高中数学解析几何大题专项练习.doc
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解析几何解答题
1、椭圆G:
的两个焦点为F1、F2,短轴两端点B1、B2,已知
F1、F2、B1、B2四点共圆,且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为
(1)求此时椭圆G的方程;
(2)设斜率为k(k≠0)的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点,问E、F两点能否关于过点P(0,)、Q的直线对称?
若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.
2、已知双曲线的左、右顶点分别为,动直线与圆相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为.
(Ⅰ)求的取值范围,并求的最小值;
(Ⅱ)记直线的斜率为,直线的斜率为,那么,是定值吗?
证明你的结论.
3、已知抛物线的焦点为F,点为直线与抛物线准线的交点,直线与抛物线相交于、两点,点A关于轴的对称点为D.
(1)求抛物线的方程。
(2)证明:
点在直线上;
(3)设,求的面积。
.
4、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为,点(2,3)、在该椭圆上,线段的中点在直线上,且三点不共线.
(I)求椭圆的方程及直线的斜率;
(Ⅱ)求面积的最大值.
5、设椭圆的焦点分别为、,直线:
交轴于点,且.
(Ⅰ)试求椭圆的方程;
(Ⅱ)过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点(如图所示),若四边形的面积为,求的直线方程.
6、已知抛物线P:
x2=2py(p>0).
(Ⅰ)若抛物线上点到焦点F的距离为.
(ⅰ)求抛物线的方程;
(ⅱ)设抛物线的准线与y轴的交点为E,过E作抛物线的切线,求此切线方程;
(Ⅱ)设过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,连接,并延长分别交抛物线的准线于C,D两点,求证:
以CD为直径的圆过焦点F.
7、在平面直角坐标系中,设点,以线段为直径的圆经过原点.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点的直线与轨迹交于两点,点关于轴的对称点为,试判断直线是否恒过一定点,并证明你的结论.
8、已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,且以为直径的圆过椭圆的右顶点,
求面积的最大值.
9、过抛物线C:
上一点作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。
(1)求证:
直线AB的斜率为定值;
(2)已知两点均在抛物线:
上,若△的面积的最大值为6,求抛物线的方程。
10、已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且不与y轴垂直的直线交椭圆于C、D两点,记直线AD、BC的斜率分别为
(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线轴时,求的值;
(2)求的值。
11、在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(a>b>0)的离心率为,其焦点在圆x2+y2=1上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使
.
(i)求证:
直线OA与OB的斜率之积为定值;
(ii)求OA2+OB2.
12、已知圆的圆心为,一动圆与圆内切,与圆外切。
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹方程;
(Ⅱ)(Ⅰ)中轨迹上是否存在一点,使得为钝角?
若存在,求出点横坐标的取值范围;若不存在,说明理由.
13、已知点是椭圆的右焦点,点、分别是轴、轴上的动点,且满足.若点满足.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点,直线、与直线分别交于点、(为坐标原点),试判断是否为定值?
若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
14、在平面直角坐标系中,已知圆B:
与点,P为圆B上的动点,线段PA的垂直平分线交直线PB于点R,点R的轨迹记为曲线C。
(1)求曲线C的方程;
(2)曲线C与轴正半轴交点记为Q,过原点O且不与轴重合的直线与曲线C的交点记为M,N,连结QM,QN,分别交直线为常数,且)于点E,F,设E,F的纵坐标分别为,求的值(用表示)。
答案:
1、解:
(1)根据椭圆的几何性质,线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分,故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 …………………1分
故该椭圆中即椭圆方程可为 ………3分
设H(x,y)为椭圆上一点,则
…………… 4分
若,则有最大值 …………………5分
由(舍去)(或b2+3b+9<27,故无解)…………… 6分
若…………………7分
由∴所求椭圆方程为………………… 8分
(1)设,则由两式相减得
……③又直线PQ⊥直线m∴直线PQ方程为
将点Q()代入上式得,……④…………………11分
由③④得Q()…………………12分
而Q点必在椭圆内部,
由此得,故当
时,E、F两点关于点P、Q的直线对称14分
2、解:
(Ⅰ)与圆相切,……①
由,得,
故的取值范围为.
由于,当时,取最小值.6分
(Ⅱ)由已知可得的坐标分别为,
,
,
由①,得,为定值.12分
3、解:
(1)
设,,,的方程为.
(2)将代人并整理得,
从而
直线的方程为,
即令
所以点在直线上
(3)由①知,
因为,
故,解得
所以的方程为
又由①知故
4、解:
(I)设椭圆的方程为,
则,得,.
所以椭圆的方程为.…………………3分
设直线AB的方程为(依题意可知直线的斜率存在),
设,则由,得
由,得,
,设
易知,
由OT与OP斜率相等可得,即,
所以椭圆的方程为,直线AB的斜率为.……………………6分
(II)设直线AB的方程为,即,
由
得,
,.………………8分
..
点P到直线AB的距离为.
于是的面积为
……………………10分
设,,其中.
在区间内,,是减函数;在区间内,,是增函数.所以的最大值为.于是的最大值为18.…………………12分
5、解:
(Ⅰ)由题意,-------1分
为的中点------------2分
即:
椭圆方程为------------3分
(Ⅱ)当直线与轴垂直时,,此时,
四边形的面积不符合题意故舍掉;------------4分
同理当与轴垂直时,也有四边形的面积不符合题意故舍掉;------------5分
当直线,均与轴不垂直时,设:
,
代入消去得:
------------6分
设------------7分
所以,------------8分
所以,------------9分
同理------------11分
所以四边形的面积
由,------------12分
所以直线或
或或---------13分
6、解:
(Ⅰ)(ⅰ)由抛物线定义可知,抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等,即到的距离为3;
∴,解得.
∴抛物线的方程为.4分
(ⅱ)抛物线焦点,抛物线准线与y轴交点为,
显然过点的抛物线的切线斜率存在,设为,切线方程为.
由,消y得,6分
,解得.7分
∴切线方程为.8分
(Ⅱ)直线的斜率显然存在,设:
,
设,,
由消y得.且.
∴,;
∵,∴直线:
,
与联立可得,同理得.10分
∵焦点,
∴,,12分
∴
∴以为直径的圆过焦点.14分
7、解:
(I)由题意可得,2分
所以,即4分
即,即动点的轨迹的方程为5分
(II)设直线的方程为,,则.
由消整理得,6分
则,即.7分
.9分
直线
12分
即
所以,直线恒过定点.13分
8、解:
(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为,
所以,1分
又椭圆的离心率为,即,所以,2分
所以,.4分
所以,椭圆的方程为.5分
(Ⅱ)方法一:
不妨设的方程,则的方程为.
由得,6分
设,,因为,所以,7分
同理可得,8分
所以,,10分
,12分
设,则,13分
当且仅当时取等号,所以面积的最大值为.14分
方法二:
不妨设直线的方程.
由消去得,6分
设,,
则有,.①7分
因为以为直径的圆过点,所以.
由,
得.8分
将代入上式,
得.
将①代入上式,解得或(舍).10分
所以(此时直线经过定点,与椭圆有两个
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