高等代数习题答案docWord格式.docx
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因为A
0,于是A
,所以rankA
n,且A不是正定矩阵。
故必存在非
退化线性替换X
C1Y使
XAXYC1
ACY
YBY
y12
y22
yp2
yp2
1
2
yn2,
且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在
Z
C1Y中,令
y
p
0,yp1
yp
yn
1,则可得一线性方程组
c11x1
c12x2
c1nxn
cp1x1
cp2x2
cpnxn
,
cp
1,1x1
1,2x2
cp
1,nxn
cn1x1
cn2x2
cnnxn
由于C
0,故可得唯一组非零解
Xs
x1s,x2s,
xns使
XsAXs00
011
np0,
即证存在X
0,使XAX
0。
13.如果A,B都是n阶正定矩阵,证明:
B也是正定矩阵。
因为A,B为正定矩阵,所以
XAX,XBX为正定二次型,且
0,
XBX
因此
X
ABX
于是X
BX必为正定二次型,从而
B为正定矩阵。
14.证明:
二次型fx1,x2,,xn是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
必要性。
采用反证法。
若正惯性指数
秩r,则p
r。
即
fx1,x2,,xn
p1
r
若令
y1
y2
0,yp1
yr1,
则可得非零解
x1,x2,,xn
使f
x1,x2,
xn
这与所给条件
矛盾,故p
充分性。
由
r,知
fx1,x2,
yp2,
故有fx1,x2,
,即证二次型半正定。
n
xi2
15
.证明:
n
xi
是半正定的。
i1
i
证n
nx12
x22
xn2
x12
2x1x2
2x1xn
2x2x3
2x2xn
2xn1xn
n1
(2x1x2
2x1xn
2x2xn
2xn1xn)
2x1x2
2x1x3
x32
xn21
2xn1xn
xj
ijn
可见:
1)当x1,x2,
xn不全相等时
j
2)当x1
x2
xn时
故原二次型fx1,x2,,xn是半正定的。
16.设fx1,x2,,xn
XAX是一实二次型,若有实
n维向量X1,X2使
X1AX
X2AX20。
证明:
n维向量X0
0使X0AX0
0。
设A的秩为r,作非退化线性替换
CY将原二次型化为标准型
XAXd1y12
d2y22
dryr2,
其中dr为1或-1。
由已知,必存在两个向量
X1,X2使
X1AX1
和
X2AX2
0,
故标准型中的系数
d1,
dr不可能全为
1,也不可能全为-1。
不妨设有
p个1,q个-1,
且pqr,即
XAXy12
y2p
y2p1
q,
这时p与q存在三种可能:
pq
下面仅讨论p
q的情形,其他类似可证。
令y1
yq1,
yq1
yp
yp1
ypq1,
则由ZCY可求得非零向量
X0使
X0AX0
y2pq
即证。
17.A是一个实矩阵,证明:
rank
AA
A。
证由于rankArank
AA的充分条件是
AX
0与AAX
0为同解方程组,故只要
证明AX
0与AAX
同解即可。
事实上
AAX
XAAX
即证AX
同解,故
rankA。
注
该结论的另一证法详见本章第三部分(补充题精解)第
2题的证明,此处略。
一、补充题参考解答
1.用非退化线性替换化下列二次型为标准型,并用矩阵验算所得结果:
1)x1x2n
x2x2n1
x2x2n1
xnxn1;
2)x1x2
x2x3
xn1xn;
3)
xixj;
1i
jn
x1x2
xn。
4)
x
,其中x
解1)作非退化线性替换
x1y1y2n
x2y2y2n1
xn
yn1
x2n1y2y2n1
x2ny1y2n
即XTY,则原二次型的标准形为
fy12y22yn2yn21y22n1y22n,
且替换矩阵
T
使
TAT,
其中
2)若
x1
x3,
则
y2y1
x1x2
x2x3,
于是当n为奇数时,作变换
yi
1xi2
1,3,5,
n
xx
3
4
n2
且当n4k
1时,得非退化替换矩阵为
当n4k3时,得非退化替换矩阵为
故当n为奇数时,都有
TAT。
当n为偶数时,作非退化线性替换
xi1
xi2
xn1
于是当n4k
时,得非退化替换矩阵为
于是当n4k2时,得非退化替换矩阵为
故当n为偶数时,都有
TAT1。
3)由配方法可得
1n
f
xj
3x2
2j
3j
1xn
n1xn2,
2n
2n
于是可令
2j2
则非退化的线性替换为
1y2
1y3
1yn
且原二次型的标准形为
3y22
yn21
n1yn2,
相应的替换矩阵为
又因为
所以
6
TAT
4)令
xn1x
2y1
i2
2y2
i3
2yn1yn
由于
nn
n1x
x,
原式
yi2
yiyj
2z12
3z22
zn2
2z12
1,
其中所作非退化的线性替换为
z1
1z2
1z3
zn1
z2
1z4
1zn1
zn
故非退化的替换矩阵为
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