高中数学必修2第三章知识点及练习题.doc
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第三章直线与方程
1、直线倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.
2、倾斜角α的取值范围:
0°≤α<180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.
3、直线的斜率:
⑴一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母k表示,也就是k=tanα。
①当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;
②当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.
当时,,k随着α的增大而增大;当时,,k随着α的增大而增大;当时,不存在。
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
⑵过两点的直线的斜率公式:
注意下面四点:
(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率,再求倾斜角。
※三点共线的条件:
如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等,那么这三点共线;反之,三点共线,任意两点连线的斜率不一定相等。
解决此类问题要先考虑斜率是否存在。
4、直线方程(注意各种直线方程之间的转化)
①直线的点斜式方程:
,k为直线的斜率,且过点,适用条件是不垂直x轴。
注意:
当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是x=x0。
②斜截式:
,k为直线的斜率,直线在y轴上的截距为b
③两点式:
()直线两点,
④截矩式:
,其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式:
(A,B不全为0)
注意:
①在平时解题或高考解题时,所求出的直线方程,一般要求写成斜截式或一般式。
②各式的适用范围③特殊的方程如:
平行于x轴的直线:
(b为常数);平行于y轴的直线:
(a为常数);
5、直线系方程:
即具有某一共同性质的直线
(1)平行直线系
平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:
(C为常数),所以平行于已知直线的直线方程可设:
垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线方程可设:
(C为常数)
(2)过定点的直线系
①斜率为k的直线系:
,直线过定点;
②过两条直线,的交点的直线系方程为
(为参数),其中直线不在直线系中。
6、两直线平行与垂直
(1)当,时,
;
注意:
利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(2)当,时,
;
例:
设直线经过点A(m,1)、B(—3,4),直线经过点C(1,m)、D(—1,m+1),
当
(1)//
(2)⊥时,分别求出m的值
7、两条直线的交点
当相交时,
交点坐标是方程组的一组解。
方程组无解;方程组有无数解与重合。
8.中点坐标公式:
已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则线段的中点M坐标为(,)例:
已知点A(7,—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。
9、两点间距离公式:
设是平面直角坐标系中的两个点,则
10、点到直线距离公式:
一点到直线的距离为
11、两平行直线距离公式
(1)两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解,即:
先在任一直线上任取一点,再利用点到直线的距离进行求解。
(2)两平行线间的距离公式:
已知两条平行线直线和的一般式方程为l1:
Ax+By+C1=0,l2:
Ax+By+C2=0,则与的距离为
一、选择题
1.若直线x=1的倾斜角为a,则a().
A.等于0 B.等于p C.等于 D.不存在
2.图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则().
A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2
C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2
(第2题)
3.已知直线l1经过两点(-1,-2)、(-1,4),直线l2经过两点(2,1)、(x,6),且l1∥l2,则x=().
A.2 B.-2 C.4 D.1
4.已知直线l与过点M(-,),N(,-)的直线垂直,则直线l的倾斜角是().
A. B. C. D.
5.如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过().
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是().
A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0
C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0
7.过两直线l1:
x-3y+4=0和l2:
2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为().
A.19x-9y=0 B.9x+19y=0
C.19x-3y=0 D.3x+19y=0
8.直线l1:
x+a2y+6=0和直线l2:
(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值
是().
A.3 B.-3 C.1 D.-1
9.将直线l沿y轴的负方向平移a(a>0)个单位,再沿x轴正方向平移a+1个单位得直线l',此时直线l'与l重合,则直线l'的斜率为().
A. B. C. D.
10.点(4,0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是().
A.(-6,8) B.(-8,-6) C.(6,8) D.(-6,-8)
二、填空题
11.已知直线l1的倾斜角a1=15°,直线l1与l2的交点为A,把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°,则直线l2的斜率k2的值为.
12.若三点A(-2,3),B(3,-2),C(,m)共线,则m的值为.
13.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标为.
14.求直线3x+ay=1的斜率.
15.已知点A(-2,1),B(1,-2),直线y=2上一点P,使|AP|=|BP|,则P点坐标为.
16.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是 .
17.若一束光线沿着直线x-2y+5=0射到x轴上一点,经x轴反射后其反射线所在直线的方程是.
三、解答题
18.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6(m∈R,m≠-1),根据下列条件分别求m的值:
①l在x轴上的截距是-3; ②斜率为1.
19.已知△ABC的三顶点是A(-1,-1),B(3,1),C(1,6).直线l平行于AB,交AC,BC分别于E,F,△CEF的面积是△CAB面积的.求直线l的方程.
(第19题)
20.一直线被两直线l1:
4x+y+6=0,l2:
3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点,求该直线方程.
.
21.直线l过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线l的横截距与纵截距之和为6,求直线l的方程.
第三章直线与方程
参考答案
A组
一、选择题
1.C
解析:
直线x=1垂直于x轴,其倾斜角为90°.
2.D
解析:
直线l1的倾斜角a1是钝角,故k1<0;直线l2与l3的倾斜角a2,a3均为锐角且a2>a3,所以k2>k3>0,因此k2>k3>k1,故应选D.
3.A
解析:
因为直线l1经过两点(-1,-2)、(-1,4),所以直线l1的倾斜角为,而l1∥l2,所以,直线l2的倾斜角也为,又直线l2经过两点(2,1)、(x,6),所以,x=2.
4.C
解析:
因为直线MN的斜率为,而已知直线l与直线MN垂直,所以直线l的斜率为1,故直线l的倾斜角是.
5.C
解析:
直线Ax+By+C=0的斜率k=<0,在y轴上的截距>0,所以,直线不通过第三象限.
6.A
解析:
由已知得点A(-1,0),P(2,3),B(5,0),可得直线PB的方程是x+y-5=0.
7.D
8.D
9.B
解析:
结合图形,若直线l先沿y轴的负方向平移,再沿x轴正方向平移后,所得直线与l重合,这说明直线l和l’的斜率均为负,倾斜角是钝角.设l’的倾斜角为q,则
tanq=.
10.D
解析:
这是考察两点关于直线的对称点问题.直线5x+4y+21=0是点A(4,0)与所求点A'(x,y)连线的中垂线,列出关于x,y的两个方程求解.
二、填空题
(第11题)
11.-1.
解析:
设直线l2的倾斜角为a2,则由题意知:
180°-a2+15°=60°,a2=135°,
∴k2=tana2=tan(180°-45°)=-tan45°=-1.
12..
解:
∵A,B,C三点共线,
∴kAB=kAC,.解得m=.
13.(2,3).
解析:
设第四个顶点D的坐标为(x,y),
∵AD⊥CD,AD∥BC,
∴kAD·kCD=-1,且kAD=kBC.
∴·=-1,=1.
解得(舍去)
所以,第四个顶点D的坐标为(2,3).
14.-或不存在.
解析:
若a=0时,倾角90°,无斜率.
若a≠0时,y=-x+
∴直线的斜率为-.
15.P(2,2).
解析:
设所求点P(x,2),依题意:
=,解得x=2,故所求P点的坐标为(2,2).
16.10x+15y-36=0.
解析:
设所求的直线的方程为2x+3y+c=0,横截距为-,纵截距为-,进而得
c=-.
17.x+2y+5=0.
解析:
反射线所在直线与入射线所在的直线关于x轴对称,故将直线方程中的y换成
-y.
三、解答题
18.①m=-;②m=.
解析:
①由题意,得
=-3,且m2-2m-3≠0.
解得 m=-.
②由题意,得=-1,且2m2+m-1≠0.
解得 m=.
19.x-2y+5=0.
解析:
由已知,直线AB的斜率k==.
因为EF∥AB,所以直线EF的斜率为.
因为△CEF的面积是△CAB面积的,所以E是CA的中点.点E的坐标是(0,).
直线EF的方程是y-=x,即x-2y+5=0.
20.x+6y=0.
解析:
设所求直线与l1,l2的交点分别是A,B,设A(x0,y0),则B点坐标为
(-x0,-y0).
因为A,B分别在l1,l2上,
①
②
所以
①+②得:
x0+6y0=0,即点A在直线x+6y=0上,又直线x+6y=0过原点,所以直线l的方程为x+6y=0.
21.2x+y-4=0和x+y-3=0.
解析:
设直线l的横截距为a,由题意可得纵截距为6-a.
∴直线l的方程为.
∵点(1,2)在直线l上,∴,a2-5a+6=0,解得a1=2,a2=3.当a=2时,直线的方程为,直线经过第一、二、四象限.当a=3时,直线的方程为,直线经过第一、二、四象限.
综上所述,所求直线方程为2x+y-4=0和x+y-3=0.
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