高中数学函数压轴题(精制).doc
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高中数学函数压轴题(精制).doc
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高考数学函数压轴题:
1.已知函数在处取得的极小值是.
(1)求的单调递增区间;
(2)若时,有恒成立,求实数的取值范围.
2.某造船公司年最高造船量是20艘.已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x+45x2–10x3(单位:
万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位:
万元).又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为:
Mf(x)=f(x+1)–f(x).求:
(提示:
利润=产值–成本)
(1)利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);
(2)年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?
(3)边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?
3.已知函数,函数的图象与的图象关于点中心对称。
(1)求函数的解析式;
(2)如果,,试求出使成
立的取值范围;
(3)是否存在区间,使对于区间内的任意实数,只要,且时,都有恒成立?
4.已知函数:
(Ⅰ)证明:
f(x)+2+f(2a-x)=0对定义域内的所有x都成立.
(Ⅱ)当f(x)的定义域为[a+,a+1]时,求证:
f(x)的值域为[-3,-2];
(Ⅲ)设函数g(x)=x2+|(x-a)f(x)|,求g(x)的最小值.
5.设是定义在上的函数,若存在,使得在上单调递增,在上单调递减,则称为上的单峰函数,为峰点,包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的上的单峰函数,下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(1)证明:
对任意的,,若,则为含峰区间;若,则为含峰区间;
(2)对给定的,证明:
存在,满足,使得由
(1)所确定的含峰区间的长度不大于;
6.设关于的方程的两根分别为、,函数
(1)证明在区间上是增函数;
(2)当为何值时,在区间上的最大值与最小值之差最小
7.甲乙两公司生产同一种新产品,经测算,对于函数,,及任意的,当甲公司投入万元作宣传时,乙公司投入的宣传费若小于万元,则乙公司有失败的危险,否则无失败的危险;当乙公司投入万元作宣传时,甲公司投入的宣传费若小于万元,则甲公司有失败的危险,否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费x万元,乙公司投入宣传费y万元,建立如图直角坐标系,试回答以下问题:
(1)请解释;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问此时各应投入多少宣传费?
(3)若甲、乙分别在上述策略下,为确保无失败的危险,根据对方所投入的宣传费,按最少投入费用原则,投入自己的宣传费:
若甲先投入万元,乙在上述策略下,投入最少费用;而甲根据乙的情况,调整宣传费为;同样,乙再根据甲的情况,调整宣传费为如此得当甲调整宣传费为时,乙调整宣传费为;试问是否存在,的值,若存在写出此极限值(不必证明),若不存在,说明理由.
8.设是定义域在上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.
(l)求证在上是减函数;
(ll)如果,的定义域的交集为空集,求实数的取值范围;
(lll)证明若,则,存在公共的定义域,并求这个公共的空义域.
9.已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z。
(1)若b>2a,且f(sinx)(x∈R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意实数x,不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立,且存在x0,使得f(x0)<2(x02+1)成立,求c的值。
10.已知函数在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减;
(1)求a的值;
(2)求证:
x=1是该函数的一条对称轴;
(3)是否存在实数b,使函数的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点?
若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由.
11.定义在区间(0,)上的函f(x)满足:
(1)f(x)不恒为零;
(2)对任何实数x、q,都有.
(1)求证:
方程f(x)=0有且只有一个实根;
(2)若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列,求证:
;
(3)(本小题只理科做)若f(x)单调递增,且m>n>0时,有,求证:
12.已知三次函数在y轴上的截距是2,且在上单调递增,在(-1,2)上单调递减.
20070328
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数,求的单调区间.
13.已知函数(且).
(1)试就实数的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(2)已知当时,函数在上单调递减,在上单调递增,求的值并写出函数的解析式;
(3)(理)记
(2)中的函数的图像为曲线,试问是否存在经过原点的直线,使得为曲线的对称轴?
若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.
(文)记
(2)中的函数的图像为曲线,试问曲线是否为中心对称图形?
若是,请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是,请说明理由.
14.已知函数和的图象在处的切线互相平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,当时,恒成立,求的取值范围.
15.设函数定义在上,对任意的,恒有,且当时,。
试解决以下问题:
(1)求的值,并判断的单调性;
(2)设集合,若,求实数的取值范围;
(3)若,满足,求证:
16.(理科)二次函数f(x)=
(I)若方程f(x)=0无实数根,求证:
b>0;
(II)若方程f(x)=0有两实数根,且两实根是相邻的两个整数,求证:
f(-a)=;
(III)若方程f(x)=0有两个非整数实根,且这两实数根在相邻两整数之间,试证明存在整数k,使得.
(文科)已知函数f(x)=,其中
(I)若b>2a,且f(sinx)(x∈R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小值;
(II)若对任意实数x,不等式恒成立,且存在成立,求c的值。
17.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:
对任意x、y(-1,1)都有。
(I)求证:
函数f(x)是奇函数;
(II)如果当时,有f(x)>0,判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并加以证明;
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