中考数学专题复习圆来如此简单经典几何模型之隐圆专题含答案Word格式.docx
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中考数学专题复习圆来如此简单经典几何模型之隐圆专题含答案Word格式.docx
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1.(2017威海)如图1,△ABC为等边三角形,AB=2,若P为△ABC内一动点,且满足
∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为_。
简答:
因为∠PAB=∠PCA,∠PAB+∠PAC=60°
,所以∠PAC+∠PCA=60°
,即∠APC=120°
。
因为AC定长、∠APC=120°
定角,故满足“定弦定角模型”,P在圆上,圆周角∠APC=120°
,通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°
,故以AC为边向下作等边△AOC,以O为圆心,OA为半径作⊙O,P在⊙O上。
当B、P、O三点共线时,BP最短(知识储备一:
点圆距离),
此时BP=2-2
2.
如图1所示,边长为2的等边△ABC的原点A在x轴的正半轴上移动,∠BOD=30°
,顶点A在射线OD上移动,则顶点C到原点O的最大距离为。
因为∠AOB=30°
(定角),AB=2(定弦),故A、B、O三点共圆,圆心角为60°
,故以AB为边向O方向作等边△ABQ,∠AQB=60°
为圆心角,Q为圆心,以QA为半径作
⊙Q(如图2),由知识储备二可知当OC⊥AB时,OC距离最大,
OC=OQ+QH+HC=2++
=2+2
【思考:
若∠BOD=45°
呢?
(提示:
需要构造倍角
模型)】
3.
如图1,点A是直线y=-x上的一个动点,点B是x轴上的动点,若AB=2,则△AOB面积最大值为()
A.2B.1
C.
1
D.
2
因为AB=2(定弦),∠AOB=135°
(定角),因为∠AOB是圆周角,故圆心角为90°
,以AB为斜边向上方作等腰直角△QAB,则Q为圆心(如图2),由“知识储备二”可知,当OQ⊥AB时,此时△OAB的高OH最大,面积最大。
面积为
1ABOH12(21)
22
21,所以此题选择B。
同学:
老师,你说错答案了,选C。
小段老师:
没错啊,就选B啊。
你是老师,你说了算,你开心就好...
小段老师:
题目有告诉你们A、B在哪里吗,为什么想当然觉得∠AOB=135°
呢,难道不可能等于45°
吗?
如图3,构建⊙Q,由“知识储备二”可知当OQ⊥AB时,此时△OAB的
面积最大为1ABOH12(2+1)
2+1,故答案选B
4.如图1,AC为边长为2的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60°
,点M、N分别从点B、
C同时出发,以相同速度沿BC、CA向终点C和A运动,连接AM和BN,求△APB周长的最大值
如图2,由M、N点速度相同可知BM=CN,易证△ABM≌△BCN,故∠NBC=∠BAM
(如图2),又因为∠NBC+∠ABN=60°
,所以∠BAM+∠ABN=∠APN=60°
(外角性质),所以∠APB=120°
(定角),又因为AB长度固定(定弦),故以AB为底向左侧构建等腰△QAB,∠AQB=120°
,则P在⊙Q上,由“知识储备三”可知,当△ABP是等腰三角形时,
△ABP周长最短。
又由△APB是定角为120°
的等腰三角形,故AP:
BP:
AB=1:
1:
,
AB=AC=2
,故PB=PA=2,故△ABP的周长最大值为4+2
1.
如图1,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=76°
,则∠CBD=度。
如图2,因为AB=AC=AD,故B、C、D三点在以A为圆心的圆上,故∠CBD=1∠
CAD=38°
2.如图,在△ABC内有一点D,使得DA=DB=DC,若∠DAB=20°
,则∠ACB=。
如图2,因为DA=DB=DC,故A、B、C三点在⊙D上,∠DAB=∠DBA=20°
,故∠
ADB=140°
,故∠ACB=1∠ADB=70°
如图1,已知四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AC=AD=5,BC=6,求BD
因为∠1=∠2,AD∥BC,故∠3=∠1,∠4=∠2,故易证△AEB≌△ACD,故EB=CD=6,ED=2AD=10,故BD=8
4.
如图1,长2米的梯子AB竖直放在墙角,在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中,梯子AB的中点P的移动轨迹长度为?
.
由斜边上的中点等于斜边的一半可知,OP=1,动点P到定点O的距离始终等于1,满足圆的定义(到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆),故P的运动轨迹是圆弧,圆心角为90°
,轨迹长度为四分之一圆的长度,省略。
5.在矩形ABCD中,已知AB=2,BC=3,现有一根长为2的木棒EF紧贴着矩形的边(即
两个端点始终落在矩形的边上),接逆时针方向滑动一周,则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的围形的面积为?
如图1如图2
由上一题可知,P的运动轨迹是圆弧,因为滑动一周,故有四个圆弧,则点P所围成的图形为中间的图形,用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积即可,答案:
6
6.如图1,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD、DC边上的点,且EF=2,G为EF的中点,P为BC边上一动点,则PA+PG的最小值为?
简单:
G的运动轨迹为圆,求AP+PG典型的“将军饮马”问题,故做A关于BC的对称点A',则AP+PG=A'P+PG,当A'、P、G三点共线时,最短,又因为A'为固定点,G在圆上运动,由“知识储备一”可知当A'、G、D三点共线时,此时A'G最短,为4
7.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),B为y轴正半轴上的点,C为第一象限内的点,且AC=2.设tAN∠BOC=M,则M的取值范围为?
因为AC=2,A是定点,通过圆的定义(到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆)可知,C在⊙A上运动,当OC与⊙A相切时,此时∠BOC最小,tAN∠BOC也最小,此
时∠BOC+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°
,故∠BOC=∠CAO,此时tAN∠CAO=OC5,
AC2
又因为角度越大,正切值越大,故tAN∠BOC=M≥5
8.
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=7,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是?
E是动点,导致EF、EC、EP都在变化,但是FP=FC=2不变,故P点到F点的距离永远等于2,故P在⊙F上运动,如图2。
由垂线段最短可知,FH⊥AB时,FH最短,当F、P、H三点共线时,PH最短,又因为△AFH∽△ABC,所以AF:
FH:
AH=5:
4:
3,又因为AF=5,故FH=4,又因为FP=2,故PH最短为2
9.如图,在□ABCD中,∠BCD=30°
,BC=4,CD=33,M是AD边的中点,N是
AB边上一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△PMN,连接PC,则PC长度的最小值是?
翻折过程中,MP=MA=2,故P在⊙M上运动,当M、P、C三点共线时,PC最短。
PC=MC-MP,要求MP需要过M作MH⊥CD于H,∠HDM=30°
,故HM=1,HD=,
故HC=4,故易求MC=7,则PC=7-2=5
1.如图1,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且始终有
AP⊥BP,则线段CP长的最小值为?
如图2,因为AP⊥BP,∠P=90°
(定角),AB=6(定弦),故P在以AB为直径的
⊙H上,当H、P、C三点共线时CP最短,HB=3,BC=4则HC=5,故CP=5-3=2
2.如图1,A(1,0)、B(3,0),以AB为直径作圆M,射线OF交圆M于E、F两点,C为弧AB的中点,D为弦EF的中点,当射线绕O旋转时,CD的最小值为?
因为D是EF中点,故MD⊥EF,故∠ODM始终等于90°
,故D在以OM为直径的圆上,如图2。
易知A为圆心,当A、D、C三点共线时,CD最短,CD=AC-AD,又易
知C(2,1),故AC=,故CD=-1
3.在△ABC中,∠ABC=90,AB=6,BC=8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交
射线AB,BC于E、F,则EF的最小值为?
因为∠EOF=90°
,∠C=90°
,故C、O均在以EF为直径的圆上(也称四点共圆),因为EF是圆的直径,O、C均在圆上,且OC长度固定,要使得EF最短,则圆最小,要使圆最小,OC为固定长度,则OC为直径时,圆最小(此处比较难,思维量比较大,大家慢慢琢磨),此时CO=EF=OA=OB=5(斜边上中线等于斜边一半)
如图1,已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°
,P是边AB上的动点,Q是边BC上的动点,且∠CPQ=90°
,求线段CQ的取值范围.
以CQ为直径作⊙O,根据直径所对的圆周角是直角,若AB边上的动点P在圆上,
∠CPQ就为直角.当⊙O与AB相切时(如图2),直径CQ最小.由切线长定理,得AP=
AC=5,所以BP=13―5=8.再根据△BPO∽△BCA,所以OP=10,CQ=20.当点Q
33
与点B重合时(如图3),直径CQ最大,此时CQ=12.综上所述,20≤CQ≤12
3
5.
如图1,半径为4的⊙O中,CD为直径,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,点E为⊙O上一动点,CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为?
因为∠CFA=90°
(定角),AC=4
(定弦),故F在以AC为直径的⊙Q上,当E
在B处时,F在G处,当E在D处时,F在A处,故F的运动路径为弧AG的长度,易求
60
出∠ACD=30°
,故∠AQG=60°
,故弧AG长度=
2π23=23
3603
6.(2013武汉)如图1,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小
值是?
易证△ABE≌△DCF,△DAG≌△DCG,故∠DAG=∠DCG=∠ABE,又因为∠ABE+
∠AEB=90°
,故∠EAH+∠AEH=90°
,故∠AHB=90°
,故H在以AB为直径的⊙O上,
当O、H、D三点共线的时候DH最小,DH=OD-OH=-1
7.如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°
,∠C=30°
,AB=1,D为线段AC上一动点,将△BDC沿着BD翻折,点C的对应点为F,E为AC的中点,在D从C到A的运动过程中,当EF最短时,CD为?
在折叠过程中,BF始终等于BC,故F到B点的距离是定值,F在⊙B上,当EF最短时,B、E、F三点共线(如图2),此时∠BFD=∠BCD=30°
,∠FBD=∠CBD=15°
(因为BE=CE,故∠EBC=∠BCE=30°
),故∠FDH=∠CDH=45°
,∠FED=60°
,故FD⊥CE,
EF=BF-BE=
1,又因为DF=DC,在Rt△EDF中
ED1EF
31,故
CD=1-ED=1
3133
8.(2017宿迁)如图,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC=,点E在边CD上移动,
连接AE,将多边形ABCE沿直线AE翻折,得到多边形AB′C′E,点B、C的对应点分别为点B′、C′.
(1)当B′C′恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长;
(2)若B′C′分别交边AD,CD于点F,G,且∠DAE=22.5°
(如图2),求△DFG的面积;
(3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C′运动的路径长.
(1)“K字形”秒杀,过程略,答案:
2
(2)由翻折全等可知∠B′AE=∠BAE=67.5°
,又因为∠DAE=22.5°
,故∠B′
AF=45°
,故△AB′F、△DFE均为等腰直角三角形,后面略,答案:
5
(3)
折叠过程中始终有AC'=AC,故C'在以A为圆心,AC为半径的圆上。
根据点E在C时,C'在C点,点E移动到D时,C'在如图3位置,
π
易求C′运动的圆弧的圆心角为60°
,故C′运动的轨迹为602π2=2
1.如图1,正方形ABCD中,∠EAF=45°
,AF与BD交于N,AE与BD交于M,连接MF、NE,求证△ANE、△AMF是等腰直角三角形
因为∠1=∠2=45°
,∠3=∠4,故A、B、E、N四点共圆,因为∠ABE=90°
,故AE为直径,故∠ANE=90°
,故△ANE是等腰直角三角形,同理可证△AMF是等腰直角三角形
(此题也是很经典的“半角模型”问题之一)
如图1,等边△ABC中,AB=6,P为AB上一动点,PD⊥BC,PE⊥AC,则DE的最小值为?
因为∠PEC=∠PDC=90°
,故四边形PDCE对角互补,故PDCE四点共圆,如图2。
∠EOD=2∠ECD=120°
,故ED=3R,要使得DE最小则要使圆的半径R最小,故直径PC
最小,当CP⊥AB时,PC最短为3
,故R=33,故DE=
3R
3339
3.如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形APQR,连接CQ,延长BP交于CQ于点E,求证:
E是线段CQ的中点
因为AC=AQ,AB=AP且∠BAP=∠CAQ(旋转角相等)故△APB∽△AQC,故∠ABP=
∠ACQ又因为∠1=∠2,故A、B、C、E四点共圆(如图2),因为∠ABC=90°
,故AC是直径,故∠AEC=90°
,又因为AQ=AC,所以AE垂直且平分QC(三线合一)
如图1,已知△ABC是边长为4的等边三角形,取AC的中点E,△ABC绕E点旋转任意角度得到△GMN,直线BN、GC相交于点H。
△GMN绕点E旋转的过程中,线段AH的最大值是?
因为EB=EN(分别是△ABC、△GMN的高),EC=EG,且∠GEC=∠NEB(旋转角相等),故△GEC∽△NEB,故∠GCE=∠EBH(前面相似主要目的是为了得到此处角相等,故不一定要说明相似,用内角和说明角相等亦可),又因为∠GCE+∠ECH=180°
,所以∠EBH+∠ECH=180°
,故E、B、H、C四点共圆,因为∠BEC=90°
,所以BC为直径,圆
心O是BC中点,R=2,当A、O、H三点共线时,AH长度最大,AH=AO+OH=22
思考题:
如图,点D为∠ABC的一遍BC上一丁点,且BD=5,线段PQ在∠ABC另一边
AB上移动,且PQ=2,若siNB=5,则当∠PDQ达到最大值时,PD的长为?
当DH垂直平分PQ时,∠PDQ最大,答案:
PD=(wHy?
自行思考)
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