高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习.doc
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第三节圆_的_方_程
[知识能否忆起]
1.圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
(r>0)
圆心:
(a,b),半径:
r
一般
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F>0)
圆心:
,
半径:
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2 [小题能否全取] 1.(教材习题改编)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( ) A.<m<1 B.m<或m>1 C.m< D.m>1 解析: 选B 由(4m)2+4-4×5m>0得m<或m>1. 2.(教材习题改编)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内,则实数a的取值范围是( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(1,+∞) 解析: 选A ∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4, ∴-1<a<1. 3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 解析: 选A 设圆心坐标为(0,b),则由题意知=1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1. 4.(2012·潍坊调研)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+y-3=0的距离为________. 解析: 圆心(1,0),d==1. 答案: 1 5.(教材习题改编)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 ____________________. 解析: 设圆的方程为x2+y2=a2(a>0) ∴=a,∴a=, ∴x2+y2=2. 答案: x2+y2=2 1.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是: (1)B=0; (2)A=C≠0;(3)D2+E2-4AF>0. 2.求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一弦的中垂线上. (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 圆的方程的求法 典题导入 [例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C的方程为( ) A.2+y2= B.2+y2= C.x2+2= D.x2+2= (2)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为________________. [自主解答] (1)由已知知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为,设圆心(0,b),半径为r,则rsin=1,rcos=|b|,解得r=,|b|=,即b=±. 故圆的方程为x2+2=. (2)圆C的方程为x2+y2+Dx+F=0, 则 解得 圆C的方程为x2+y2-4x-6=0. [答案] (1)C (2)x2+y2-4x-6=0 由题悟法 1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a,b,r或D,E,F的方程组. 2.利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体现了数形结合思想的运用. 以题试法 1.(2012·浙江五校联考)过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则△ABP的外接圆的方程是( ) A.(x-4)2+(y-2)2=1 B.x2+(y-2)2=4 C.(x+2)2+(y+1)2=5 D.(x-2)2+(y-1)2=5 解析: 选D 易知圆心为坐标原点O,根据圆的切线的性质可知OA⊥PA,OB⊥PB,因此P,A,O,B四点共圆,△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆,这个圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=5. 与圆有关的最值问题 典题导入 [例2] (1)(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( ) A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0 (2)P(x,y)在圆C: (x-1)2+(y-1)2=1上移动,则x2+y2的最小值为________. [自主解答] (1)当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,符合条件.圆心O与P点连线的斜率k=1,∴直线OP垂直于x+y-2=0. (2)由C(1,1)得|OC|=,则|OP|min=-1,即()min=-1.所以x2+y2的最小值为(-1)2=3-2. [答案] (1)A (2)3-2 由题悟法 解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u=的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题(如A级T9); 9.(2012·南京模拟)已知x,y满足x2+y2=1,则的最小值为________. 解析: 表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由=1得k=,结合图形可知,≥,故最小值为. 答案: (2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2 (2)); (3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例 (2)). 以题试法 2. (1)(2012·东北三校联考)与曲线C: x2+y2+2x+2y=0相内切,同时又与直线l: y=2-x相切的半径最小的圆的半径是________. (2)已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1则2x-y的最大值为________,最小值为________. 解析: (1)依题意,曲线C表示的是以点C(-1,-1)为圆心,为半径的圆,圆心C(-1,-1)到直线y=2-x即x+y-2=0的距离等于=2,易知所求圆的半径等于=. (2)令b=2x-y,则b为直线2x-y=b在y轴上的截距的相反数,当直线2x-y=b与圆相切时,b取得最值.由=1.解得b=5±,所以2x-y的最大值为5+,最小值为5-. 答案: (1) (2)5+ 5- 与圆有关的轨迹问题 典题导入 [例3] (2012·正定模拟)如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程. [自主解答] 设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心. 由A(-1,0),B(1,0),令动点C(x0,y0), 则D(2x0-1,2y0),由重心坐标公式得 则 代入x2+y2=1,整理得2+y2=(y≠0), 故所求轨迹方程为2+y2=(y≠0). 由题悟法 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: (1)直接法: 直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法: 根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程. (3)几何法: 利用圆与圆的几何性质列方程. (4)代入法: 找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 以题试法 3.(2012·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为( ) A.x2+y2=32 B.x2+y2=16 C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16 解析: 选B 设P(x,y),则由题意可得2=,化简整理得x2+y2=16. [题后悟道] 该题是圆与集合,不等式交汇问题,解决本题的关键点有: ①弄清集合代表的几何意义; ②结合直线与圆的位置关系求得m的取值范围. 针对训练 若直线l: ax+by+4=0(a>0,b>0)始终平分圆C: x2+y2+8x+2y+1=0,则ab的最大值为( ) A.4 B.2 C.1 D. 解析: 选C 圆C的圆心坐标为(-4,-1), 则有-4a-b+4=0,即4a+b=4. 所以ab=(4a·b)≤2=×2=1. 当且仅当a=,b=2取得等号. 1.圆(x+2)2+y2=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为( ) A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5 解析: 选A 圆上任一点(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)在圆(x+2)2+y2=5上,即(-x+2)2+(-y)2=5.即(x-2)2+y2=5. 2.(2012·辽宁高考)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是( ) A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 解析: 选C 要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2).A,B,C,D四个选项中,只有C选项中的直线经过圆心. 3.(2012·青岛二中期末)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( ) A.(x-3)2+2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.2+(y-1)2=1 解析: 选B 依题意设圆心C(a,1)(a>0),由圆C与直线4x-3y=0相切,得=1,解得a=2,则圆C的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1. 4.(2012·海淀检测)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 解析: 选A 设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得因为点Q在圆x2+y2=4上,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1. 5.(2013·杭州模拟)若圆x2+y2-2x+6y+5a=0,关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围是( ) A.(-∞,4) B.(-∞,0) C.(-4,+∞) D.(4,+∞) 解析: 选A 将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且10-5a>0,即a<2.∵圆关于直线y=x+2b对称,∴圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,∴a-b<4. 6.已知点M是直线3x+4y-2=0上的动点,点N为圆(x+1)2+(y+1)2=1上的动点,则|MN|的最小值是( ) A. B.1 C. D. 解析: 选C 圆心(-1,-1)到点M的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离d==,故点N到点M的距离的最小值为d-1=. 7.如果三角形三个顶点分别是O(0,0),A(0,15),B(-8,0),则它的内切圆方程为________________. 解析: 因为△AOB是直角三角形,所以内切圆半径为r===3,圆心坐标为(-3,3),故内切
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