高中数学导数知识点归纳总结和例题.doc
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导数
考试内容
导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.
考试要求:
(1)了解导数概念的某些实际背景.
(2)理解导数的几何意义.(3)掌握函数,y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数.(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.
§14.导数知识要点
导数
导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的几何意义、物理意义
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
常见函数的导数
导数的运算法则
1.导数(导函数的简称)的定义:
设是函数定义域的一点,如果自变量在处有增量,则函数值也引起相应的增量;比值称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限存在,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数,记作或,即=.
注:
①是增量,我们也称为“改变量”,因为可正,可负,但不为零.
②以知函数定义域为,的定义域为,则与关系为.
2.函数在点处连续与点处可导的关系:
⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.
可以证明,如果在点处可导,那么点处连续.
事实上,令,则相当于.
于是
⑵如果点处连续,那么在点处可导,是不成立的.
例:
在点处连续,但在点处不可导,因为,当>0时,;当<0时,,故不存在.
注:
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3.导数的几何意义:
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点P处的切线的斜率是,切线方程为
4.求导数的四则运算法则:
(为常数)
注:
①必须是可导函数.
②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如:
设,,则在处均不可导,但它们和在处均可导.
5.复合函数的求导法则:
或
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6.函数单调性:
⑴函数单调性的判定方法:
设函数在某个区间内可导,如果>0,则为增函数;如果<0,则为减函数.
⑵常数的判定方法;
如果函数在区间内恒有=0,则为常数.
注:
①是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如在上并不是都有,有一个点例外即x=0时f(x)=0,同样是f(x)递减的充分非必要条件.
②一般地,如果f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.
7.极值的判别方法:
(极值是在附近所有的点,都有<,则是函数的极大值,极小值同理)
当函数在点处连续时,
①如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么是极大值;
②如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么是极小值.
也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号,而不是=0①.此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).
注①:
若点是可导函数的极值点,则=0.但反过来不一定成立.对于可导函数,其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零.
例如:
函数,使=0,但不是极值点.
②例如:
函数,在点处不可导,但点是函数的极小值点.
8.极值与最值的区别:
极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.注:
函数的极值点一定有意义.
9.几种常见的函数导数:
I.(为常数)
()
II.
III.求导的常见方法:
①常用结论:
.②形如或两边同取自然对数,可转化求代数和形式.
③无理函数或形如这类函数,如取自然对数之后可变形为,对两边求导可得.
导数中的切线问题
例题1:
已知切点,求曲线的切线方程
曲线在点处的切线方程为( )
例题2:
已知斜率,求曲线的切线方程
与直线的平行的抛物线的切线方程是( )
注意:
此题所给的曲线是抛物线,故也可利用法加以解决,即设切线方程为,代入,得,又因为,得,故选D.
例题3:
已知过曲线上一点,求切线方程
过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.
求过曲线上的点的切线方程.
例题4:
已知过曲线外一点,求切线方程
求过点且与曲线相切的直线方程.
练习题:
已知函数,过点作曲线的切线,求此切线方程.
看看几个高考题
1.(2009全国卷Ⅱ)曲线在点处的切线方程为
2.(2010江西卷)设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为
3.(2009宁夏海南卷)曲线在点(0,1)处的切线方程为。
4.(2009浙江)(本题满分15分)已知函数.
(I)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值;
5.(2009北京)(本小题共14分)
设函数.
(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切,求的值;
.1函数的单调性和导数
1.利用导数的符号来判断函数单调性:
一般地,设函数在某个区间可导,
如果在这个区间内,则为这个区间内的;
如果在这个区间内,则为这个区间内的。
2.利用导数确定函数的单调性的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求出函数的导数;
(3)解不等式f¢(x)>0,得函数的单调递增区间;
解不等式f¢(x)<0,得函数的单调递减区间.
【例题讲解】
a)求证:
在上是增函数。
b)确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
【课堂练习】
1.确定下列函数的单调区间
(1)y=x3-9x2+24x
(2)y=3x-x3
2.已知函数,则()
A.在上递增B.在上递减
C.在上递增D.在上递减
3.函数的单调递增区间是_____________.
函数图象及其导函数图象
1.函数在定义域内可导,其图象如图,记的导函数为,则不等式的解集为_____________
2.函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数的单调增区间是_____________
3.如图为函数的图象,为函数的导函数,则不等式的解集为______
4.若函数的图象的顶点在第四象限,则其导函数的图象是()
5.函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线,则图象的顶点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
O
1
2
x
y
O
1
2
x
y
x
y
y
O
1
2
y
O
1
2
x
O
1
2
x
A
B
C
D
6.(2007年广东佛山)设是函数的导函数,的图象如右图所示,则的图象最有可能的是( )
7.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下左图所示,则导函数y=f¢(x)的图象可能为( )
8.(安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科)函数的图像如下右图所示,则的图像可能是 ()
x
o
y
9.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知函数的导函数的图象如右图,则的图象可能是()
10.(2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科)如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度随时间变化的可能图象是()
(A) (B) (C) (D)
11.(2008广州二模文、理)已知二次函数的图象如图1所示,则其导函数的图象大致形状是()
12.(2009湖南卷文)若函数的导函数在区间上是增函数,则函数在区间上的图象可能是 ()
y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b
A.B.C.D.
13.(福建卷11)如果函数的图象如右图,那么导函数的图象可能是 ()
14.(2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 ()
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数,将和的图像画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是()
A. B. C. D.
x
y
x4
O oO
16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数的导函数的图像如下,则()
函数有1个极大值点,1个极小值点
函数有2个极大值点,2个极小值点
函数有3个极大值点,1个极小值点
函数有1个极大值点,3个极小值点
17.(2008珠海质检理)函数的定义域为,其导函数内的图象如图所示,则函数在区间内极小值点的个数是()
(A).1 (B).2 (C).3 (D).4
18.【湛江市·文】函数的图象大致是
. . . .
19.【珠海·文】如图是二次函数的部分图象,则函数的零点所在的区间是()
A.B.
C.D.
20.定义在R上的函数满足.为的导函数,已知函数的图象如右图所示.若两正数满足,则的取值范围是()
A. B.C. D.
21.已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)的值.
11
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