高中数学选修2-1练习题(含答案)辅导.doc
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2-1模块练习题姓名:
一、非解答题
1如果表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是
2.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是__________.
3.已知椭圆有这样的光学性质:
从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.现有一水平放置的椭圆形台球盘,其长轴长为2a,焦距为2c,若点A,B是它的焦点,当静放在点A的小球(不计大小),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后再回到点A时,小球经过的路程是
4.用一个与圆柱母线成角的平面截圆柱,截口是一个椭圆,则此椭圆的离心率是
5.已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是
6.已知直线L交椭圆于M、N两点,椭圆于y轴的正半轴交于点B,若的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线L的方程是
7.设椭圆和轴正方向交点为A,和轴正方向的交点为B,P为第一象限内椭圆上的点,使四边形OAPB面积最大(O为原点),那么四边形OAPB面积最大值为()
A. B. C. D.
8椭圆的离心率为,则的值为______________
9.已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于A、B两点,若,则=___________。
10.椭圆的焦点、,点为其上的动点,当∠为钝角时,点横坐标的取值范围是
11.已知为空间中两条不同的直线,为空间中两个不同的平面,下列命题正确的是()
A.若,则 B.若,则
C.若在内的射影互相平行,则D.若,则
12.在四边形中,,,,,现将沿折起,得三棱锥,若三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的体积为()
A.B.C.D.
13.如图,平面平面,=直线,是内不同的两点,是内不同的两点,且直线,分别是线段
的中点.下列判断正确的是()
A.当时,两点不可能重合
B.两点可能重合,但此时直线与不可能相交
C.当与相交,直线平行于时,直线可以与相交
D.当是异面直线时,直线可能与平行
第16题
14.如图所示,在直三棱柱中,底面是为直角的等腰直角三角形,,是的中点,点在线段上,当________时,平面.
第14题
15.已知正方体的棱长是,则直线与间的距离为。
16.如图,在三棱锥中,,平面
平面,为中点,分别为线段上的动点(不含端点),且
,则三棱锥体积的最大值为_________.
二、解答题
1.设椭圆的左右焦点分别为,离心率,点到右准线为的距离为(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设是上的两个动点,,
证明:
当取最小值时,
2.如图、椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。
若直线l绕点F任意
转动,都有,求a的取值范围.
3.设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.
(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
4.如图所示的几何体中,四边形为菱形,,,,,平面平面,,为的中点,为平面内任一点.
(Ⅰ)在平面内,过点是否存在直线使?
如果不存在,请说明理由,如果存在,请说明作法;
(Ⅱ)过,,三点的平面将几何体
截去三棱锥,求剩余几何体的体积.
5.已知四棱锥的底面为直角梯形,,
底面,且,
,是的中点
(1)求与所成角的余弦值;
(2)求面与面所成夹角的余弦值.
6.如图,在三棱锥中,是边长为4的正三角形,平面平面,,为的中点.
(1)证明:
;om]
(2)求二面角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
参考答案
一、选择题
1.焦点在轴上,则
2.[2,+∞)【解析】当渐近线与直线l平行,或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时,直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,所以,即,所以.
3.
4.解:
设圆柱底面半径为R,则,,
O
P
∴,∴。
5.解:
由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则
又,
所以。
6.解:
设M、N的坐标分别为、,点B坐标为,椭圆右焦点为,∵的重心恰好落在椭圆的右焦点上,
∴,∴MN的中点坐标为,又点、在椭圆上,∴,,两式相减得:
A
B
O
P
∴直线MN的斜率
∴直线MN的方程为,
即。
7.B解:
的面积为,四边形OAPB的面积大于
的面积而小于的面积的2倍,故选B。
8.解:
当时,;
当时,
9.8解:
依题直线过椭圆的左焦点,在中,
,又,∴
10.可以证明且
而,则
即
11.A12.D13B
14.或;
15.
设
则,而另可设
,;
16.
二、解答题
1.解:
因为,到的距离,所以由题设得
解得由,得
(Ⅱ)由得,的方程为
故可设
由知知
得,所以
当且仅当时,上式取等号,此时
所以,
2.解:
(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,因为△MNF为正三角形,
所以,
,因此,椭圆方程为
(Ⅱ)设
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时,
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,设直线AB的方程为:
整理得
所以
因为恒有,所以AOB恒为钝角.
即恒成立.
又,所以对恒成立,
即对恒成立,当时,最小值为0,
所以,,
,即,
解得或(舍去),即,
综合(i)(ii),a的取值范围为.
3.解(Ⅰ):
依题设得椭圆的方程为,
直线的方程分别为,.
如图,设,其中,
D
F
B
y
x
A
O
E
且满足方程,
故.①
由知,得;
由在上知,得.
所以,化简得,解得或.
(Ⅱ)解法一:
根据点到直线的距离公式和①式知,点到的距离分别为,
.
又,所以四边形的面积为
,
当,即当时,上式取等号.所以的最大值为.
解法二:
由题设,,.
设,,由①得,,
故四边形的面积为
,
当时,上式取等号.所以的最大值为.
4.【解析】(Ⅰ)过点存在直线使,理由如下:
由题可知为的中点,又为的中点,所以在中,有.
若点在直线上,则直线即为所求作直线,所以有;
若点不在直线上,在平面内,过点作直线,使,
又,所以,即过点存在直线使.
(Ⅱ)连接,,则平面将几何体分成两部分:
三棱锥与几何体(如图所示).
因为平面平面,且交线为,
又,所以平面,故为几何体的高.
又四边形为菱形,,,,
所以,
所以.
又,所以平面,
所以,
所以几何体的体积.
5.
21.证明:
以 为坐标原点 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为 .
(1)因
(2)平面 的一个法向量设为 ,
平面 的一个法向量设为 ,
所求二面角的余弦值为
6.解析:
(1)证明:
取的中点,连接
因为,,所以且.
因为平面平面,平面平面,所以平面
所以.
如右图所示,建立空间直角坐标系
则
所以
因为
所以
(2)由
(1)得,所以
设为平面的一个法向量,则
,取,则所以
又因为为平面的一个法向量,所以
所以二面角的余弦值为.
10
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