高中数学选修2-1期末考试试题及答案.doc
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高二期末考试数学试题
一.选择题(每小题5分,满分60分)
1.设均为直线,其中在平面的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.对于两个命题:
①,②,
下列判断正确的是()。
A.①假②真 B.①真②假 C.①②都假 D.①②都真
3.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是()
A.B.C.D.
4.已知是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与,两点,则是正三角形,则椭圆的离心率是()w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
ABCD
5.过抛物线的焦点作倾斜角为直线,直线与抛物线相交与,两点,则弦的长是()
A8B16C32D64w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
6.在同一坐标系中,方程的曲线大致是()
A.B.C.D.
7.已知椭圆(>0)的两个焦点F1,F2,点在椭圆上,则的面积最大值一定是()
ABCD
8.已知向量互相垂直,则实数k的值是( )
A.1B. C.D.
9.在正方体中,是棱的中点,则与所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
10.若椭圆交于A,B两点,过原点与线段AB中点的连线的斜率为,则的值是()
11.过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点,若,则的值为()
A.5B.6C.8D.10
12..以=1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为()
A.B.C.D.
二.填空题(每小题4分)
13.已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外一点O,给出下列表达式:
其中x,y是实数,若点M与A、B、C四点共面,则x+y=___
14.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则等于___
15.若命题P:
“x>0,”是真命题,则实数a的取值范围是___.
16.已知,为空间中一点,且,则直线与平面所成角的正弦值为___.
三.解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。
)
17.(本小题满分14)
设命题:
,命题:
;
如果“或”为真,“且”为假,求的取值范围。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
18.(15分)如图①在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E,F,G分别是线段PC、PD,BC的中点,现将ΔPDC折起,使平面PDC⊥平面ABCD(如图②)
(Ⅰ)求证AP∥平面EFG;
(Ⅱ)求二面角G-EF-D的大小;
(Ⅲ)在线段PB上确定一点Q,使PC⊥平面ADQ,试给出证明.
19.(15分)如图,金砂公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪
A
E
y
x
D
C
B
分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.
(Ⅰ)设AD=,DE=,求关于的函数关系式;
(Ⅱ)如果DE是灌溉水管,我们希望它最短,则DE的位置应在哪里?
请予以证明.
20.(15分)设分别为椭圆的左、右两个焦点.
(Ⅰ)若椭圆上的点两点的距离之和等于4,求椭圆的方程和焦点坐标;
(Ⅱ)设点P是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点,。
21.(15分)如图,设抛物线C:
的焦点为F,为抛物线上的任一点(其中≠0),
过P点的切线交轴于Q点.
(Ⅰ)证明:
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B
A
O
F
x
y
Q
P
M
(Ⅱ)Q点关于原点O的对称点为M,过M点作平行于PQ的直线交抛物线C于A、B两点,若,求的值.
高二(理科)期末考试数学试题参考答案及评分标准
一.选择题:
ABCCB DCBDB DD
二、填空题:
13.14.815.
16.详解:
由对称性点在平面内的射影必在的平分线上作于,连结则由三垂线定理,设,又,所以,因此直线与平面所成角的正弦值,本题亦可用向量法。
16.
三.解答题:
17解:
命题:
即恒成立…………3分
命题:
即方程有实数根
∴或.…………6分
∵“或”为真,“且”为假,∴与一真一假…………8分
当真假时,;当假真时,…………10
∴的取值范围是………14
18(14分)解法一:
(Ⅰ)在图②中∵平面PDC⊥平面ABCD,AP⊥CD
∴PD⊥CD,PD⊥DA
∴PD⊥平面ABCD
如图.以D为坐标原点,直线DA、DC、DP分别为与z轴建立空间直角坐标系:
…………………1分
则
………………3分
设平面GEF的法向量,由法向量的定义得:
不妨设z=1,则………………………………4分
………………………………5分
,点P平面EFG
∴AP∥平面EFG………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面GEF的法向量,因平面EFD与坐标平面PDC重合
则它的一个法向量为=(1,0,0)………………………………8分
设二面角为.则…………9分
由图形观察二面角为锐角,故二面角G-EF-D的大小为45°。
………10分
(Ⅲ)假设在线段PB上存在一点Q,使PC⊥平面ADQ,
∵P、Q、D三点共线,则设,又,
∴,又…………11分
若PC⊥平面ADQ,又
则…………15分
∴,………………………………13分
故在线段PB上存在一点Q,使PC⊥平面ADQ,且点Q为线段PB的中点。
……15分
解法二:
(1)∵EF∥CD∥AB,EG∥PB,根据面面平行的判定定理
∴平面EFG∥平面PAB,又PA面PAB,∴AP∥平面EFG……………………4分
(2)∵平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC
∴AD⊥平面PCD,而BC∥AD,∴BC⊥面EFD
过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR,根据三垂线定理知
∠GRC即为二面角的平面角,∵GC=CR,∴∠GRC=45°,
故二面角G-EF-D的大小为45°。
…………………8分
(3)Q点为PB的中点,取PC中点M,则QM∥BC,∴QM⊥PC
在等腰Rt△PDC中,DM⊥PC,∴PC⊥面ADMQ……………………15分
19(14分)解:
(1)在△ADE中,2=2+AE2-2·AE·cos60°
…………………2分
2=2+AE2-·AE,①
又S△ADE=S△ABC=·2=·AE·sin60°·AE=2.②……4分
②代入①得2=2+-2(>0),∴=………6分
又≤2,若,,矛盾,所以≥
∴=(1≤≤2).………………………7分
(2)如果DE是水管=≥,………………10分
当且仅当2=,即=时“=”成立,…………………………15分
故DE∥BC,且DE=.………………………………15分
20解:
(Ⅰ)椭圆C的焦点在x轴上,
由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.…….2分
又点…….4分
所以椭圆C的方程为…….6分
(Ⅱ)设…….8分
…….10分
…….12分
又…….15分
21解:
(Ⅰ)证明:
由抛物线定义知,
,
可得PQ所在直线方程为,
∵
∴得Q点坐标为(0,)
∴∴|PF|=|QF|
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),又M点坐标为(0,y0)
∴AB方程为…….8分。
由得
∴……①…….10分。
由得:
,
∴……②…….12分。
由①②知,得,由x0≠0可得x2≠0,
∴,又,解得:
.…….15分。
8
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