高中数学必修四平面向量测试题及答案.doc
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高中数学必修四平面向量测试题及答案.doc
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高中数学必修四平面向量测试题
一、选择题:
(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设点P(3,-6),Q(-5,2),R的纵坐标为-9,且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为()。
A、-9 B、-6 C、9 D、6
2.已知=(2,3),b=(-4,7),则在b上的投影为()。
A、 B、 C、 D、
3.设点A(1,2),B(3,5),将向量按向量=(-1,-1)平移后得向量为()。
A、(2,3) B、(1,2) C、(3,4) D、(4,7)
4.若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=sinBcosC,那么ΔABC是()。
A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形
5.已知||=4,|b|=3,与b的夹角为60°,则|+b|等于()。
A、 B、 C、 D、
6.已知O、A、B为平面上三点,点C分有向线段所成的比为2,则()。
A、 B、
C、 D、
7.O是ΔABC所在平面上一点,且满足条件,则点O是ΔABC的()。
A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心
8.设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线,则下列4个命题:
(1)(·b)2=2·b2
(2)|+b|≥|-b| (3)|+b|2=(+b)2
(4)(b)-(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是()。
A、1 B、2 C、3 D、4
9.在ΔABC中,A=60°,b=1,,则等于()。
A、 B、 C、 D、
10.设、b不共线,则关于x的方程x2+bx+=0的解的情况是()。
A、至少有一个实数解 B、至多只有一个实数解
C、至多有两个实数解 D、可能有无数个实数解
二、填空题:
(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.).
11.在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,则=_________
12.已知ABCDEF为正六边形,且=a,=b,则用a,b表示为______.
13.有一两岸平行的河流,水速为1,速度为的小船要从河的一边驶向对岸,为使所行路程最短,小船应朝________方向行驶。
14.如果向量与b的夹角为θ,那么我们称×b为向量与b的“向量积”,×b是一个向量,它的长度|×b|=|||b|sinθ,如果||=3,|b|=2,·b=-2,则|×b|=______。
三、解答题:
(本大题共4小题,满分44分.)
15.已知向量=,求向量b,使|b|=2||,并且与b的夹角为。
(10分)
16、已知平面上3个向量、b、的模均为1,它们相互之间的夹角均为120。
(1)求证:
(-b)⊥;
(2)若|k+b+|>1(k∈R),求k的取值范围。
(12分)
17.(本小题满分12分)
已知e1,e2是两个不共线的向量,=e1+e2,=-λe1-8e2,=3e1-3e2,若A、B、D三点在同一条直线上,求实数λ的值.
18.某人在静水中游泳,速度为4公里/小时,他在水流速度为4公里/小时的河中游泳.
(1)若他垂直游向河对岸,则他实际沿什么方向前进?
实际前进的速度为多少?
(2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?
实际前进的速度为多少?
参考答案
一、选择题:
1.D.设R(x,-9),则由得(x+5)(-8)=-11×8,x=6.
2.C.∵|b|,∴||=.
3.A.平移后所得向量与原向量相等。
4.A.由(a+b+c)(b+c-a)=3bc,得a2=b2+c2-bc,A=60°.
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC,得cosBsinC=0,∴ΔABC是直角三角形。
5.D..
6.B
7.B.由,得OB⊥CA,同理OA⊥BC,∴O是ΔABC的垂心。
8.A.
(1)
(2)(4)均错。
9.B.由,得c=4,又a2=b2+c2-2bccosA=13,
∴.
10.B.-=x2+xb,根据平面向量基本定理,有且仅有一对实数λ和μ,使-=λ+μb。
故λ=x2,且μ=x,
∴λ=μ2,故原方程至多有一个实数解。
二、填空题
11.
12.. 13.与水流方向成135°角。
14.。
·b=|||b|cosθ,
∴, |×b|=|||b|sin
三、解答题
15.由题设,设b=,则由,得. ∴,
解得sinα=1或。
当sinα=1时,cosα=0;当时,。
故所求的向量或。
16.
(1)∵向量、b、的模均为1,且它们之间的夹角均为120°。
∴, ∴(-b)⊥.
(2)∵|k+b+|>1, ∴|k+b+|2>1,
∴k22+b2+2+2k·b+2k·+2b·>1,
∵,
∴k2-2k>0, ∴k<0或k>2。
17.解法一:
∵A、B、D三点共线
∴与共线,∴存在实数k,使=k·
又∵
=(λ+4)e1+6e2.
∴有e1+e2=k(λ+4)e1+6ke2
∴有∴
解法二:
∵A、B、D三点共线
∴与共线,
∴存在实数m,使
又∵=(3+λ)e1+5e2
∴(3+λ)me1+5me2=e1+e2
∴有∴
18、解:
(1)如图①,设人游泳的速度为,水流的速度为,以、为邻边作OACB,则此人的实际速度为
图①图②
由勾股定理知||=8
且在Rt△ACO中,∠COA=60°,故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8公里/小时.
(2)如图②,设此人的实际速度为,水流速度为,则游速为,在Rt△AOD中,.
∴∠DAO=arccos.
故此人沿与河岸成arccos的夹角逆着水流方向前进,实际前进的速度大小为4公里/小时.
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