高中立体几何测试卷.doc
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高中立体几何测试卷.doc
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高中“立体几何”测试卷
一、选择题(4’×10=40’)
1.一条直线与一个平面所成的角等于,另一直线与这个平面所成的角是.则这两条直线的位置关系()
A.必定相交B.平行 C.必定异面 D.不可能平行
2.下列说法正确的是。
A.直线a平行于平面M,则a平行于M内的任意一条直线
B.直线a与平面M相交,则a不平行于M内的任意一条直线
C.直线a不垂直于平面M,则a不垂直于M内的任意一条直线
D.直线a不垂直于平面M,则过a的平面不垂直于M
3.设P是平面α外一点,且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等,则四边形是。
A.梯形B.圆外切四边形C.圆内接四边形D.任意四边形
4.平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H.若AE=3,BF=4,CG=5,则DH等于。
A.6 B.5 C.4 D.3
5.二面角α—EF—β是直二面角,C∈EF,ACα,BCβ,∠ACF=30°,∠ACB=60°,则cos∠BCF等于。
A. B. C. D.
6.把∠A=60°,边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角,则AC与BD的距离为()
A.a B.aC.a D.a
7.||=||=4,〈,〉=60°,则|-|=。
A.4B.8C.37D.13
8.三棱柱中,M、N分别是、的中点,设,,,则等于。
A.B.C.D.
9.如图,棱长为5的正方体无论从哪一个面看,都有两个直通的边长为1的正方形孔,则这个有孔正方体的表面积(含孔内各面)是。
A.258B.234
C.222D.210
10.在半径为的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上,一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动,经过其余三点后返回,则经过的最短路程是:
A.B.C.D.
二、填空题(4’×5=20’)
11.边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD,如果AB与平面α的距离为,则AC与平面α所成角的大小是。
12.球的半径为8,经过球面上一点作一个平面,使它与经过这点的半径成45°角,则这个平面截球的截面面积为。
13.已知AB是异面直线a、b的公垂线段,AB=2,且a与b成30°角,在直线a上取AP=4,则点P到直线b的距离为。
14.一个凸多面体的棱数为30,面数为12,则它的各面多边形内角总和为。
15.已知a、b是直线,、、是平面,给出下列命题:
①若∥,a,则a∥
②若a、b与所成角相等,则a∥b
③若⊥、⊥,则∥
④若a⊥,a⊥,则∥
其中正确的命题的序号是________________。
三、解答题(40分)
16.(8分)在△ABC所在平面外有点S,斜线SA⊥AC,SB⊥BC,且斜线SA、SB与平面ABC所成角相等。
(I)求证:
AC=BC;
(II)又设点S到平面ABC的距离为4cm,AC⊥BC且AB=6cm,求S与AB的距离.
17.(10分)平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a,AB=b,CD⊥AB。
(I)求证EFGH为矩形;
(II)点E在什么位置,SEFGH最大?
18.(12分)如图:
直三棱柱ABC—A1B1C1,底面三角形ABC中,CA=CB=1,,棱AA1=2,M、N分别为A1B1、AB的中点。
①求证:
平面A1NC∥平面BMC1;
②求异面直线A1C与C1N所成角的大小;
③求直线A1N与平面ACC1A1所成角的大小。
19.(10分)如图,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,其中AB=3,PA=4,若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE,求线段AD的取值范围,并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时,二面角E—BC—A正切值的大小。
参考答案
一、选择题(3’×12=36’)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
C
D
A
A
D
B
B
二、填空题(4’×5=20’)
11.;
12.;
13.
14.;
15.
(1)(4)
三、解答题(10’×4=40’)
16.
(1)证明:
过S作SO⊥面ABC于O
17.解:
又∵AB⊥CDEF⊥FGEFGH为矩形.
(2)AG=x,AC=m,
,GH=x
GF=(m-x)
SEFGH=GH·GF=x·(m-x)=(mx-x2)=(-x2+mx-+)=[-(x-)2+]
当x=时,SEFGH最大=
18、建系:
A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0)
,,,,
(1),,,
,,,
,平面A1NC∥平面BMC1
(2),
异面直线A1C与C1N所成角的大小为
(3)平面ACC1A1的法向量为,
直线A1N与平面ACC1A1所成角的大小为
19.若以BC为直径的球面与线段PD有交点E,由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆,则必有BE⊥CE,因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点。
设BC的中点为O(即球心),再取AD的中点M,易知OM⊥平面PAD,作ME⊥PD交PD于点E,连结OE,则OE⊥PD,所以OE即为点O到直线PD的距离,又因为OD>OC,OP>OA>OB,点P,D在球O外,所以要使以BC为直径的球与线段PD有交点,只要使OE≤OC(设OC=OB=R)即可。
由于△DEM∽△DAP,可求得ME=,所以OE2=9+令OE2≤R2,
即9+≤R2,解之得R≥2;所以AD=2R≥4,所以AD的取值范围[4,+∞,
当且仅当AD=4时,点E在线段PD上惟一存在,此时易求得二面角E—BC—A的平面角正切值为。
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