高中数学解析几何压轴题专项拔高训练(二).doc
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高中数学解析几何压轴题专项拔高训练
一.选择题(共15小题)
1.已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆(a>b>0)的右焦点交椭圆于A、B两点,P为右准线上任意一点,则∠APB为( )
A.
钝角
B.
直角
C.
锐角
D.
都有可能
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
根据题设条件推导出以AB为直径的圆与右准线相离.由此可知∠APB为锐角.
解答:
解:
如图,设M为AB的中点,过点M作MM1垂直于准线于点M1,分别过A、B作AA1、BB1垂直于准线于A1、B1两点.
则
∴以AB为直径的圆与右准线相离.
∴∠APB为锐角.
点评:
本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时作出图形,数形结合,往往能收到事半功倍之效果.
2.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线为l,一直线交双曲线于P.Q两点,交l于R点.则( )
A.
∠PFR>∠QFR
B.
∠PFR=∠QFR
C.
∠PFR<∠QFR
D.
∠PFR与∠AFR的大小不确定
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
设Q、P到l的距离分别为d1,d2,垂足分别为M,N,则PN∥MQ,=,又由双曲线第二定义可知,由此能够推导出RF是∠PFQ的角平分线,所以∠PFR=∠QFR.
解答:
解:
设Q、P到l的距离分别为d1,d2,垂足分别为M,N,
则PN∥MQ,
∴=,
又由双曲线第二定义可知,
∴,,
∴,
∴RF是∠PFQ的角平分线,
∴∠PFR=∠QFR
故选B.
点评:
本题考查双曲线的性质和应用,解题时利用双曲线第二定义综合平面几何知识求解.
3.设椭圆的一个焦点为F,点P在y轴上,直线PF交椭圆于M、N,,则实数λ1+λ2=( )
A.
B.
C.
D.
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有
专题:
综合题;压轴题.
分析:
设直线l的斜率为k,则直线l的方程是y=k(x﹣c).将直线l的方程代入到椭圆C的方程中,消去y并整理得(b2+a2k2)x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0.然后利用向量关系及根与系数的关系,可求得λ1+λ2的值.
解答:
解:
设M,N,P点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),P(0,y0),
又不妨设F点的坐标为(c,0).
显然直线l存在斜率,设直线l的斜率为k,
则直线l的方程是y=k(x﹣c).
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中,消去y并整理得(b2+a2k2)x2﹣2a2ck2x+a2c2k2﹣a2b2=0.
∴,.
又∵,
将各点坐标代入得,
=.
故选C.
点评:
本题以向量为载体,考查直线与椭圆的位置关系,是椭圆性质的综合应用题,解题时要注意公式的合理选取和灵活运用.
4.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e,直线l与双曲线C1交于A,B两点,线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px(p>0)上,且M到抛物线焦点的距离为p,则l的斜率为( )
A.
B.
e2﹣1
C.
D.
e2+1
考点:
圆锥曲线的综合.菁优网版权所有
专题:
综合题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
利用抛物线的定义,确定M的坐标,利用点差法将线段AB中点M的坐标代入,即可求得结论.
解答:
解:
∵M在抛物线y2=2px(p>0)上,且M到抛物线焦点的距离为p,
∴M的横坐标为,∴M(,p)
设双曲线方程为(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则
,
两式相减,并将线段AB中点M的坐标代入,可得
∴
∴
故选A.
点评:
本题考查双曲线与抛物线的综合,考查点差法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
5.已知P为椭圆上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x﹣3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.
5
B.
7
C.
13
D.
15
考点:
圆与圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
由题意可得:
椭圆的焦点分别是两圆(x+3)2+y2=1和(x﹣3)2+y2=4的圆心,再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案.
解答:
解:
依题意可得,椭圆的焦点分别是两圆(x+3)2+y2=1和(x﹣3)2+y2=4的圆心,
所以根据椭圆的定义可得:
(|PM|+|PN|)min=2×5﹣1﹣2=7,
故选B.
点评:
本题考查圆的性质及其应用,以及椭圆的定义,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.
6.过双曲线﹣=0(b>0,a>0)的左焦点F(﹣c,0)(c>0),作圆x2+y2=的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若=(+),则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
圆与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有
专题:
综合题;压轴题.
分析:
由=(+),知E为PF的中点,令右焦点为F′,则O为FF′的中点,则PF′=2OE=a,能推导出在Rt△PFF′中,PF2+PF′2=FF′2,由此能求出离心率.
解答:
解:
∵若=(+),
∴E为PF的中点,令右焦点为F′,则O为FF′的中点,
则PF′=2OE=a,
∵E为切点,
∴OE⊥PF
∴PF′⊥PF
∵PF﹣PF′=2a
∴PF=PF′+2a=3a
在Rt△PFF′中,PF2+PF′2=FF′2
即9a2+a2=4c2
∴离心率e==.
故选:
A.
点评:
本题考查圆与圆锥曲线的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件.
7.设椭圆的左焦点为F,在x轴上F的右侧有一点A,以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
圆与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点,则M、N重合(设为M),此时A为椭圆的右焦点,由此可知=,从而能够得到结果.
解答:
解:
若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点,
则M、N重合(设为M),此时A为椭圆的右焦点,则
==.
故选A.
点评:
本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意合理地选取特殊点.
8.已知定点A(1,0)和定直线l:
x=﹣1,在l上有两动点E,F且满足,另有动点P,满足(O为坐标原点),且动点P的轨迹方程为( )
A.
y2=4x
B.
y2=4x(x≠0)
C.
y2=﹣4x
D.
y2=﹣4x(x≠0)
考点:
圆锥曲线的轨迹问题.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
设P(x,y),欲动点P的轨迹方程,即寻找x,y之间的关系式,利用向量间的关系求出向量、的坐标后垂直条件即得动点P的轨迹方程.
解答:
解:
设P(x,y),E(﹣1,y1),F(﹣1,y2)(y1,y2均不为零)
由∥⇒y1=y,即E(﹣1,y).
由∥⇒.
由y2=4x(x≠0).
故选B.
点评:
本题主要考查了轨迹方程的问题.本题解题的关键是利用了向量平行和垂直的坐标运算求得轨迹方程.
9.已知抛物线过点A(﹣1,0),B(1,0),且以圆x2+y2=4的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程( )
A.
+=1(y≠0)
B.
+=1(y≠0)
C.
﹣=1(y≠0)
D.
﹣=1(y≠0)
考点:
圆锥曲线的轨迹问题.菁优网版权所有
专题:
综合题;压轴题.
分析:
设出切线方程,表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系,再设出焦点坐标,根据抛物线的定义求得点A,B到准线的距离等于其到焦点的距离,然后两式平方后分别相加和相减,联立后,即可求得x和y的关系式.
解答:
解:
设切线ax+by﹣1=0,则圆心到切线距离等于半径
∴=2
∴,
∴a2+b2=
设抛物线焦点为(x,y),根据抛物线定义可得
平方相加得:
x2+1+y2=4(a2+1)①
平方相减得:
x=4a,
∴②
把②代入①可得:
x2+1+y2=4(+1)
即:
∵焦点不能与A,B共线
∴y≠0
∴
∴抛物线的焦点轨迹方程为
故选B.
点评:
本题以圆为载体,考查抛物线的定义,考查轨迹方程,解题时利用圆的切线性质,抛物线的定义是关键.
10.如图,已知半圆的直径|AB|=20,l为半圆外一直线,且与BA的延长线交于点T,|AT|=4,半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件,则|AM|+|AN|的值为( )
A.
22
B.
20
C.
18
D.
16
考点:
圆与圆锥曲线的综合;抛物线的定义.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
先以AT的中点O为坐标原点,AT的中垂线为y轴,可得半圆方程为(x﹣12)2+y2=100,根据条件得出M,N在以A为焦点,PT为准线的抛物线上,联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系,利用抛物线的定义即可求得答案.
解答:
解:
以AT的中点O为坐标原点,AT的中垂线为y轴,
可得半圆方程为(x﹣12)2+y2=100
又,设M(x1,y1),N(x2,y2),
M,N在以A为焦点,PT为准线的抛物线上;以AT的垂直平分线为y轴,TA方向为x轴建立坐标系,则有
抛物线方程为y2=8x(y≥0),联立半圆方程和抛物线方程,
消去y得:
x2﹣16x+44=0
∴x1+x2=16,
|AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20.
故选B.
点评:
本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.
11.椭圆与双曲线有公共的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则cos∠F1PF2=( )
A.
B.
C.
D.
考点:
圆锥曲线的共同特征.菁优网版权所有
专题:
综合题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
利用双曲线、椭圆的定义,建立方程,求出|PF1|=,|PF2|=,再利用余弦定理,即可求得结论.
解答:
解:
不妨令P在双曲线的右支上,由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②
由①②可得|PF1|=,|PF2|=
∵|F1F2|=4
∴cos∠F1PF2==
故选A.
点评:
本题考查圆锥曲线的共同特征,利用双曲线、椭圆的定义,建立方程是关键.
12.曲线(|x|≤2)与直线y=k(x﹣2)+4有两个交点时,实数k的取值范围是( )
A.
B.
(,+∞)
C.
D.
考点:
直线与圆锥曲线的关系.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
如图,求出BC的斜率,根据圆心到切线的距离等于半径,求得切线BE的斜率k′,由题意可知,k′<k≤KBC,从而得到实数k的取值范围.
解答:
解:
曲线即x2+(y﹣1)2=4,(y≥1),表示以A(0,1)为圆心,以2为半径的圆位于直线y=1上方的部分(包含圆与直线y=1的交点C和D),是一个半圆,如图:
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- 高中数学 解析几何 压轴 专项 拔高 训练