高中数学选修4-5知识点(最全版).docx
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苏教版高中数学选修4-5知识点
1.不等式的基本性质
1.实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系.
(2)设a、b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A、B.当点A在点B的左边时,ab.
(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)
(4)两个实数比较大小的步骤
①作差;②变形;③判断差的符号;④结论.
2.不等关系与不等式
(1)不等号有≠,>,<,≥,≤共5个.
(2)相等关系和不等关系
任意给定两个实数,它们之间要么相等,要么不相等.现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的,不等是普遍的、绝对的,因此绝大多数的量都是以不等关系存在的.
(3)不等式的定义:
用不等号连接起来的式子叫做不等式.
(4)不等关系的表示:
用不等式或不等式组表示不等关系.
3.不等式的基本性质
(1)对称性:
a>b⇔b (2)传递性: a>b,b>c⇒a>c; (3)可加性: a>b,c∈R⇔a+c>b+c; (4)加法法则: a>b,c>d⇒a+c>b+d; (5)可乘性: a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac (6)乘法法则: a>b>0,c>d>0⇒ac>bd; (7)乘方法则: a>b>0,n∈N且n≥2⇒an>bn; (8)开方法则: a>b>0,n∈N且n≥2⇒>. (9)倒数法则,即a>b>0⇒<. 2.基本不等式 1.重要不等式 定理1: 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.基本不等式 (1)定理2: 如果a,b>0,那么(≥),当且仅当a=b时,等号成立. (2)定理2的应用: 对两个正实数x,y, ①如果它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值,最大值为. ②如果它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值,最小值为2. 3.基本不等式≤的几何解释 如图,AB是⊙O的直径,C是AB上任意一点,DE是过C点垂直AB的弦.若AC=a,BC=b,则AB=a+b,⊙O的半径R=,Rt△ACD∽Rt△DCB,CD2=AC·BC=ab,CD=,CD≤R⇒≤,当且仅当C点与O点重合时,CD=R=,即=. 4.几个常用的重要不等式 (1)如果a∈R,那么a2≥0,当且仅当a=0时取等号; (2)如果a,b>0,那么ab≤,当且仅当a=b时等号成立. (3)如果a>0,那么a+≥2,当且仅当a=1时等号成立. (4)如果ab>0,那么+≥2,当且仅当a=b时等号成立. 3.三个正数的算术几何平均不等式 1.如果a、b、c∈R+,那么a3+b3+c3≥3abc,当且仅当a=b=c时,等号成立. 2.(定理3)如果a、b、c∈R+,那么(≥),当且仅当a=b=c时,等号成立.即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. 3.如果a1,a2,…,an∈R+,那么≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.即对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均. 二 绝对值不等式 1.绝对值三角不等式 1.绝对值及其几何意义 (1)绝对值定义: |a|= (2)绝对值几何意义: 实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离|OA|. (3)数轴上两点间的距离公式: 设数轴上任意两点A,B分别对应实数x1,x2,则|AB|=|x1-x2|. 2.绝对值三角不等式 (1)定理1: 如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. 推论1: 如果a,b是实数,那么|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 推论2: 如果a,b是实数,那么|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. (2)定理2: 如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. 2.绝对值不等式的解法 1.|x|a型不等式的解法 设a>0,则
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