高中数学解析几何总结(非常全).doc
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高中数学解析几何
第一部分:
直线
一、直线的倾斜角与斜率
1.倾斜角α
(1)定义:
直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围:
2.斜率:
直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.
(1).倾斜角为的直线没有斜率。
(2).每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。
(3)设经过和两点的直线的斜率为,
则当时,;当时,;斜率不存在;
二、直线的方程
1.点斜式:
已知直线上一点P(x0,y0)及直线的斜率k(倾斜角α)求直线的方程用点斜式:
y-y0=k(x-x0)
注意:
当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为;
2.斜截式:
若已知直线在轴上的截距(直线与y轴焦点的纵坐标)为,斜率为,则直线方程:
;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:
注意:
正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。
3.两点式:
若已知直线经过和两点,且(则直线的方程:
;
注意:
①不能表示与轴和轴垂直的直线;
②当两点式方程写成如下形式时,方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式:
若已知直线在轴,轴上的截距分别是,()则直线方程:
;
注意:
1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。
2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a
5一般式:
任何一条直线方程均可写成一般式:
;(不同时为零);反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线。
注意:
①直线方程的特殊形式,都可以化为直线方程的一般式,但一般式不一定都能化为特殊形式,这要看系数是否为0才能确定。
②指出此时直线的方向向量:
,,(单位向量);直线的法向量:
;(与直线垂直的向量)
6(选修4-4)参数式(参数)其中方向向量为,
单位向量;;;
点对应的参数为,则;
(为参数)其中方向向量为,的几何意义为;斜率为;倾斜角为。
三、两条直线的位置关系
位置关系
平行
,且
(A1B2-A2B1=0)
重合
,且
相交
垂直
设两直线的方程分别为:
或;当或时它们相交,交点坐标为方程组或解;
注意:
①对于平行和重合,即它们的方向向量(法向量)平行;如:
对于垂直,即它们的方向向量(法向量)垂直;如
②若两直线的斜率都不存在,则两直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一直线的斜率为0,则两直线垂直。
③对于来说,无论直线的斜率存在与否,该式都成立。
因此,此公式使用起来更方便.
④斜率相等时,两直线平行(或重合);但两直线平行(或重合)时,斜率不一定相等,因为斜率有可能不存在。
四、两直线的交角
(1)到的角:
把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角;它是有向角,其范围是;
注意:
①到的角与到的角是不一样的;②旋转的方向是逆时针方向;③绕“定点”是指两直线的交点。
(2)直线与的夹角:
是指由与相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角),它的取值范围是;
(3)设两直线方程分别为:
或
①若为到的角,或;
②若为和的夹角,则或;
③当或时,;
注意:
①上述与有关的公式中,其前提是两直线斜率都存在,而且两直线互不垂直;当有一条直线斜率不存在时,用数形结合法处理。
②直线到的角与和的夹角:
或;
五、点到直线的距离公式:
1.点到直线的距离为:
;
2.两平行线,的距离为:
;
六、直线系:
(1)设直线,,经过的交点的直线方程为(除去);
如:
①,即也就是过与的交点除去的直线方程。
②直线恒过一个定点。
注意:
推广到过曲线与的交点的方程为:
;
(2)与平行的直线为;
(3)与垂直的直线为;
七、对称问题:
(1)中心对称:
①点关于点的对称:
该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点关于的对称点
②直线关于点的对称:
Ⅰ、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再由两点式求出直线方程;
Ⅱ、求出一个对称点,在利用由点斜式得出直线方程;
Ⅲ、利用点到直线的距离相等。
求出直线方程。
如:
求与已知直线关于点对称的直线的方程。
(2)轴对称:
①点关于直线对称:
Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。
Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解。
如:
求点关于直线对称的坐标。
②直线关于直线对称:
(设关于对称)
Ⅰ、若相交,则到的角等于到的角;若,则,且与的距离相等。
Ⅱ、求出上两个点关于的对称点,在由两点式求出直线的方程。
Ⅲ、设为所求直线直线上的任意一点,则关于的对称点的坐标适合的方程。
如:
求直线关于对称的直线的方程。
八、简单的线性规划:
(1)设点和直线,
①若点在直线上,则;②若点在直线的上方,则;
③若点在直线的下方,则;
(2)二元一次不等式表示平面区域:
对于任意的二元一次不等式,
①当时,则表示直线上方的区域;
表示直线下方的区域;
②当时,则表示直线下方的区域;
表示直线上方的区域;
注意:
通常情况下将原点代入直线中,根据或来表示二元一次不等式表示平面区域。
(3)线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。
生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
注意:
①当时,将直线向上平移,则的值越来越大;
直线向下平移,则的值越来越小;
②当时,将直线向上平移,则的值越来越小;
直线向下平移,则的值越来越大;
x
y
O
A(1,1)
B(5,1)
C(4,2)
如:
在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界),目标函数取得最小值的最优解有无数个,则为;
第二部分:
圆与方程
2.1圆的标准方程:
圆心,半径
特例:
圆心在坐标原点,半径为的圆的方程是:
.
2.2点与圆的位置关系:
1.设点到圆心的距离为d,圆半径为r:
(1)点在圆上d=r;
(2)点在圆外d>r;(3)点在圆内d<r.
2.给定点及圆.
①在圆内②在圆上
③在圆外
2.3圆的一般方程:
.
当时,方程表示一个圆,其中圆心,半径.
当时,方程表示一个点.
当时,方程无图形(称虚圆).
注:
(1)方程表示圆的充要条件是:
且且.
圆的直径系方程:
已知AB是圆的直径
2.4直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有三种,d是圆心到直线的距离,(
(1);
(2);(3)。
2.5两圆的位置关系
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,。
(1);
(2);
(3);(4);
(5);
外离外切相交内切内含
2.6圆的切线方程:
1.直线与圆相切:
(1)圆心到直线距离等于半径r;
(2)圆心与切点的连线与直线垂直(斜率互为负倒数)
2.圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为:
.
一般方程若点(x0,y0)在圆上,则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.
特别地,过圆上一点的切线方程为.
若点(x0,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则,联立求出切线方程.
2.7圆的弦长问题:
1.半弦、半径r、弦心距d构成直角三角形,满足勾股定理:
2.弦长公式(设而不求):
第三部分:
椭圆
一.椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义:
平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c};
这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
(时为线段,无轨迹)。
2.标准方程:
①焦点在x轴上:
(a>b>0);焦点F(±c,0)
②焦点在y轴上:
(a>b>0);焦点F(0,±c)
注意:
①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;
②一般形式表示:
或者
二.椭圆的简单几何性质:
1.范围
(1)椭圆(a>b>0)横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b
(2)椭圆(a>b>0)横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a
2.对称性
椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
3.顶点
(1)椭圆的顶点:
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
(2)线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4.离心率
(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比,即称为椭圆的离心率,
记作e(),
e越接近于0(e越小),椭圆就越接近于圆;
e越接近于1(e越大),椭圆越扁;
注意:
离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。
(2)椭圆的第二定义:
平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。
()
①焦点在x轴上:
(a>b>0)准线方程:
②焦点在y轴上:
(a>b>0)准线方程:
小结一:
基本元素
(1)基本量:
a、b、c、e、(共四个量),特征三角形
(2)基本点:
顶点、焦点、中心(共七个点)
(3)基本线:
对称轴(共两条线)
5.椭圆的的内外部
(1)点在椭圆的内部.
(2)点在椭圆的外部.
6.几何性质
(1)焦半径(椭圆上的点与焦点之间的线段):
(2)通径(过焦点且垂直于长轴的弦)
(3)焦点三角形(椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形):
其中
7直线与椭圆的位置关系:
(1)判断方法:
联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程,根据判别式的符号判断位置关系:
联立消y得:
联立消x得:
(2)弦中点问题:
斜率为k的直线l与椭圆交于两点是AB的中点,则:
(3)弦长公式:
第四部分:
双曲线
双曲线
标准方程(焦点在轴)
标准方程(焦点在轴)
定义
第一定义:
平面内与两个定点,的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。
P
P
第二定义:
平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数,当时,动点的轨迹是双曲线。
定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数()叫做双曲线的离心率。
P
P
P
P
范围
,
,
对称轴
轴,轴;实轴长为,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上,;焦距:
顶点坐标
(,0)(,0)
(0,,)(0,)
离心率
1)
重要结论
(1)焦半径(双曲线上的点与焦点之间的线段):
(2)通径(过焦点且垂直于实轴的弦)
(3)焦点三角形(双曲线上的任意一点与两焦点够成的三角形):
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧;两准线间的距离:
渐近线
方程
共渐近线的双曲线系方程
()
()
直线
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