高中数学必修2第二章点线面之间的位置关系导学案.doc

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§2.1.1平面

学习目标

1.了解平面的描述性概念；

2.掌握平面的表示方法和基本画法；

3.掌握平面的基本性质；

4.能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P40~P43，找出疑惑之处）

引入：

平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?

平面如何表示呢?

平面又有哪些性质呢?

二、新课导学

探究1：

平面的概念与表示

问题：

生活中哪些物体给人以平面形象？

你觉得平面可以拉伸吗？

平面有厚薄之分吗？

新知1：

平面是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.

问题：

通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？

新知2：

如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面,平面,平面等.

规定：

①画平行四边形，锐角画成°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.

问题：

点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？

直线和平面呢?

新知3：

⑴点在平面内，记作；点在平面外，记作.⑵点在直线上，记作，点在直线外，记作.⑶直线上所有点都在平面内,则直线在平面内（平面经过直线）,记作；否则直线就在平面外，记作.

探究2：

平面的性质

问题：

直线与平面有一个公共点,直线是否在平面内?

有两个公共点呢?

新知4：

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为：

且

问题：

两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？

任意三点能确定一个平面吗？

新知5：

公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如上图,三点确定平面.

完成P42思考

新知6：

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

平面与平面相交于直线，记作.公理3用集合符号表示为

且,且

典型例题

例1P43

例2如图在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：

⑴直线在平面内；

⑵设上下底面中心为，则平面与平面

的交线为；

⑶点可以确定一平面；

⑷平面与平面重合.

练习P43:

1、2、3、4

三、学习小结

1.平面的特征、画法、表示；

2.平面的基本性质（三个公理）；

3.用符号表示点、线、面的关系.

当堂检测：

1.下面说法正确的是（）.

①平面的面积为②个平面重合比个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示.

A.①B.②C.③D.④

2.下列结论正确的是（）.

①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面

A.个B.个C.个D.个

3.如图在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（）.

A.在直线上B.在直线上

C.在直线上D.都不对

4.直线相交于点，并且分别与平面相交于点两点，用符号表示为____________.

5.两平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定___个平面.

6.如图在正方体中，是顶点，都是棱的中点，请作出经过三点的平面与正方体的截面.

§2.1.2空间直线与直线之间的位置关系

学习目标

1.正确理解异面直线的定义；

2.会判断空间两条直线的位置关系；

3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；

4.会求异面直线所成角的大小.

学习过程

一、课前准备（预习教材P44~P47，找出疑惑之处）

复习1：

平面的特点是______、_______、_______.

复习2：

平面性质（三公理）

二、新课导学

探究1：

异面直线及直线间的位置关系

问题：

平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?

观察：

如图在长方体中，直线与的位置关系如何？

结论：

直线与既不相交，也不平行.

新知1：

像直线与这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

试试：

请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.

问题：

作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？

新知2：

异面直线的画法有如下几种（异面）：

试试：

请你归纳出空间直线的位置关系.

探究2：

平行公理及空间等角定理

问题：

平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?

观察：

在长方体中，直线∥，∥，那么直线与平行吗?

新知3:

公理4（平行公理）平行于同一条直线的两条直线互相平行.

问题：

平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?

观察：

在图2-1中,与,与的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?

新知4:

定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

探究3：

异面直线所成的角

问题：

平面内两条直线的夹角是如何定义的?

想一想异面直线所成的角该怎么定义?

图2-2

新知5:

如图2-2,已知两条异面直线，经过空间任一点作直线∥,∥，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角（夹角）.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作.

反思：

思考下列问题.

⑴作异面直线夹角时，夹角的大小与点的位置有关吗?

点的位置怎样取才比较简便?

⑵异面直线所成的角的范围是多少?

⑶两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?

⑷异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?

它体现了什么样的数学思想?

典型例题

例1课本P45例2

例2在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴和⑵和

练习:

正方体的棱长为，求异面直线与所成的角.

三、学习小结

1.异面直线的定义、夹角的定义及求法；2.空间直线的位置关系；

3.平行公理及空间等角定理.

知识拓展异面直线的判定定理：

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.

如图，，则直线与直线是异面直线.

当堂检测：

1.为三条直线，如果，则的位置关系必定是（）.

A.相交B.平行C.异面D.以上答案都不对

2.已知是异面直线，直线平行于直线，那么与（）.

A.一定是异面直线B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线

3.已知,，且是异面直线，那么直线（）.

A.至多与中的一条相交B.至少与中的一条相交

C.与都相交D.至少与中的一条平行

4.正方体的十二条棱中，与直线是异面直线关系的有___________条.

5.长方体中,,=1，异面直线与所成角的余弦值是______.

§2.1.3空间直线与平面之间的位置关系

§2.1.4平面与平面之间的位置关系

学习目标

1.掌握直线与平面之间位置关系，理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；

2.掌握两平面之间的位置关系，会画相交平面的图形.

学习过程

一、课前准备（预习教材P48~P50，找出疑惑之处）

复习1：

空间任意两条直线的位置关系有_______、_______、_______三种.

复习2：

异面直线是指__________________的两条直线,它们的夹角可以通过__________的方式作出,其范围是___________.

复习3：

平行公理：

____________________________；空间等角定理：

____________.

二、新课导学

探究1：

空间直线与平面的位置关系

问题：

用铅笔表示一条直线，作业本表示一个平面，你试着比画，它们之间有几种位置关系?

观察：

如图直线与长方体的六个面有几种位置关系?

新知1：

直线与平面位置关系只有三种：

⑴直线在平面内——

⑵直线与平面相交——

⑶直线与平面平行——

其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.

反思：

⑴从交点个数方面来分析，上述三种关系对应的交点有多少个？

请把结果写在新知1的——符号后面

⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来，并想想用符号语言该怎么描述.

探究2：

平面与平面的位置关系

问题：

平面与平面的位置关系有几种？

你试着拿两个作业本比画比画.

观察：

还是在长方体中，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?

新知2：

两个平面的位置关系只有两种：

⑴两个平面平行——没有公共点

⑵两个平面相交——有一条公共直线

试试：

请你试着把平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.

典型例题

例1下列命题中正确的个数是（）

①若直线上有无数个点不在平面内，则∥.

②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行.

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.

④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点.

A.B.C.D.

例2已知平面，直线，且∥,，，则直线与直线具有怎样的位置关系?

练1课本P49练习

练2.已知为三条不重合的直线，为三个不重合的平面：

①∥,∥∥；②∥,∥∥；

③∥,∥∥；④∥,∥∥；

⑤,,∥∥.其中正确的命题是（）

A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤

三、学习小结

1.直线与平面、平面与平面的位置关系；

2.位置关系用图形语言、符号语言如何表示；

3.长方体作为模型研究空间问题的重要性.

当堂检测：

1.直线在平面外，则（）.

A.∥B.与至少有一个公共点

C.D.与至多有一个公共点

2.已知∥，，则（）.

A.∥B.和相交C.和异面D.与平行或异面

3.四棱柱的的六个面中，平行平面有（）.

A.1对B.1对或2对C.1对或2对或3对D.0对或1对或2对或3对

4.过直线外一点与此直线平行的直线有____条；过直线外一点与此直线平行的平面有___个.

5.若在两个平面内各有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是______.

课后作业

1.已知直线及平面满足:

∥,∥,则直线的位置关系如何?

画图表示.

2.两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分？

三个呢？

试画图加以说明.

§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（练习）

学习目标

1.理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；

2.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；

3.会判断异面直线，掌握异面直线的求法；

4.会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.

学习过程

一、课前准备（预习教材P40~P50，找出疑惑之处）

复习1：

概念与性质

⑴平面的特征和