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以系数不为1的线段的定端点为顶点作一个角,使其正弦值等于此线段的系数(注意题目中有无特殊角);
第二步:
过动点作第一步中角的边的垂线,构造直角三角形;
第三步:
根据两点之间线段最短,将“折”变“直”,再利用
“垂线段最短”找到最小值的位置.
4.如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°
,边长为3,P是对角线
BD上的一个动点,则
BP+PC的最小值是()
A.
B.
C.3D.
5.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°
,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上,设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当
CD+OD的最小值为6时,求⊙O的直径AB的长.
6、如图6-2-4,二次函数y=ax2+2ax+4与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,tan∠CBO=2.⑴此二次函数的解析式为:
______________________________________;
⑵动直线l从与直线AC重合的位置出发,绕点A顺时针方向旋转,到与直线AB重合时终止运动,直线l与线段BC交于点D,P是线段AD的中点.
①直接写出点P所经过的路线长_________________________________________.
②点D与B、C不重合时,过点D作DE⊥AC,DF⊥AB于点F,连接PE、PF,在旋转过程中,∠EPF的大小是否发生变化?
若不变,求∠EPF的度数;
若变化,请说明理由.
③在②的条件下,连接EF,求EF的最小值.
7.如图6-2-5,等边△ABC的边长为3,N为AC的三等分点,三角形边上的动点M从点A出发,沿A→B→C的方向运动,到达点C时停止.设点M运动的路程为x,MN2=y,则y与x的函数图象大致是()
8.如图6-2-6,O为原点,每个小方格的边长为1个单位长度,A、B是第一象限内横、纵坐标均为整数的两点,且OA=OB=
.
⑴则A、B两点的坐标分别为__________、______________;
⑵画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形,并求出其面积(结果保留π).
9.如图6-2-7①和6-2-7②,在△ABC中,AB=13,BC=14,cos∠ABC=
探究:
如图6-2-7①,AH⊥BC于点H,AH=____________,AC=___________,△ABC的面积S△ABC=___________________.
拓展如图6-2-7②,点D在AC上(可与点A,C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E,F.设BD=x,AE=m,CF=n(当点D与A重合时,我们认为S△ABD=0)
⑴用x,m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;
⑵求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值及最小值;
⑶对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.
对称性质在最值问题中的应用
模型一两点一线
类型1异侧和最小值问题
两定点A、B位于直线l异侧,在直线l上找一点P,使PA+PB值最小.
问题解决:
结论:
根据两点之间线段最短,PA+PB的最小值即为线段AB长.
类型2同侧和最小值问题
两定点A、B位于直线l同侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB值最小.
将两定点同侧转化为异侧问题,PA+PB最小值为AB′.
类型3同侧差最小值问题
两定点A、B位于直线l同侧,在直线l上找一点P,使得|PA-PB|的值最小.
根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,当PA=PB时,|PA-PB|=0.
类型4同侧差最大值问题
两定点A、B位于直线l同侧,在直线l上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.
根据三角形任意两边之差小于第三边,|PA-PB|≤AB,则|PA-PB|的最大值为线段AB的长.
类型5异侧差最大值问题
两定点A、B位于直线l异侧,在直线l上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.
将异侧点转化为同侧,同类型4,|PA-PB|的最大值为AB′.
1.如图,正方形ABCD的边长为8,点M在边DC上,且DM=2,点N是对角线AC上一动点,则线段DN+MN的最小值为________.
2.如图,点C的坐标为(3,y),当△ABC的周长最小时,
则y的值为________.
3.如图,已知△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=4,∠BCD=15°
,
P为射线CD上的动点,则|PA-PB|的最大值为________.
4、如图6-1-1④,已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值=.
5、如图6-1-1⑤,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠B=60°
,点D是BC边上的点,CD=
,将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则△PEB的周长的最小值是.
6.
(1)如图6-1-2①,在等边△ABC中,AB=6,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使PB+PE的值最小,最小值为.
(2)如图6-1-2②,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°
,P是OB上一动点,则PA+PC的最小值是;
(3)如图6-1-2③,点D、E分别是△ABC的AC、AB边的中点,BC=6,BC边上的高为4,P在BC边上,则△PDE周长的最小值为.
7.
(1)如图6-1-3①,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,
),点C的坐标为(1,0),点P为斜边OB上的一动点,则PA+PC的最小值为.
(2)如图6-1-3②,菱形ABCD中AB=2,∠A=120°
,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为.
M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.
8.
(1)如图6-1-4①,∠AOB=45°
,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,则△PQR周长的最小值是.
(2)如图6-1-4②,点A(a,1)、B(-1,b)都在双曲线y=
(x<
0)上,点P、Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时,PQ在直线的解析式是().
A.y=xB.y=x+1C.y=x+2D.y=x+3
9.如图6-1-5已知,直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB=2
,试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短,则此时AM+NB=()
A.6B.8C.10D.12
10、如图6-1-13③,一次函数y=-2x+4的图象与x、y轴分
别交于点A,B,D为AB的中点,C、A关于原点对称.P为OB
上一动点,请直接写出︱PC-PD︱的范围:
__________________.
11.如图6-1-14,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1),B(1,2),点P在x轴上运动,当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时,点P的坐标是____________________.
12.在⊙O所在的平面上有一点A,它到⊙O的最近距离是3,最远距离是7,则⊙O的半径为________________.
13.在A、B均在面积为1的小正方形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标坐标系如图6-1-15,若P是x轴上使得︱PA-PB︱的值最大的点,OP=__________________.
14.如图6-1-16,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.⑴抛物线及对称轴分别为________________________________;
⑵点D所在抛物线的对称轴上,求︱DB-DC︱的最大值.
模型二一点两线
类型1一定点与两条直线上两动点问题
点P在∠AOB的内部,在OB上找一点D,在OA上找一点C,使得△PCD周长最小.
要使△PCD周长最小,即PC+PD+CD值最小,根据两点之间线段最短,将三条线段转化到同一直线上即可,则△PCD周长最小为线段的长.
类型2两定点与两条直线上两动点问题
点P、Q在∠AOB的内部,在OB上找点D,在OA上找点C,使得四边形PQDC周长最小.
将问题转化为类型1即可,PC+CD+DQ的最小值为线段P’Q’长,则四边形PQDC的周长的最小值为P’Q’+PQ的值.
1.如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°
,∠B=∠D=90°
,在BC,CD上分别找一点M,N使△AMN的周长最小,则∠AMN+∠ANM的度数为________.
2.如图,在直角坐标系中,已知A(-3,-1),B(-1,-3),若D是x轴上一动点,C是y轴上的一个动点,则四边形ABCD的周长的最小值是________.
模块四“小虫爬行问题”
例6-1-2
(1)如图6-1-6①,已知长方体的长为AC=2cm,宽BC=1cm,高AA′=4cm,一只蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点的最短路径是多少?
【规律】“小小相加凑一边时路径最短.”
(2)如图6-1-6②,圆柱形杯高为12cm、底面
周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴
蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm
与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离
为多少cm?
【规律】“一点内一点外要用轴对称.”
练习:
1.
(1)如图6-1-7①,长方体的长宽高分别为15、10、20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B,最短距离是()
A.5
B.25C.10
+5D.35
(2)6-1-7②,底面半径为3cm的圆锥的主视图是个正三角形,C是母线OB的中点,则从圆锥表面从A到C的最短距离等于cm.
(3)6-1-7③,圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,爬行的最短路程(π取3)是()cm.
A.20B.10C.14D.无法确定
(4)如图6-1-7④,ABCDEFGH是个无上底长方体容器,M在容器内侧,位于侧棱BF上,已知AB=5,BF=9,FM=3,则从外部的点A到内部的点M的最短距离等于.
2.如图6-1-8,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,A和B是这个台阶两相对的端点,A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物,则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm?
图6-1-8
模块五折叠最值
【规律】折叠背景下的最值问题,考查的是动手操作能力、合情推理能力.方法是:
(1)在折叠中感受大小变化规律,
(2)通过特殊位置求最值.
1、如图6-1-9,折叠矩形纸片ABCD,使B点落在AD上一点E处,折痕的两端点M、N分别在AB、BC上(含端点),且AB=6,BC=10,设AE=x,则x的取值范围是.
图6-1-9
【规律】A、E重合时x最小为0,折痕的两端点在AB、CD上,不合题意,向下移动N到C时,得x的最小值,继续沿BC向B移动N,使M上移至A时,得到满足条件的x最大值;
2.动手操作:
在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5,如图6-1-11,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P、QP、Q分别在AB、AD边上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离为.
模块六圆中最长弦是直径
解法归一:
求对角是直角的双直角四边形中对角线的最小值、或圆中线段最小值时常用它.
1、如图6-3-1,等腰直角△ABC斜边长为4,D为是斜边AB的中点,直角∠FDE分别交AC、BC于F、E,则线段EF的最小值是_________________.
2.如图6-3-2,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且
∠ACB=30°
,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交点
G、H两点,若⊙O的半径为6,则GE+FH的最大值为____________.
模块七、求两正数和的最小值[9]
解法:
①由(a-b)2≥0得a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时成立;
②对任意正数m,n可设m=a2、n=b2(a、b为正数),则有m+n=a2+b2≥2ab=2
即m+n≥2
,当且仅当m=n时等号成立.
这是高中两个最重要的不等式.求两个正数和的最小值时就用它,并且只有这两个正数相等时和才取最小值.
1、阅读理解:
对任意实数a,b,
∵(
-
)2≥0,∴a-2
+b≥0,∴a+b≥2
,只有当a=b时,等号成立.
根据上述内容,回答下列问题:
⑴若m>0,只有m=____时m+
有最小值______________;
⑵若n>0,只有n=_____时n+
有最小值_____________;
⑶若x>0,只有x=______时,8x2+
有最小值___________________;
2、如图6-4-1,AB为半圆O的直径,C为半圆上与点A、B不重合的任意一点,过点C作CD⊥AB,垂足为D,AD=a,DB=b.请用本题图验证a+b≥2
并指出等号成立时的条件.
3、如图6-4-2,已知A(-3,0),B(0,-4),P为双曲线y=
(x>0)上任意一点,过点P作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D,求四边形ABCD的面积的最小值,并说明此时四边形ABCD的形状.
4、公式:
对于任意正数a、b,总有a+b≥2
,并且只有当a=b时,等号成立.
直接应用或变形应用
⑴已经y1=x(x>0),y2=
(x>0),则当x=____________时,y1+y2取得最小值___________.
⑵已知函数y=x+
(a>0,x>0),当x=______________时,该函数有最小值_____________.
⑶已知函数y1=x+1与函数y2=(x+1)2+4,当x>-1时,求
的最小值,并指出相应的x的值.
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分:
一是固定费用,共360元;
二是燃油费费,每千米为1.6元;
三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设汽车一次运输的路程为x千米,求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低?
最低是多少元?
模块八二次函数最值
“二次整数ax2+bx+c最值”完全可以借助二次函数y=ax2+bx+c最值解决,解决方案有三:
一用配方法,二用顶点公式,三图象法.(注:
a,b,c为常数,且a≠0)
1、⑴x2-2x+6的最小值是_______________________;
⑵二次函数y=-x2+6x的最大值是______________________.
2、如图6-6-1,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上任意一点(P不与B、C重合),过点P作AP⊥PE交CD于点E.设BP为x,CE为y,当x取何值时,y的值最大?
最大值是多少?
3、如图6-6-2,已知抛物线y=ax2+bx+4经过点B(1,0),C(5,0),交纵轴于点A,对称轴l与x轴相交于点M.
⑴请直接写出抛物线的解析式,对称轴及点A的坐标;
⑵在此抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?
若存在,请求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?
若存在,请求出点N的坐标;
若不存在,请说明理由.
4、如图6-6-3,把一张边长为4的正方形ABCD折叠,使B点落在AD上的E处,折痕为MN,设AE=x,问x为何值时,折起的四边形MNFE面积最小,并求出这个最小面积的值.
模块九几何探究最值类[8]
1、请阅读下列材料:
如图6-7-1①,圆柱的高AB和它的底面半径均为5dm,BC是底面直径,求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.
小明设计了两条路线:
路线1:
走圆柱表面最短路线(即图6-7-1②侧面展开图中的线段AC).
路线2:
走圆柱高线与度面直径(即图6-7-1①中的AB+BC的长)
设路线1的长度为l1,设路线2的长度为l2,则l12=AC2=AB2+
l22=(AB+BC)2,将AB=5,BC=10,半圆弧
长5π代入上面的式子得(请你帮小明完成下面的计算):
l12=AC2=;
l22=(AB+BC)2=;
l12-l22=.
∴l12>
l22∴l1>
l2∴选择路线2较短.
(1)小明对上述问题结论有些疑惑,于是他把条件改成:
“圆柱的底面半径为1dm,高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算(请你帮小明完成下面的计算):
路线1:
∵l12l22,∴l1l2(填>
或<
),所以选择路线(填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:
在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
2、在河岸l同侧有A、B两个村庄,A、B到l的距离分别是3km和2km,AB=akm(a>
1)现计划在河岸上建一抽水站P向两个村庄供水.
方案设计:
某班数学兴趣小组设计了两种管道铺设方案:
图6-7-2①是方案一的示意图,设该方案中管道长度为d,且d1=PB+BA(km)(其中PB⊥l于P点);
图6-7-2②是方案二的示意图,设该方案中管道长度为d2,且d2=PA+PB(km)(其中点A′与点A关于l对称,A′B与l交于点P).
观察与计算
(1)在方案一中,
d1=km(用含a的式子表示);
(2)在方案二中,组长小宇为了计算d2的长,作了如图6-7-2③的辅助线,请你按小宇同学的思路计算,d2=km(用含a的式子表示).
探索归纳:
(1)①当a=4时,比较大小:
d1d2(填“>
”或“=”或“<
”);
②当a=6时比较大小:
(2)请你就a(当a>
1时)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,应选择方案一还是方案二?
3、
(1)如图6-7-3①,把矩形AA′B′B卷成以AB为高的圆柱形,则点A与重合,点B与重合.
探究与发现
(2)如图6-7-3②所示,若圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰,则这条丝线的最小长度是cm;
(丝线的粗细忽略不计)
(3)若用丝线从图6-7-3②圆柱底部A处沿侧面缠绕4圈直到顶部B处(如图6-7-3③所示),则至少需要多长丝线?
创新与应用:
(4)如图6-7-3④,现有一圆柱形的玻璃杯,准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带,为使带子的两端沿AE、CF方向进行裁剪,如图6-7-3⑤,若带子宽度为1.5厘米,杯子的半径为6厘米,裁剪角为α,则sinα=.
4、如图6-7-4①是一个三棱柱包装盒,它的底面是边长为10cm的正三角形,三个侧面都是矩形.现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD(如图6-7-4②),然后用这条平行四边形纸带按如图6-7-4③的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴(要求包贴时没有重合部分),纸带在侧面缠绕三圈,正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.
(1)请计算图6-7-4②中裁剪的角度∠BAD;
(2)计算按图6-7-4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.
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