高中数学直线和圆知识点练习.doc
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直线和圆
知识点回顾
一、直线方程.
1、直线的倾斜角:
一条直线和x轴正方向上的较小的夹角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是.斜率:
注:
当或时,直线垂直于轴,它的斜率不存在.
2、直线方程的几种形式:
点斜式、截距式、两点式、斜截式.
特别地,当直线经过两点,即直线在轴,轴上的截距分别为时,直线方程是:
.
3、
(1)直线系:
对于直线的斜截式方程,
①当为定植,变化时,它们表示过定点(0,)的直线束.
②当为定值,变化时,它们表示一组平行直线.
(2)直线系方程
①过定点(x1,y1)的直线系方程是:
A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全为0)
②过直线l1、l2交点的直线系方程:
(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∊R)
注:
该直线系不含l2.
4、⑴两条直线平行:
∥(①两直线不重合②斜率都存在)
推论:
如果两条直线的倾斜角为则∥.
⑵两条直线垂直:
(①斜率都存在.②若有一条直线的斜率不存在,,且的斜率不存在或,且的斜率不存在.③是垂直的充要条件)
5、到角公式:
⑴直线到的角(方向角);直线到的角,是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角,它的范围是,当时.
⑵两条相交直线与的夹角:
两条相交直线与的夹角,是指由与相交所成的四个角中最小的正角,又称为和所成的角,它的取值范围是,当,则有.
6、点到直线的距离:
⑴点到直线的距离公式:
设点,直线到的距离为,则有.
⑵两条平行线间的距离公式:
设两条平行直线,它们之间的距离为,则有.
注:
(1)两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:
.
特例:
点P(x,y)到原点O的距离:
(2)定比分点坐标分式。
若点P(x,y)分有向线段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则
特例,中点坐标公式;重要结论,三角形重心坐标公式。
7、关于点对称和关于某直线对称:
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.
⑵关于某直线对称的两条直线性质:
若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.
⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点.
注:
①曲线、直线关于一直线()对称的解法:
y换x,x换y.例:
曲线f(x,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2,x–2)=0.
②曲线C:
f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(a–x,2b–y)=0.
二、圆的方程.
1、圆的标准方程:
以点为圆心,为半径的圆的标准方程是.
2、圆的一般方程:
.
当时,方程表示一个圆,其中圆心,半径.
当时,方程表示一个点.
当时,方程无图形
3、圆的参数方程:
(为参数).
4、点和圆的位置关系
5、圆与圆的位置关系:
相离,外切,相交,内切,内含。
由圆心距与两半径的长度来确定的,
圆心距用d来表示,两圆的半径分别用r,R来表示。
当d>R+r时,相离。
当d=R+r时,外切
当R-r 当d=R-r时,内切, 当0= 也可能用公共点的个数来确定。 两个公共点时相交,一个公共点时,相切,没有公共点时相离或内含 6、直线和圆的位置关系: 设圆: ;直线: ; 圆心到直线的距离. ①时,与相切; 附: 若两圆相切,则相减为公切线方程. ②时,与相交; 附: 公共弦方程: 设 有两个交点,则其公共弦方程为. ③时,与相离. 附: 若两圆相离,则相减为圆心的连线的中垂线方程. ④若两圆为同心圆则,相减,不表示直线. 经典练习: 一、选择题 1、若直线过圆的圆心,则a的值为 (A)1(B)1(C)3(D)3[ 2、若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切,则c的值为() A.8或-2B.6或-4 C.4或-6D.2或-8 3、若直线与曲线恰有一个公共点,则的取值范围是() (A)(B)(C)(D)或(-1,1] 4、已知圆,过点的直线,则() A.与相交 B.与相切 C.与相离 D.以上三个选项均有可能 5、设两圆、都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离= (A)4(B)(C)8(D) 6、在圆内,过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为 A. B. C. D. 7、若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是() A.B. C.D. 8、在抛物线上取横坐标为,的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切,则抛物线顶点的坐标为 (A)(B)(C)(D) 9、 二、填空题 1、若直线与直线互相垂直,则实数=_____来 2、已知圆C经过两点,圆心在X轴上,则C的方程为___________。 3、过点的直线被圆截得的弦长,则直线的斜率为__________。 4、若直线过点,且是它的一个法向量,则的方程为. 5、如果实数x、y满足,那么的最大值是。 6、在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是 7、定义: 曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1: y=x2+a到直线l: y=x的距离等于C2: x2+(y+4)2=2到直线l: y=x的距离,则实数a=______________. 三、解答题 1、过点P(-8,0),引圆C: 的割线,求被此圆截得的弦的中点的轨迹方程。 2、如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为1,圆心在l上. (1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程; (2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围. x y A l O 3、在平面直角坐标系中,曲线与坐标轴的交点都在圆上 (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)若圆与直线交于两点,且,求的值. 直线和圆参考答案 一、选择题 1、答案: B 2、【正确解答】A 3、数形结合的思想, 表示一组斜率为1的平行直线, 表示y轴的右半圆。 如图可知,选(D) 4、【解析】点在圆内,则必与相交,故选A 5、【答案】C 【解析】由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为,则,即,所以由两点间的距离公式可求出. 6、答案: B 解析: 圆的方程标准化方程为,由圆的性质可知,最长弦长为 ,最短弦长BD以为中点,设点F为其圆心,坐标为故, ,。 7、答案: B曲线表示以为圆心,以1为半径的圆,曲线表示过定点,与圆有两个交点,故 8、答案: A 解析: 由已知得割线上两点的坐标为,, ,设切线的方程为,由点到直线的距离公式得: ①;又设直线与抛物线的切点为,则 ,,即切点坐标为,且点在直线上, ,解得,代入①式中有 ,顶点坐标是。 9、 二、填空题 1、答案1 2、答案: 3、答案: 或 4、【答案】 【解析】由直线的点法式可得: ,故方程为. 5、设直线l: ,则表示直线的斜率,直线与圆 O M C y x 相切时,斜率为最大或最小,所以只要求圆心到直线 距离为半径即可。 6、【答案】。 【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离 【解析】∵圆C的方程可化为: ,∴圆C的圆心为,半径为1。 ∵由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与 有公共点; ∴存在,使得成立,即。 ∵即为点到直线的距离,∴,解得。 ∴的最大值是。 7、【解析】C2: x2+(y+4)2=2,圆心(0,—4),圆心到直线l: y=x的距离为: ,故曲线C2到直线l: y=x的距离为. 另一方面: 曲线C1: y=x2+a,令,得: ,曲线C1: y=x2+a到直线l: y=x的距离的点为(,),. 【答案】 三、解答题 [思路分析]方法一, ∵CM⊥PM,∴弦AB的中点M的轨迹是以 P(-8,0)、C(1,-5)中点为圆心,|PC| 长为直径的圆。 (圆C的内部) 方法二,设M(x,y)为中点,过点P(-8,0)的直线 ,又设A(,y1),B(x2,y2), 由方程组 可以得到 据韦达定理可以得解。 方法三, 化简得(圆C的内部) 2、【答案】解: (1)由得圆心C为(3,2),∵圆的半径为 ∴圆的方程为: 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即 ∴∴∴∴或者 ∴所求圆C的切线方程为: 或者即或者 (2)解: ∵圆的圆心在在直线上,所以,设圆心C为(a,2a-4) 则圆的方程为: 又∵∴设M为(x,y)则整理得: 设为圆D ∴点M应该既在圆C上又在圆D上即: 圆C和圆D有交点 ∴ 由得 由得 终上所述,的取值范围为: 3、【解析】(Ⅰ)曲线与轴交于点,与与轴交于点 因而圆心坐标为则有. 半径为,所以圆方程是. (Ⅱ)设点满足 解得: . . 解得,满足,
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