高中数学解三角形应用举例(有答案).doc
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解三角形应用举例
一.选择题(共19小题)
1.(2014•海南模拟)如图,已知A,B两点分别在河的两岸,某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C,测得AC=50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A、B两点的距离为( )
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
2.(2014•海淀区二模)如图所示,为了测量某湖泊两侧A、B间的距离,李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案:
(△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c):
①测量A、C、b;②测量a、b、C;③测量A、B、a;则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为( )
A.
①②
B.
②③
C.
①③
D.
①②③
3.(2014•重庆一模)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于P点,一分钟后,其位置在Q点,且∠POQ=90°,再过两分钟后,该物体位于R点,且∠QOR=30°,则tan∠OPQ的值为( )
A.
B.
C.
D.
4.(2014•成都三模)在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔,塔底与这条公路在同一水平面上,为了测量该塔的高度,测量人员在公路上选择了A、B两个观测点,在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上,在B处测得塔底C在西偏北β的方向上,并测得塔顶D的仰角为γ,已知AB=a,0<γ<β<α<,则此塔高CD为( )
A.
tanγ
B.
tanγ
C.
tanγ
D.
tanγ
5.(2014•浙江模拟)如图,在铁路建设中,需要确定隧道两端的距离(单位:
百米),已测得隧道两端点A,B到某一点C的距离分别为5和8,∠ACB=60°,则A,B之间的距离为( )
A.
7
B.
10
C.
6
D.
8
6.(2014•房山区一模)如图,有一块锐角三角形的玻璃余料,欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩形玻璃(阴影部分),则其边长x(单位:
cm)的取值范围是( )
A.
[10,30]
B.
[25,32]
C.
[20,35]
D.
[20,40]
7.(2014•濮阳一模)如图所示,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救,则sinθ的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.(2014•成都三模)某公司要测量一水塔CD的高度,测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A,B两个观测点,在A处测得该水塔顶端D的仰角为α,在B处测得该水塔顶端D的仰角为β,已知AB=a,0<β<α<,则水塔CD的高度为( )
A.
B.
C.
D.
9.(2014•怀化一模)在等腰Rt△ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到原来的点P.若,则△PQR的周长等于( )
A.
B.
C.
D.
10.(2012•珠海一模)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,则B城市处于危险区内的时间为( )
A.
0.5小时
B.
1小时
C.
1.5小时
D.
2小时
11.(2011•宝鸡模拟)一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:
牛顿)的作用而处于平衡状态.已知D成120°角,且y=g(x)的大小分别为1和2,则有( )
A.
F1,F3成90°角
B.
F1,F3成150°角
C.
F2,F3成90°角
D.
F2,F3成60°角
12.(2011•大连二模)已知A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km,B船在灯塔C西偏北15o且B到C的距离为km,则A,B两船的距离为( )
A.
5km
B.
km
C.
4km
D.
km
13.(2011•安徽模拟)如图,在山脚下A测得山顶P的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B,在B处测得山顶P的仰角为γ,则山高PQ为( )
A.
B.
C.
D.
14.(2010•武昌区模拟)某人朝正东方向走xkm后,向右转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好,那么x的值为( )
A.
2或
B.
2
C.
D.
3
15.(2010•江门一模)海事救护船A在基地的北偏东60°,与基地相距海里,渔船B被困海面,已知B距离基地100海里,而且在救护船A正西方,则渔船B与救护船A的距离是( )
A.
100海里
B.
200海里
C.
100海里或200海里
D.
海里
16.(2010•武汉模拟)飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地,再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地,那么丙地距甲地距离为( )
A.
1400km
B.
700km
C.
700km
D.
1400km
17.(2010•石家庄二模)如图,一条宽为a的直角走廊,现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车,其宽为b(0<b<a).则该平板车长度的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
18.(2009•韶关二模)北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为米(如图所示),则旗杆的高度为( )
A.
10米
B.
30米
C.
10米
D.
米
19.(2009•温州一模)北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,看台上第一排和最后一排的距离米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上,已知国歌长度约为50秒,升旗手匀速升旗的速度为( )
A.
(米/秒)
B.
(米/秒)
C.
(米/秒)
D.
(米/秒)
二.填空题(共7小题)
20.(2014•重庆模拟)如图,割线PBC经过圆心O,PB=OB=1,PB绕点O逆时针旋120°到OD,连PD交圆O于点E,则PE= _________ .
21.(2014•南昌模拟)已知△ABC中,角A,B,C所对应的边的边长分别为a,b,c,外接圆半径是1,且满足条件2(sin2A﹣sin2C)=(sinA﹣sinB)b,则△ABC面积的最大值为 _________ .
22.(2014•韶关二模)一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行,如图,开始航行时,从A点观测灯塔C的方位角(从正北方向顺时针转到目标方向的水平角)为45°,行驶60海里后,船在B点观测灯塔C的方位角为75°,则A到C的距离是 _________ 海里.
23.(2014•潍坊二模)如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°,与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cosθ=,已知A、C两处的距离为10海里,则该货船的船速为 _________ 海里/小时.
24.(2014•潍坊三模)如图,C、D是两个小区所在地,C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km,DB=2km,A、B间的距离为3km,某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点,使得N对C、D两个小区的视角∠CND最大,则N处与A处的距离为 _________ km.
25.(2014•台州一模)为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:
km)如图所示,且∠B+∠D=180°,则AC的长为 _________ km.
26.(2014•黄冈模拟)路灯距地平面为8m,一个身高为1.75m的人以m/s的速率,从路灯在地面上的射影点C处,沿某直线离开路灯,那么人影长度的变化速率v为 _________ m/s.
三.解答题(共4小题)
27.(2014•广州模拟)如图,某测量人员,为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到数据:
∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1(百米).
(1)求△CDE的面积;
(2)求A,B之间的距离.
28.(2014•福建模拟)如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:
千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).
29.(2010•福建)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;
(Ⅲ)是否存在v,使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?
若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.
30.在平地上有A、B两点,A在山的正东,B在山的东南,且在A的西偏南65°距离为300米的地方,在A测得山顶的仰角是30°,求山高(精确到10米,sin70°=0.94).
2014年12月27日高中数学解三角形应用举例
参考答案与试题解析
一.选择题(共19小题)
1.(2014•海南模拟)如图,已知A,B两点分别在河的两岸,某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C,测得AC=50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A、B两点的距离为( )
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
考点:
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专题:
应用题;解三角形.
分析:
依题意在A,B,C三点构成的三角形中利用正弦定理,根据AC,∠ACB,B的值求得AB
解答:
解:
由正弦定理得,
∴AB===50,
∴A,B两点的距离为50m,
故选:
D.
点评:
本题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
2.(2014•海淀区二模)如图所示,为了测量某湖泊两侧A、B间的距离,李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案:
(△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c):
①测量A、C、b;②测量a、b、C;③测量A、B、a;则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为( )
A.
①②
B.
②③
C.
①③
D.
①②
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