高中文科数学集合部分整理.doc
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高中文科数学集合部分整理
(1)集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合.
★
(2)常用数集及其记法
自然数集,或正整数集,
整数集,有理数集,实数集.
(3)集合与元素间的关系
对象与集合的关系是,或者,两者必居其一.
(4)集合的表示法
①自然语言法:
用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法:
把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.
③描述法:
{|具有的性质},其中为集合的代表元素.
④图示法:
用数轴或韦恩图来表示集合.
(5)集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().
(6)子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
(或
A中的任一元素都属于B
(1)AA
(2)
(3)若且,则
(4)若且,则
或
真子集
AB
(或BA)
,且B中至少有一元素不属于A
(1)(A为非空子集)
(2)若且,则
集合
相等
A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A
(1)AB
(2)BA
(7)已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,它有非空真子集.
1、用适当的符号填空:
;;;
2、已知数集,数集,且,求的值
3、请将集合用列举法表示出来.
4、若,则;若则
5、设集合,则
6、已知集合有个元素,则集合的子集个数有个,真子集个数有个
7、已知集合为实数。
(1)若是空集,求的取值范围;
(2)若是单元素集,求的取值范围;
(3)若中至多只有一个元素,求的取值范围;
6、已知集合
(1)若,求实数的取值范围。
(2)若,求实数的取值范围。
(3)若,求实数的取值范围。
7、集合,且,则的范围是
8、已知为实数集,集合.若,或,求集合B.
解:
(1),或.又,,
可得.
而或,
或
借助数轴可得或.
9、设集合,.
(1)若,求实数a的取值范围;
(2)若,求实数a的取值范围;
(3)若,求实数a的值.
解:
(1)由题意知:
,,.
①当时,得,解得.
②当时,得,解得.
综上,.
(2)①当时,得,解得;
②当时,得,解得.
综上,.
(3)由,则.
命题及逻辑联结词
(二)简易逻辑
1、命题的定义:
可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题:
构成复合命题的形式:
p或q(记作“p∨q”);p且q(记作“p∧q”);非p(记作“┑q”)。
3、“或”、“且”、“非”的真值判断
(1)“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;
(2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;
(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.
4、四种命题的形式:
原命题:
若P则q;逆命题:
若q则p;
否命题:
若┑P则┑q;逆否命题:
若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.
5、四种命题之间的相互关系:
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:
(原命题逆否命题)
①原命题为真,它的逆命题不一定为真。
②原命题为真,它的否命题不一定为真。
③原命题为真,它的逆否命题一定为真。
6、如果已知pq那么我们说,p是q的充分条件,q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件,记为p⇔q.
从集合的观点理解充要条件,有以下一些结论:
若集合,则是的充分条件;
若集合,则是的必要条件;
若集合,则是的充要条件.
【例题分析】
1、写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题并判断真假.
(1)平行四边形的对边相等;
(2)设,若,则.
解:
分析:
先将原命题改为“若p则q”,在写出其它三种命题.
(1)
原命题:
若一个四边形是平行四边形,则其两组对边相等;真命题;
逆命题:
若一个四边形的两组对边相等,则这个四边形是平行四边形;真命题;
否命题:
若一个四边形不是平行四边形,则其两组对边至少一组不相等;真命题;
逆否命题:
若一个四边形的两组对边至少一组不相等,则这个四边形不是平行四边形;真命题.
(2)
原命题:
设,若,则;真命题;
逆命题:
设,若,则;假命题;
否命题:
设,若或,则;假命题;
逆否命题:
设,若,则或;真命题.
2、写出由下列各组命题构成的“p或q”,“p且q”,“非p”形式的命题,并判断真假.
(1)p:
2是4的约数,q:
2是6的约数;
(2)p:
方程的两实根的符号相同,q:
方程的两实根的绝对值相等.
解:
分析:
先写出三种形式命题,根据真值表判断真假.
(1)p或q:
2是4的约数或2是6的约数,真命题;
p且q:
2是4的约数且2是6的约数,真命题;
非p:
2不是4的约数,假命题.
(2)p或q:
方程的两实根的符号相同或绝对值相等,假命题;
p且q:
方程的两实根的符号相同且绝对值相等,假命题;
非p:
方程的两实根的符号不同,真命题.
3、用“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
(1)是的___________________条件;
(2)是的___________________条件;
(3)是或的___________________条件.
分析:
从集合观点“小范围大范围”进行理解判断,注意特殊值的使用.
解:
(1)因为结合不等式性质易得,反之不成立,若,,有,但不成立,所以是的充分不必要条件.
(2)因为的解集为,的解集为,故是的必要不充分条件.
(3)原问题等价其逆否形式,即判断“且是的____条件”,故是或的充分不必要条件.
【反馈演练】
1.一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论,则它的逆命题可表示为若q则p,否命题可表示为,逆否命题可表示为;原命题与逆否命题互为逆否命题,否命题与逆命题互为逆否命题.
2.命题“若,则”的逆否命题是__________________.
3.若命题m的否命题n,命题n的逆命题p,则p是m的____逆否命题____.
4.用“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
(1)已知,,那么是的_____充分不必要___条件.
(2)已知两直线平行,内错角相等,那么是的____充要_____条件.
(3)已知四边形的四条边相等,四边形是正方形,那么是的___必要不充分__条件.
5.若,则的一个必要不充分条件是.
6.已知条件,条件.若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解:
,若是的充分不必要条件,则.
若,则,即;
若,则解得.
综上所述,.
7
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