函数的周期和对称性Word文件下载.docx
- 文档编号:21234318
- 上传时间:2023-01-28
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:227.56KB
函数的周期和对称性Word文件下载.docx
《函数的周期和对称性Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数的周期和对称性Word文件下载.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
a)f(x)
f(xa)(或f(x)
f(xa)f(x2a)),则
f(x)的周期T=6a(联
系数列)
f(x)f(xa)f(x的周期T=5a;
2a)f(x3a)f(x
4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x
3a)f(x4a),则f(x)
yf(x)满足f(x
a)g(f(x)),(a
0),其中g1(x)g(x),则
yf(x)是以2a为周
期的周期函数。
3、函数的对称性与周期性之间的联系:
双对称性函数的周期性
具有多重对称性的函数必具有周期性。
即,如果一个函数有两条对称轴(或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心),则该函数必为周期函数。
相关结论如下:
结论1:
两线对称型:
如果定义在R上的函数f(x)有两条对称轴xa、xb,即f(ax)f(ax),且f(bx)f(bx),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T2ab
证明:
∵f(ax)f(ax)得f(x)f(2ax)
f(bx)f(bx)得f(x)f(2bx)
∴f(2ax)f(2bx)
∴f(x)f(2b2ax)
∴函数yf(x)是周期函数,且2b2a是一个周期。
【注意:
上述2ab不一定是最小正周期。
若题目所给两条对称轴xa、xb之间没有其他对称轴,则2ab是最小正周期。
具体可借助三角函数来进行分析。
下同。
】结论2:
两点对称型:
如果函数同时关于两点a,c、b,c(ab)成中心对称,即
f(ax)f(ax)2c和f(bx)f(bx)2c(ab),那么f(x)是周期函数,其中一
个周期T2ab
证明:
由f(ax)f(ax)2cf(x)f(2ax)2cf(bx)f(bx)2cf(x)f(2bx)2c得f(2ax)f(2bx)得f(x)f(2b2ax)
∴函数yf(x)是以2b2a为周期的函数。
结论3:
一线一点对称型:
如果函数f(x)的图像关于点a,c(a0)成中心对称,且关
于直线xb(ab)成轴对称,那么
f(x)是周期函数,其中一个周期
f(a
x)f(ax)2cf(x)f(2ax)
2c
f(b
x)f
bx)f(x)
f(2bx)
f(4(b
a)x)f(2b(4a
2bx))
f(4a
2bx)f(2a(2b
2ax))
f(2b2a
x)
f(2b
(2ax))2c
f(2a
(2c
f(x))2c2c
f(x)
推论1
:
如果偶函数
f(x)的图像关于直线x
a(a
0)对称,
那么f
其中一个周期
T2
a
(x)是周期函数,
推论2:
如果偶函数f(x)的图像关于直线a,c(a0)对称,那么f(x)是周期函数,其中一个周期T4a
推论3:
如果奇函数f(x)的图像关于直线xa(a0)对称,那么f(x)是周期函数,其中一个周期T4a
推论4:
如果奇函数f(x)关于点a,c(a0)成中心对称,那么f(x)是周期函数,其中一个周期T2a
【函数的奇偶性、对称性、周期性的代数特征有相仿之处,这三性都是有函数方程决定的,
方程的不同特征决定了函数不同的性质,要注意其共性与个性。
】
【函数的奇偶性是函数对称性中的特殊情况,奇函数对称中心为(0,0),偶函数对称轴为
y=0,带入结论1-3,可得推论1-4,所以学生在记忆时只需记住结论1-3即可,减少工作量】
【同理,教师可示范性给出一个结论的证明过程,其余可让学生进行证明】
典例精讲
利用周期性求值:
2、
★★)
已知定义在
R上的奇函数
f(x)满足f(x2)
f(x),则f(6)的值为(
解:
Q
)
A、
3
2)
-1
、(
f(x),且x
B、0★★)(0,1)时,f(x)
C、1
已知奇函
2x,则f(log118)的值为
2
D、2f(x)满
f(log118)
f(
log218)
xf(x2)f(x4),
9f(4log218)f(log289)
9log28)
例4、(★★★)f(x)的定义域是R,且求f(2008)的值。
f(x2)[1f(x)]1f(x),若f(0)2008
f(x4)11
f(x4)11周期为8,f(2008)f(0)2008
f(x)f(x2)1f(x2)1
1f(x8)f(x4)
利用周期性求解析式:
例5、(★★★)已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x(0,1)时,f(x)x1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解法1:
从解析式入手,由奇偶性结合周期性,将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上
∵x(1,2),则x(2,1)∴2x(0,1),∵T2,∴f(x)f(x)f(2x)
x(1,2)解法2:
(从图象入手也可解决,且较直观)如图:
x∴x(1,0)时f(x)f(x)又周期为2,x∴f(x)f(x
是偶函数
2x13x
f(x)f(x2)
(0,1),f(x)x1.∵是偶函数
x1
(1,2)时x2(1,0)
2)(x2)13x
例6、(★★★)yf(x)(数,且在x
(1)
(2)
(3)解:
求y求y
已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数,周期T5,函数1)是奇函数.又知yf(x)在[0,1]上是
5.
1x
2时函数取得最小值f
(1)f(4)0;
f(x),x[1,4]的解析式;
f(x)在[4,9]上的解析式.
次函数,在[1,4]上是二次函
∵f
x)是以5为周期的周
期函数,且
在[
1,1]
上
是奇
f
(1)
f
(1)f(51)
f(4)
,∴f
(1)f(4)
0.
②当x
[1,4]时,由题意可设
a(x2)25(a
0),
由f
(1)
f(4)0得a(12)2
5a
(42)250,
∴a
2,
∴f(x)
2(x2)25(1x
4).
③∵y
f(x)(1x1)是奇
函数,∴
f(0)0,
又知y
f(x)在[0,1]上是一次函数,∴
可设f(x)kx
(0
x1)
而f
(1)
2(12)253,
∴k
3,∴当0x1时,
3x,
从而1
x0时,f(x)
f(x)
3x,故1x
1时
,f(
3x
∴当4
x6时,有1x
51,
∴f(x)f(x5
3(x
5)
当6x
9时,1x54,
函数,
∴f(x)f(x
2(x
【由以上两例可以看出,只要当成是函数图象的平移来做即可。
22
2]252(x7)25
6
5)2[(x
15,4
7)25,
已知周期函数某个周期内的解析式,求另一个周期内的解析式,
x9
】
偶函数
【由于函数的性质:
奇偶性、对称性联系紧密,教师可引导学生在此回顾奇函数、如何求解对称区间的解析式这类问题】
函数的奇偶性、对称性、
周期性的综合运用
★★)
已知
f(x)是定义在
R上的函数,f(10
x)f(10x)且
f(20x)
f(20
x),
则f(x)是
A.
C.
周期为
20的奇函数
40的奇函数
B.
D.
周期为20的偶函数
周期为40的偶函数
例2、(★★)
定义域为R的函数
满足f
4xfx8,且
yfx8为偶
函数,则f(x)(C)
3)
f(x3)=f(3
x),且f(x4)f(4x),则f(x)的一个周期为2。
f(x3)与y
f(3x)的图象关于直线x3对称。
2)、(3)。
其中正确命题的序号为
【本题中学生容易错选(4),究其原因,是没有分清是一个函数自身的对称,还是两个函数之间的对称,审题不清】
数.给出以下3个命题:
1函数f(x)的周期是6;
2函数f(x)的图象关于点3,0对称;
3函数f(x)的图象关于y轴对称,其中,真命题的个数是(A).
A.3B.2C.1D.0
例5、(★★★)设函数f(x)在(,)上满足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x),且在闭区间[0,7]上,只有f
(1)f(3)0.
(Ⅰ)试判断函数yf(x)的奇偶性;
(Ⅱ)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.解:
由f(2x)f(2x),f(7x)f(7x)得函数yf(x)的对称轴为x2和x7,
从而知函数yf(x)不是奇函数,
f(x)f(x10)
IIIQ函数周期为10,[3,0]关于x2对称的区间为[4,7],
Qf(x)在[0,7]只有两根1和3,[4,7]无根,[3,0]无根,f(x)在一个周期[3,7]内只有两根;
2005,2005共有401个周期,f(x)在2005,2005共有802个根。
【本题的关键是要说明在一个周期内函数只有两个根,也就是函数在[7,10]内是无根的】
例6、(★★★)若函数f(x)在R上是奇函数,且在1,0上是增函数,且f(x2)f(x).
①求f(x)的周期;
②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;
关于直线x2k1轴对称,(kZ);
③讨论f(x)在(1,2)上的单调性;
解:
①由已知f(x)f(x2)f(x22)f(x4),故周期T4.
②设P(x,y)是图象上任意一点,则yf(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4kx,y).P关于直线x2k1对称的点为P2(4k2x,y)
∵f(4kx)f(x)f(x)y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x2)f(x)f(x)
∴f(4k2x)f(2x)f(x)y
∴点P2在图象上,图象关于直线x2k1对称.
③设1x1x22,则2x2x11,02x22x11
∵f(x)在(1,0)上递增,∴f(2x1)f(2x2)⋯⋯(*)
又f(x2)f(x)f(x)∴f(2x1)f(x1),f(2x2)f(x2)所以:
f(x2)f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数.
xyxy
f(x)f(y)2f()f(),f(0)0,且存在非零常数c,使f(c)0.22
1)求f(0)的值;
2)判断f(x)的奇偶性并证明;
3)求证f(x)是周期函数,并求出f(x)的一个周期
课堂检测
f(x)2x,则
f(113.5)
(
D)
1
7
5
3、(★★)设
函数f(x)是定义在
R上的奇函数,对于任意的xR,都有
f(x1)
1f(x),
当0x≤1时,
f(x)2x,则f(11.5)(A)
1B.1
C.1D.
4、(★★)已知函数f(x)为R上的奇函数,且满足f(x2)f(x),当0x1时,
f(x)x,则f(7.5)等于(B)A.0.5B.0.5C.1.5D.1.5
5、(★★)设f(x)是定义在R上的奇函数,f(x4)-f(x)且f(3)5,则f(-21),f(2005)
答:
5,-5
6、(★★)设f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x2),当0≤x≤,1f(x)2x,
则f(7.5)
7、(★★)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x2)f(x2),f
(1)2,则f
(2)f(7)
-2
8、(★★★)设fx是定义域为R的函数,且fx21fx1fx,又
f222,则f2006=
(答:
)
1+x
9、(★★★)设f(x)=,又记f1(x)=f(x),fk+1(x)=f[fk(x)],k=1,2,⋯,则f2009(x)=(D)
1-x
本题属于迭代周期型,也是常出现的题】
10、(★★★)已知定义在R上的奇函数
f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>
0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4
-811、(★★★)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).
(1)求证:
f(x)是周期函数;
11
(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=2x,求使f(x)=-2在[0,2009]上的所有x的个
数.
解析:
(1)证明∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数.
(2)当0≤x≤1时,f(x)=2x,设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,11
∴f(-x)=2(-x)=-2x.
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
111
∴-f(x)=-2x,即f(x)=2x(-1≤x≤0.)故f(x)=2x(-1≤x≤1.)
又设1<
x<
3,则-1<
x-2<
1,∴f(x-2)=12(x-2),又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-[-f(-x)]=-f(x),
11∴-f(x)=2(x-2),∴f(x)=-2(x-2)(1<
x<
3).
2x,-1≤x≤11
∴f(x)=.由f(x)=-1,解得x=-1.
12
-2x-2,1<
3∵f(x)是以4为周期的周期函数.
故f(x)=-2的所有x=4n-1(n∈Z).
令0≤4n-1≤2009,则41≤n≤10205.
又∵n∈Z,∴1≤n≤502n(∈Z),
1∴在[0,2009]上共有502个x使f(x)=-2
课后习题
.1x,则函
1若函数f(x)2x3的图像与g(x)的图像关于直线yx对称,则g(5)=2设fx是定义在R上以2为周期的偶函数,已知x(0,1),fxlog112
数fx在(1,2)上的解析式是
答案】ylog1x1
若方程f(x)恰有5个实数解,则m的取值范围为(
答案】B
答案】C
新定义型
的函数叫做似周期函数.
是偶函数;
数yf(x),xn,n1,nZ的解析式;
因为xR关于原点对称,
又函数yf(x)的图像关于直线x1对称,所以
f(1x)f(1x)①又T1,f(x1)af(x),
用x代替x得f(x1)af(x),
由①②③可知af(x)af(x),a1且a0,
f(x)f(x).即函数f(x)是偶函数;
(2)当nxn1(nZ)时,0xn1(nZ)
f(x)2f(x1)22f(x2)2nf(xn)2n(xn)(n1x);
6、已知函数yf(x),xD,如果对于定义域D内的任意实数x,对于给定的非零常数m,总存在非零常数T,恒有f(xT)mf(x)成立,则称函数f(x)是D上的m级类增周
期函数,周期为T.若恒有f(xT)mf(x)成立,则称函数f(x)是D上的m级类周
期函数,周期为T.
(1)试判断函数
f(x)
log1(x1)是否为3,上的周期为1的2级类增周期函数?
并
说明理由;
(2)已知函数
xax是3,
上的周期为1的2级类增周期函数,求实数a的
取值范围;
解
(1)∵(x
11)
(x1)2(x2
3x1)0,即(x
11)(x1)2
∴log1(x
log1(x1)2,
即log1(x11)
2log1(x1)
即f(x
1)2
f(x)对一切x
3,恒成立,
故f(x)
log1
(x1)是3,
上的周期为1的2级类增周期函数.
(2)由题意可知:
f(x1)2f(x),
即(x1)2a(x1)2(x2ax)对一切3,恒成立,
x1ax22x1,
令x1t,则t2,
所以g(t)ming
(2)1,
所以a1.
利用周期,奇偶性,对称性求解析式
7定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4,且x0,2时,f(x)
2x
4x1
1)判断并证明f(x)在0,2上的单调性,并求
f(x)在2,2
上的解析式;
(1)
f(x)在
证明如下:
设0
f(x1)
f(x2)
f(x1)
f(x2),
当2x
0时,
又f(x)为
奇函数,
2)当
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 周期 对称性