高中立体几何证明垂直的专题训练.doc

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高中立体几何证明垂直的专题训练

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：

（1）通过“平移”。

（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。

（3）利用勾股定理。

（4）利用三角形全等或三角行相似。

（5）利用直径所对的圆周角是直角，等等。

第一类：

通过“平移”,根据若

P

E

D

C

B

A

1．在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，.求证：

AE⊥平面PDC.（分析：

取PC的中点F，易证AE//BF，易证BF⊥平面PDC）

2．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，点E为棱AB的中点．

求证：

平面PCE⊥平面PCD；

分析：

取PC的中点G，易证EG//AF，又易证AF⊥平面PDC于是EG⊥平面PCD,则平面PCE⊥平面PCD

（第2题图）

3、如图所示，在四棱锥中，,,,是的中点，是上的点，且,为中边上的高。

（1）证明：

；

（2）若求三棱锥的体积；

（3）证明：

.

分析：

要证，只要把FE平移到DG，也即是取AP的中点G，易证EF//GD,

易证DG⊥平面PAB

4.如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形底面ABCD,E为PC的中点,PA＝AD。

证明:

;

分析：

取PD的中点F，易证AF//BE,易证AF⊥平面PDC

第二类：

利用等腰三角形底边上的中线的性质

A

C

B

P

5、在三棱锥中，，，，．

求证：

；

6、如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º证明：

AB⊥PC

第三类：

利用勾股定理

7、如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，

_

D

_

C

_

B

_

A

_

P

求证:

平面；

8、如图1，在直角梯形中，，，且．

现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．

（1）求证：

∥平面；

（2）求证：

平面；

9、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

求证：

平面BCD；

（1）证明：

连结OC

在中，由已知可得

而

即

平面

10、如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．证明：

解法一：

（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为

矩形，DE=CB=2，连结SE，则

又SD=1，故，

所以为直角。

由，

得平面SDE，所以。

SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

所以平面SAB。

第四类：

利用三角形全等或三角行相似

11．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，

求证：

D1O⊥平面MAC.

分析：

法一：

取AB的中点E，连A1E,OE,易证△ABM≌A1AE,

于是AM⊥A1E,又∵OE⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM,

∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O

法二：

连OM,易证△D1DO∽OBM,于是D1O⊥OM

12．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，

D为CC1中点.求证：

AB1⊥平面A1BD；

分析：

取BC的中点E，连AE,B1E,易证△DCB≌△EBB1，从而BD⊥EB1

13、.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，

过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，

求证：

A1C⊥平面BDE；

第五类：

利用直径所对的圆周角是直角

14、如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.

（1）求证：

平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.

15、如图，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,C是狐AB的中点，为的中点．证明：

平面平面;

16、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面．以的中点为球心、为直径的球面交于点．

求证：

平面⊥平面；

．

证：

依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.

因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.

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