因式分解经典题及解析讲解学习Word格式文档下载.docx
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原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
2
=y+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(X2・4X+4)2(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分
解的•
A、提取公因式B.平方差公式
C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底.(填彻底”或
不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(X2-2X)(X2-2X+2)+1进行因式分解.
5.
是
利用因式分解说明:
两个连续偶数的平方差一定
4的倍数.
6・已知矢于x的多项式3x+x+m因式分解以后有一个因式为(3x-2),试求m的值并将多项式因式分解.
7•已知多项式(a2+ka+25)-『,在给定k的值的条件下可以因式分解•请给定一个k值
并写出因式分解的过程.
&
先阅读,后解题:
要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,
我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式,再去考虑,具体过程如下:
解:
2x+8x+10
=2(x?
+4x+5)(提公因式,得到一个二次项系数为1的二次多项式)
=2(x+4x+2・2+5)
=2[(X+2)2+1](将二次多项式配方)
=2(x+2)+2(去掉中括号)
因为当x取任意实数时,代数式2(x+2)2的值一定是非负数,那么2(x+2)2+2的值一定为正数,所以,原式的值恒大于0,并且,当x=-2时,原式有最小值2.
请仿照上例,说明代数式-2x2-8x-10的值恒大于0还是恒小于0,并且说明它的最大值
或者最小值是什么.
9•老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个矢于此多项式的描述:
甲:
这是一个三次三项式;
乙:
三次项系数为1;
丙:
这个多项式的各项有公因式;
T:
这个多项式分解因式时要用到公式法;
若已知这四位同学的描述都正确,请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.
10•在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(X-1)
(X-9),而乙同学看错了常数项,而将其分解为2(X-2)(X-4),请你判断正确的二次
三项式并逬行正确的因式分解•
11•观察李强同学把多项式(x2+6x+10)(x2+6x+8)+1分解因式的过程:
'
2…'
解:
设x+6x=y,则原式=(y+10)(y+8)+1=y2+18y+81
=(y+9)2
=(x+6x+9)
(1)回答问题:
这位同学的因式分解是否彻底?
若不彻底,请你直接写出因式分解的最后
结果:
■
(2)仿照上题解法,分解因式:
fx2+4x+1)(x2+4x・3)+4.
12・
(1)写一个多项式,再把它分解因式(要求:
多项式含有字母m和n,系数、次数不限,并能先用提取公因式法再用公式法分解)・
(2)阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题:
1+X+X(X+1)+X(X+1)=(1+X)[1+X+X(X+1”①
=(1+x)2(1+X)②
=(1+X)③
1上述分解因式的方法是,由②到③这一步的根据是;
2若分解1+X+X(X+1)+X(X+1)+-+x(X+1)2006,结果是;
3分解因式:
1+X+X(x+1)+x(x+1)2+-+x(x+1)n(n为正整数).
13・阅读下面的材料并完成填空:
因为(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,所以,对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于P、即如果有a,b两数满足a-b=a+b=p,则有
x+px+q=(x+a)(x+b)・
如分解因式x2+5x+6・
因为2>
3=6,2+3=5,
所以x2+5x+6=(x+2)(x+3)・
再如分解因式x2・5x・6.
因为一6>
=-6,-6+1=-5,
所以X2-5x・6=(X-6)(x+1).
同学们,阅读完上述文字后,你能完成下面的题目吗?
试试看.
2222
因式分解:
0)x+7X+12;
(2)x・7x+12;
(3)x+4x-12;
(4)x-X-12.
答案
1・请看下面的问题:
把x4+4分解因式
热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(X2)2+(22)$的形式,要使用公式就必
须添一项4x3随即将此项4x2减去,即可得x4+4=X4+4x2+4-4x2=(x2+2)
2222222
-4x=(X+2)-(2x)=(X+2x+2)(x・2x+2)
(2)X?
・2ax・b2-2ab.
考点:
因式分解•运用公式法.
专题:
阅读型.
这是要运用添项法因式分解,首先要看明白例题才可以尝试做以下题目•
解咎:
:
4,44222„22
1-1解:
(1)x+4y=x+4xy+4y・4xy,
/2小2'
2a22
=(x+2y)・4xy,
ODDO
22
2.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.解:
设x2-4x=y
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的C.
A、提取公因式B・平方差公式
C、两数和的完全平方公式D•两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底丕彻底.(填彻底”或不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果(X・2)4•
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
提公因式法与公式法的综合运用.专题:
(1)完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差;
(2)x2-4x+4还可以分解,所以是不彻底.
(3)按照例题的分解方法进行分解即可.
解答:
(1)运用了C,两数和的完全平方公式;
(2)x2-4x+4还可以分解,分解不彻底;
(3)设x2-2x=y.(x2-2x)(xS2x+2)+1,
=y(y+2)+1,
2t.
=y+2y+1,
=(y+1),
=(x2-2x+1)=(x・1)°
.
按照提供的方法和样式解答
找出能使二次三项式
a,并且将其进
点评:
本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力,即可,难度中等.
3.
x2+ax-6可以因式分解(在整数范围内)的整数值
行因式分解.
因式分解•十字相乘法等.
根据十字相乘法的分解方法和特点可知:
a是・6的两个因数的和,则-6可分成3X
(-2),・3>
2,6X(-1),・6X1,共4种,所以将x2+ax-6分解因式后有4种情况.
x+x・6=(x+3)(x・2);
x?
.x-6=(X・3)(x+2);
x+5x-6=(x+6)(X-1);
x-5x・6=(X・6)(x+1).
本题考查十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程,常数-6的不同分解是本题的难点.
4•利用因式分解说明:
两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.
因式分解的应用.
根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2,禾U用平方差公式进行因式分解,即可证出
结论.
设两个连续偶数为2n+2,则有
(2n+2)2-(2n)2,
=(2n+2+2n)(2n+2-2n),
=(4n+2)>
2,
=4(2n+1),
因为n为整数,
所以4f2n+1)中的2n+1是正奇数,
所以4(2n+1)是4的倍数,
故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除.
本题考查了因式分解的应用,解题的尖键是正确设出两个连续正偶数,再用平方差公式对列出的式子进行整理,此题较简单.
5•已知矢于x的多项式3x+x+m因式分解以后有一个因式为(3x-2),试求m的值并将多项式因式分解.
因式分解的意义.
由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x-2,所以当x二时多项式的值为0,由此得到矢于
m的方程,解方程即可求出m的值,再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解,即可求出答案.
Tx的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x-2,
当x=—时多项式的值为0,
即3〉亠一=0
/•2+m=0,
/•m=-2;
•••3x+x+m=3x+x・2=(x+1)(3x・2);
对效安力:
m=-2fY4-1\久
本题主要考查因式分解的意义,有公因式时,要先考虑提取公因式;
注意运用整体代入法求解.
6.已知多项式(a2+ka+25)-b2,在给定k的值的条件下可以因式分解・请给定一个k值
开放型•分析:
根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可•解答:
k=±
10,假设k=10,则有(a2+i0a+25)-b2=(a+5)2-b2=(a+5+b)(a+5-b).
此题主要考查了运用公式法分解因式,正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题矢键•
7•先阅读,后解题:
要说明代数式2X2+8X+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,
2x+8X+10
=2(X2+4X+5)(提公因式,得到一个二次项系数为1的二次多项式)
222
=2(x2+4x+22-22+5)
=2[(x+2)2+1](将二次多项式配方)
=2(x+2)2+2(去掉中括号)
因为当X取任意实数时,代数式2(X+2)2的值一定是非负数,那么2(X+2)2+2的值一定
为正数,所以,原式的值恒大于0,并且,当x=-2时,原式有最小值2•请仿照上例,说明代数式-2X2-8X-10的值恒大于0还是恒小于0,并且说明它的最大值或者最小值是什么•
配方法的应用;
非负数的性质:
偶次方・分析:
按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案•解答:
.2x〈8x-10
=・2(x2+4x+5)=-2(x2+4x+22-22+5)
=-2[(x+2)2+1]=-2(x+2)2-2因为当X取任意实数时,代数式2(X+2)2的值一定是非负数,那么.
2(X+2)2-2的值一定为负数,所以,原式的值恒小于0,并且,当x=-2时,原式有最大值・2•
此题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用•注意解此题的尖键是将原代数式准确配方•
8•老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个矢于此多项式的描述:
这是一彳、三次三项式;
乙:
三次项系数为1;
丁:
若已知这四位同学的描述都正确,请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式•
提公因式法与公式法的综合运用•
开放型•
能用完全平方公式分解的式子的特点是:
三项;
两项平方项的符号需相同;
有一项是两底数积的2倍•
由题意知,可以理解为:
这是一个矢于X三次三项式;
三次项系数为1,即三次项为X3;
这个多项式的各项有公因式X;
这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法.
故多项式可以为X(X-1)=x(X2・2x+1)=x3・2X2+X•
本题考查了提公因式法和公式法分解因式,是开放性题,根据描述按照要求列出这个多项式.答案不唯一.
9•在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(x-1)
三项式并进行正确的因式分解•
此题可以先将两个分解过的式子还原,再根据两个同学的错误得出正确的二次三项式,最后进行因式分解即可.
2(X・1)(X・9)=2x“20X+18,2(X-2)(X-4)=2x“12x+16;
由于甲同学因看错了一次项系数,乙同学看错了常数项,则正确的二次三项式为:
2x2-12X+18;
再对其进行因式分解:
2x2-12X+18=2(x-3)2.
本题考查了因式分解的应用,题目较为新颖,冋学们要细心对待.
10.观察李强同学把多项式(X2+6X+10)(XJ6X+8)+1分解因式的过程:
设x2+6x=y,则
原式二:
(y+10)(y+8)+1
=y+18y+81
=(X+6X+9)
(x+3)°
.
原式=(y+i)(y-3)+4
=y2-2y+1
正确分解因式以及注意分解因式要彻底是解题尖
=(y-D2
=(x+4x-1)
此题主要考查了因式分解法的应用,键.
11•
(1)写一个多项式,再把它分解因式(要求:
多项式含有字母m和n,系数、次数不限,并能先用提取公因式法再
用公式法分解)
1+X+X(X+1)+X(X+1)=(1+X)[1+X+X(X+1)]①
=(1+X)2(1+X)②
3
=(1+X)彳③
的乘法法则
2若分解1+X+X(X+1)+X(X+1)2+・・+X(X+1)2006,结果是(1+X)2007
考占:
因式分解•提公因式法.
(1)根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子,答案不唯一;
(2)首先通过分解因式,可发现①中的式子与结果之间的尖系,根据所发现的结论可直接得到答案.
3222
(1)m・mn=m(m-n)=m(m-n)(m+n),
(2)①提公因式法,同底数幕的乘法法则;
2根据①中可发现结论:
(1+x)2007;
3(1+x)n+1.
此题主要考查了因式分解法中的提公因式法分解因式,公式法分解因式以及分解因式
得根据,考查同学们的观察能力与归纳能力.
12.阅读下面的材料并完成填空:
因为(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab,所以,对于二次项系数为1的二次三项式x+px+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于P,即如果有a,b两数
满足a-b=a+b=p,则有
x+px+q=(x+a)(x+b).
如分解因式x2+5x+6.
所以x2+5x+6=(x+2)(x+3).
再如分解因式x-5x-6.
因为-6〉=-6,-6+1=-5.
所以X2-5x-6=(X-6)(x+1).
(1)x2+7x+12;
(2)x2-7x+12;
(3)x2+4x・12;
(4)x2-x-12.
因式分解・十字相乘法等.专题:
阅读型•
分析:
解答:
发现规律:
二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于P,则x+px+q=(x+a)(x+b).
(2)X2—7x+12=(X-3)(X・4);
(3)x+4x-12=(x+6)(x-2);
(4)x2-x-12=(x-4)(x+3)•
沏:
本题考查十字相乘法分解因式,是X2+(p+q)x+pq型式子的因式分解的应用,应识
记:
X2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)•
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