长沙中考数学专题训练4与函数有关的新定义问题6道文档格式.docx
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∴m=2;
(3)y=ax+2b和y=-存在“共享”函数为y=ax2+2bx+c,则a、b、c满足,
,即
∴-2<
<
-.
L2=(-)2====4=4(++1)=4(
)2+3,
∵-2<
-,∴3<
L2<
12,∴<
L<
2.
2.对平面直角坐标系中的点P(x,y),定义d=|x|+|y|,我们称d为P(x,y)的幸福指数.对于函数图象上任意一点P(x,y),若它的幸福指数d≥1恒成立,则称此函数为幸福函数,如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数,理由如下:
设P(x,y)为y=x2+1上任意一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|,
∵x≥0,|x2+1|=x2+1≥1,∴d≥1.∴y=x2+1是一个幸福函数.
(1)若点P在反比例函数y=的图象上,且它的幸福指数d=2,请直接写出所有满足条件的P点坐标;
(2)一次函数y=-x+1是幸福函数吗?
请判断并说明理由;
(3)若二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m(m>
0)是幸福函数,试求出m的取值范围.
(1)设点P的坐标为(m,),
∴d=|m|+||=2,
解得:
m1=-1,m2=1,
经检验,m1=-1,m2=1是原分式方程的解,
∴满足条件的P点坐标为(-1,-1)或(1,1);
(2)一次函数y=-x+1是幸福函数,理由如下:
设P(x,y)为y=-x+1上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|-x+1|;
x<
0时,d=|x|+|-x+1|=-x-x+1=1-2x>
1;
当0≤x≤1时,d=|x|+|-x+1|=x-x+1=1;
当x>
1时,d=|x|+|-x+1|=x+x-1=2x-1>
1.
∴对于y=-x+1上任意一点P(x,y),它的幸福指数d≥1恒成立,
∴一次函数y=-x+1是幸福函数;
(3)设P(x,y)为y=x2-(2m+1)x+m2+m上的一点,d=|x|+|y|=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|,
∵y=x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)(x-m-1),m>0,
∴分x≤0、0<x<m、m≤x≤m+1、x>m+1考虑.
①当x≤0时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=-x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m-1)2-m-1,
当x=0时,d取最小值,最小值为m2+m,
∴m2+m≥1,
m≥;
②0<x<m时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)2+m-1≥1,
∵(x-m)2≥0,
∴m-1≥1,
m≥2;
③当m≤x≤m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x-x2+(2m+1)x-m2-m=-(x-m-1)2+m+1,
当x=m时,d取最小值,最小值为m,
∴m≥1;
④当x>m+1时,d=|x|+|x2-(2m+1)x+m2+m|=x+x2-(2m+1)x+m2+m=(x-m)2+m-1>m≥1,
∴m≥1.
若二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m(m>0)是幸福函数,m的取值范围为m≥2.
3.在平面直角坐标系中,设直线l的解析式为:
y=kx+b(k≠0),当直线与一条曲线有且只有一个公共点时,我们称直线l与这条曲线“相切”,这个公共点叫做“切点”.
(1)求直线l:
y=-x+2与双曲线y=的切点坐标;
(2)已知抛物线y=ax2+bx+c经过两点(-1,0)和(3,0),若直线l:
y=x+2与抛物线相切,试求实数a的值;
(3)已知直线l:
y1=kx+m与抛物线y2=2x2+相切于点(,),设二次函数M:
y3=ax2+bx+c(a、b、c为整数且a≠0),对于一切实数x恒有y1≤y3≤y2.求二次数M的解析式.
(1)联立,得x2-2x+1=0,∴x=1,∴切点坐标为(1,1)
(2)由题可知,抛物线解析式可表示为:
y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,
联立,得:
ax2-(2a+1)x-3a-2=0
由抛物线和直线相切易知:
a≠0且Δ=0,
∴Δ=(2a+1)2-4a×
(-3a-2)=16a2+12a+1=0,
a1=,a2=,
(3)由题可知:
直线y1=kx+m和抛物线M都经过(,),
∴=+m,=++c①,
∴m=-,
联立得2x2-kx-+=0,
∴Δ=k2-4×
2×
(-)=0.
k=2,∴m=-,
∴直线l1的解析式:
y1=2x-,
∵对于一切实数x恒有y1≤y3≤y2,对于一切实数x恒有:
2x-≤ax2+bx+c≤2x2+.
当x=0时,有-<c<
,而c为整数,∴c=0②.
联立,得ax2+(b-2)x+c+=0.
∴Δ=(b-2)2-4a×
(c+)=0,
∴b2-4b+4-4ac-a=0 ③,
联立①②③式得:
a=b=1,c=0.
故二次函数M的解析式为:
y3=x2+x.
4.已知y是关于x的函数,若其图象经过点P(t,t),则称点P为函数图象上的“bingo点”,例如:
y=2x-1上存在“bingo点”P(1,1).
(1)直线________(填写直线解析式)上的每一个点都是“bingo点”;
双曲线y=上的“bingo点”是________;
(2)若抛物线y=x2+(a+1)x-a2-a+2上有“bingo点”,且“bingo点”A、B(点A和点B可以重合)的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),求x+x的最小值;
(3)若函数y=x2+(n-k+1)x+m+k-1的图象上存在唯一的一个“bingo点”,且当-2≤n≤1时,m的最小值为k,求k的值.
(1)y=x;
(1,1)和(-1,-1);
(2)设二次函数y=x2+(a+1)x-a2-a+2的“bingo点”为(x,x),
∴x=x2+(a+1)x-a2-a+2,
∴x2+ax-a2-a+2=0,
∴x1+x2=-a,x1·
x2=-a2-2a+4,
∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2=(-a)2-2×
(-a2-2a+4)=(a+)2-,
又∵“bingo点”A、B(点A和点B可以重合),
∴Δ≥0,即(a)2-4·
·
(-a2-a+2)≥0,
∴a≤-3-或a≥-3+,
当a=-3+时,x+x取最小值,
∴(x+x)min=-;
(3)∵y=x2+(n-k+1)x+m+k-1只有一个“bingo点”,∴y=x2+(n-k+1)x+m+k-1与y=x只有一个交点,
则x2+(n-k)x+m+k-1=0有两个相同根,
∴Δ=b2-4ac=(n-k)2-(m+k-1)=0,
可得m=(n-k)2-k+1,
当k<-2时,n=-2,m取最小值,即(-2-k)2-k+1=k,则无解;
当-2≤k<1时,n=k,m取最小值,即-k+1=k,则k=;
当k≥1时,n=1,m取最小值,即(1-k)2-k+1=k,则k2-4k+2=0;
∴k1=2-(不合题意,舍去),k2=2+,
综上所述,k值为或2+.
5.已知y是关于x的函数,若其图象经过点P(t,2t),则称点P为函数图象上的“偏离点”.例如:
直线y=x-3上存在“偏离点”P(-3,-6).
(1)在双曲线y=上是否存在“偏离点”?
若存在,请求出“偏离点”的坐标;
若不存在,请说明理由;
(2)若抛物线y=-x2+(a+2)x-a2-a+1上有“偏离点”,且“偏离点”为A(x1,y1)和B(x2,y2),求w=x+x-的最小值(用含k的式子表示);
(3)若函数y=x2+(m-t+2)x+n+t-2的图象上存在唯一的一个“偏离点”,且当-2≤m≤3时,n的最小值为t,求t的值.
(1)存在.假设存在“偏离点”,根据题意得2x=,解得x1=,x2=-,
当x=时,y=;
当x=时,y=-,
∴“偏离点”坐标为(,)或(-,-);
(2)设抛物线上的“偏离点”坐标为(x,2x),代入抛物线得-x2+(a+2)x-a2-a+1=2x得-x2+ax-a2-a+1=0,
∵Δ=+2(-a2-a+1)≥0,∴a≤1,
又∵x1+x2=a,x1·
x2=a2+2a-2,
∴x+x-=(x1+x2)2-2x1·
x2-=a2-(4+)a+4,又∵抛物线开口向上,且对称轴为a=,∴若36+3k≥16,即k≥-,则当a=1时,w=x+x-最小值为-,
若36+3k<
16,即k<
-,则当a=时,x+x-最小值为-,
综上所述,w的最小值为;
(3)将“偏离点”(x,2x)代入x2+(m-t+2)x+n+t-2=2x得:
x2+(m-t)x+n+t-2=0,
∵该函数图象上存在唯一一个“偏离点”,
∴Δ=(m-t)2-4×
(n+t-2)=0,
即n=m2-2mt+t2-t+2=(m-t)2-t+2,
又∵对称轴为m=t,
∴①若t≤-2,取m=-2时,有nmin=4+4t+t2-t+2=t,即t2+2t+6=0,∵Δ=4-4×
1×
6<0,
方程无解;
②若-2<
3,取m=t时,有nmin=t2-2t2+t2-t+2=t,解得:
t=1,成立;
③若t≥3,取m=3时,有nmin=32-6t+t2-t+2=t,
即:
t2-8t+11=0,解得t1=4+,t2=4-(舍),
综上所述,t=4+或t=1.
6.若y是关于x的函数,H是常数(H>0),若对于此函数图象上的任意两点(x1,y1),(x2,y2),都有|y1-y2|≤H,则称该函数为有界函数,其中满足条件的所有常数H的最小值,称
第6题图
为该函数的界高.如图所表示的函数的界高为4.
(1)若函数y=(k>0)(-2≤x≤-1)的界高为6,则k=________;
(2)若函数y=kx+1(-2≤x≤1)的界高为4,求k的值;
(3)已知函数y=x2-2ax+3a(-2≤x≤1)的界高为,求a的值.
(1)12;
【解法提示】当-2≤x≤-1时,函数y=(k>0)中y随x的增大而减小,∴y1>y2,将x1=-2代入得y1==-,将x2=-1代入得y2==-k,∵|y1-y2|=6,∴--(-k)=6,解得k=12;
(2)将x1=-2代入得y1=-2k+1;
将x2=1代入得y2=k+1,
∵|y1-y2|=4,
∴|-3k|=4,解得k=±
;
(3)①当a≥1时,将x1=-2,x2=1代入函数解析式得,
y1=4+7a,y2=1+a,
∵|y1-y2|=,函数对称轴为x=a,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,
∴3+6a=,解得a=,
又∵a≥1,故此种情况不成立;
②当-≤a<1时,将x1=-2,x2=a代入函数解析式得,
y1=4+7a,y2=3a-a2,
∵|y1-y2|=,
∴a2+4a-=0,
解得a1=,a2=-(舍去),
∴a=;
③当-2≤a<-时,同理有x1=1时y值最大,x2=a时y值最小,将x1=1,x2=a代入函数解析式得,
y1=1+a,y2=3a-a2,
∴a2-2a-=0,
解得a1=-,a2=(舍去),
∴a=-;
④当a<-2时,将x1=-2,x2=1代入函数解析式得,
∵|y1-y2|=,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,
∴-(3+6a)=,
解得a=-,
又∵a≤-2,故此种情况不成立,
综上所述,a=或a=-.
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