.
13.解:
(1)∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°.
∵EF∥AB,
∴∠BEF=∠ABC=60°.
∵BF∥AC,
∴∠EBF=∠C=90°,
∴∠F=30°.
(2)∵∠EBF=90°,∠F=30°,EF=4cm,
∴BE=EF=2cm.
∵E是边BC的中点,∴BC=4cm.
∵∠C=90°,∠A=30°,
∴AB=2BC=8cm.
14.解:
CE=AC.理由:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠C=60°,BC=AC.
∵D是△ABC中BC边的中点,
∴BD=CD.
又∵∠C=60°,DE⊥AC,
∴∠CDE=30°,
∴CE=CD=BC=AC.
即CE=AC.
15.证明:
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴BA=AC,∠CAB=∠C=60°.
又∵AE=CD,
∴△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD.
(2)∵∠BPH=∠BAD+∠ABP=∠BAD+∠CAD=60°,BH⊥AD于点H,
∴∠EBH=30°,
∴在Rt△PBH中,PB=2PH.
16.解:
过点P作PQ⊥OB于点Q,则∠PQO=∠PDO=90°.
∵∠DOP=∠QOP=15°,∠PDO=∠PQO=90°,OP=OP,∴△OPD≌△OPQ,
∴PD=PQ.∵PC∥OA,
∴∠QCP=∠BOD=∠AOP+∠BOP=30°,
∴PQ=PC=2.故PD=2.
素养提升
1.解:
分两种情况讨论.
(1)如图①,当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,∠ABD=30°,则AD=AB=5cm,∴CD=AC-AD=5cm.
(2)如图②,当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD中,∵∠ABD=30°,∴AD=AB=5cm,∴CD=AC+AD=15cm.
2.解:
(1)∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAD=∠CBA=45°.
∵∠ACD=15°,
∴∠CDB=∠ACD+∠CAD=60°.
∵点B,E关于CD对称,
∴∠EDC=∠CDB=60°,
∴∠ADF=180°-60°-60°=60°.
(2)证明:
如图,过点A作AM⊥AC交ED的延长线于点M,则∠FAM=90°=∠GCB,∠MAD=90°-45°=45°=∠CAD.
∵∠MAD=45°,∠ADF=60°,
∴∠M=60°-45°=15°=∠ACD.
∵点B,E关于CD对称,
∴CD⊥BE,∴∠CHG=90°,
∴∠CGB+∠ACD=90°.
∵∠GCB=90°,
∴∠CGB+∠CBG=90°,
∴∠CBG=∠ACD=15°=∠M.
在△ACD和△AMD中,
∵∠CAD=∠MAD,∠ACD=∠M,AD=AD,
∴△ACD≌△AMD,∴AC=AM.
又∵AC=BC,
∴AM=BC.
在△FAM和△GCB中,
∵∠M=∠CBG,AM=CB,∠FAM=∠GCB,
∴△FAM≌△GCB,
∴AF=CG.
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