小学数学奥数四升五Word文件下载.docx
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17×
19=323----“十几乘十几”速算包括了十位是1(即11~19)的平方,如11×
11=121----“十几平方”
速算2)首位皆二者,一数加上另数尾,廿倍加上尾数积。
25×
29=725----“二十几乘二十几”
速算3)首位皆五者,廿五接着尾数积,百位再加尾数之和半。
57×
57=3249----“五十几乘五十几”
速算4)首位皆九者,八十加上两尾数,尾补之积后面接。
95×
99=9405----“九十几乘九十几”
速算5)首位是四平方者,十五加上尾,尾补平方后面接。
46×
46=2116----“四十几平方”
速算6)首位是五平方者,廿五加上尾,尾数平方后面接。
51=2601----“五十几平方”
6、互补乘以叠数者,首位加一乘以叠数头,尾数之积后面接。
37×
99=36637、末位是五平方者,首位加一乘以首,尾数之积后面接。
如65×
65=4225----“几十五平方”
8、某数乘以一一者,首尾拉开,首尾之和中间站。
如34×
11=33+44=3749、某数乘以十五者,原数加上原数的一半后后面加个0(原数是偶数)或小数点往后移一位。
如151×
15=2265,246×
15=3690
10、一百零几乘一百零几,一数加上另数尾,尾数之积后面接。
如108×
107=11556
11、俩数差2者,俩数平均数平方再减去一。
如49x51=50x50-1=2499
12、几位数乘以几位九者,这个数减去(位数前几位的数+1)的差作积的前几位,末位与个位补足几个0。
1)一个数乘9:
这个数减去(个位前几位的数+1)的差作积的前几位,末位与个位补足104×
9=36想:
个位前是0,4-(0+1)=3,末位是10-4=6合起来是36783×
9=7047想个位前是78,783-(78+1)=704,末位是10-3=7合起来是7047
2)一个数乘99:
这个数减去(十位前几位的数+1),末两位凑100:
14×
99=14-(0+1)=13,100-14=861386158×
99=158-(1+1)=156,100-58=42156427357×
99=7357-(73+1)=7283100-57=43728343
3)一个数乘999:
可以依照上面的方法进行推理:
这个数减去(百位前几位的数+1),末三位凑100011234×
999=11234-(11+1)=11222,末三位是1000-234=766,11222766
计算是数学的基础,小学生要学好数学,必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧,也是一种思维训练,既能提高计算效率、节省计算时间,更可以锻炼记忆力,提高分析、判断能力,促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法,本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1四年级一班第一小组有10名同学,某次数学测验的成绩(分数)如下:
86,78,77,83,91,74,92,69,84,75。
求这10名同学的总分。
分析与解:
通常的做法是将这10个数直接相加,但这些数杂乱无章,直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现,这些数虽然大小不等,但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”,比如以“80”作基准,这10个数与80的差如下:
6,-2,-3,3,11,-6,12,-11,4,-5,其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到
总和=80×
10+(6-2-3+3+11-
=800+9=809。
实际计算时只需口算,将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见,将这一过程表示如下:
通过口算,得到差数累加为9,再加上80×
10,就可口算出结果为809。
例1所用的方法叫做加法的基准数法。
这种方法适用于加数较多,而且所有的加数相差不大的情况。
作为“基准”的数(如例1的80)叫做基准数,各数与基准数的差的和叫做累计差。
由例1得到:
总和数=基准数×
加数的个数+累计差,
平均数=基准数+累计差÷
加数的个数。
在使用基准数法时,应选取与各数的差较小的数作为基准数,这样才容易计算累计差。
同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来,所以基准数应尽量选取整十、整百的数。
例2某农场有10块麦田,每块的产量如下(单位:
千克):
462,480,443,420,473,429,468,439,475,461。
求平均每块麦田的产量。
解:
选基准数为450,则
累计差=12+30-7-30+23-21+18-11+25+11
=50,
平均每块产量=450+50÷
10=455(千克)。
答:
平均每块麦田的产量为455千克。
求一位数的平方,在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知,如7×
7=49(七七四十九)。
对于两位数的平方,大多数同学只是背熟了10~20的平方,而21~99的平方就不大熟悉了。
有没有什么窍门,能够迅速算出两位数的平方呢?
这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。
所谓凑整补零法,就是用所求数与最接近的整十数的差,通过移多补少,将所求数转化成一个整十数乘以另一数,再加上零头的平方数。
下面通过例题来说明这一方法。
例3求292和822的值。
292=29×
29
=(29+1)×
(29-1)+12
=30×
28+1
=840+1
=841。
822=82×
82
=(82-2)×
(82+2)+22
=80×
84+4
=6720+4
=6724。
由上例看出,因为29比30少1,所以给29“补”1,这叫“补少”;
因为82比80多2,所以从82中“移走”2,这叫“移多”。
因为是两个相同数相乘,所以对其中一个数“移多补少”后,还需要在另一个数上“找齐”。
本例中,给一个29补1,就要给另一个29减1;
给一个82减了2,就要给另一个82加上2。
最后,还要加上“移多补少”的数的平方。
由凑整补零法计算352,得
35×
35=40×
30+52=1225。
这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。
这种方法不仅适用于求两位数的平方值,也适用于求三位数或更多位数的平方值。
例4求9932和20042的值。
9932=993×
993
=(993+7)×
(993-7)+72
=1000×
986+49
=986000+49
=986049。
20042=2004×
2004
=(2004-4)×
(2004+4)+42
=2000×
2008+16
=4016000+16
=4016016。
下面,我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。
请看下面的算式:
66×
46,73×
88,19×
44。
这几道算式具有一个共同特点,两个因数都是两位数,一个因数的十位数与个位数相同,另一因数的十位数与个位数之和为10。
这类算式有非常简便的速算方法。
例588×
64=?
由乘法分配律和结合律,得到
88×
64
=(80+8)×
(60+4)
60+(80+8)×
4
60+8×
60+80×
4+8×
6+80×
(60+6+4)+8×
(60+10)+8×
=8×
(6+1)×
100+8×
4。
于是,我们得到下面的速算式:
由上式看出,积的末两位数是两个因数的个位数之积,本例为8×
4;
积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积,本例为8×
(6+1)。
例677×
91=?
由例3的解法得到
由上式看出,当两个因数的个位数之积是一位数时,应在十位上补一个0,本例为7×
1=07。
用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。
练习1
1.求下面10个数的总和:
165,152,168,171,148,156,169,161,157,149。
2.农业科研小组测定麦苗的生长情况,量出12株麦苗的高度分别为(单位:
厘米):
26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,25。
求这批麦苗的平均高度。
3.某车间有9个工人加工零件,他们加工零件的个数分别为:
68,91,84,75,78,81,83,72,79。
他们共加工了多少个零件?
4.计算:
13+16+10+11+17+12+15+12+16+13+12。
5.计算下列各题:
(1)372;
(2)532;
(3)912;
(4)682:
(5)1082;
(6)3972。
6.计算下列各题:
(1)77×
28;
(2)66×
55;
(3)33×
19;
(4)82×
44;
(5)37×
33;
(6)46×
99。
练习1答案
1.1596。
2.26厘米。
3.711个。
4.147。
5.
(1)1369;
(2)2809;
(3)8281;
(4)4624;
(5)11664;
(6)157609。
6.
(1)2156;
(2)3630;
(3)627;
(4)3608;
(5)1221;
(6)4554。
第2讲速算与巧算
(二)
上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法,这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。
两个数之和等于10,则称这两个数互补。
在整数乘法运算中,常会遇到像72×
78,26×
86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补,或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。
72×
78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补,这类式子我们称为“头相同、尾互补”型;
26×
86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同,这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。
计算这两类题目,有非常简捷的速算方法,分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。
例1
(1)76×
74=?
(2)31×
39=?
分析与解:
本例两题都是“头相同、尾互补”类型。
(1)由乘法分配律和结合律,得到
76×
74
=(70+6)×
(70+4)
70+(70+6)×
4=70×
70+6×
70+70×
4+6×
=70×
(70+6+4)+6×
(70+10)+6×
=7×
(7+1)×
100+6×
于是,我们得到下面的速算式:
(2)与
(1)类似可得到下面的速算式:
由例1看出,在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如1×
9=09),积中从百位起前面的数是被乘数(或乘数)的十位数与十位数加1的乘积。
“同补”速算法简单地说就是:
积的末两位是“尾×
尾”,前面是“头×
(头+1)”。
我们在三年级时学到的15×
15,25×
25,…,95×
95的速算,实际上就是“同补”速算法。
例2
(1)78×
38=?
(2)43×
63=?
本例两题都是“头互补、尾相同”类型。
(1)由乘法分配律和结合律,得到
78×
38
=(70+8)×
(30+8)
30+(70+8)×
8
30+8×
30+70×
8+8×
30+8×
(30+70)+8×
3×
100+8×
=(7×
3+8)×
8。
(2)与
(1)类似可得到下面的速算式:
由例2看出,在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如3×
3=09),积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数(或乘数)的个位数。
“补同”速算法简单地说就是:
积的末两位数是“尾×
头+尾”。
例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。
当被乘数和乘数多于两位时,情况会发生什么变化呢?
我们先将互补的概念推广一下。
当两个数的和是10,100,1000,…时,这两个数互为补数,简称互补。
如43与57互补,99与1互补,555与445互补。
在一个乘法算式中,当被乘数与乘数前面的几位数相同,后面的几位数互补时,这个算式就是“同补”型,即“头相同,尾互补”型。
例如
,因为被乘数与乘数的前两位数相同,都是70,后两位数互补,77+23=100,所以是“同补”型。
又如
,
等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补,后面的几位数相同时,这个乘法算式就是“补同”型,即“头互补,尾相同”型。
例如,
等都是“补同”型。
在计算多位数的“同补”型乘法时,例1的方法仍然适用。
例3
(1)702×
708=?
(2)1708×
1792=?
(1)
(2)
计算多位数的“同补”型乘法时,将“头×
(头+1)”作为乘积的前几位,将两个互补数之积作为乘积的后几位。
注意:
互补数如果是n位数,则应占乘积的后2n位,不足的位补“0”。
在计算多位数的“补同”型乘法时,如果“补”与“同”,即“头”与“尾”的位数相同,那么例2的方法仍然适用(见例4);
如果“补”与“同”的位数不相同,那么例2的方法不再适用,因为没有简捷实用的方法,所以就不再讨论了。
例42865×
7265=?
练习2
计算下列各题:
1.68×
62;
2.93×
97;
3.27×
87;
4.79×
39;
5.42×
6.603×
607;
7.693×
8.4085×
6085。
第3讲高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:
1+2+3+4+…+99+100=?
老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢?
原来小高斯通过细心观察发现:
1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。
1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。
于是,小高斯把这道题巧算为
(1+100)×
100÷
2=5050。
小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。
例如:
(1)1,2,3,4,5,…,100;
(2)1,3,5,7,9,…,99;
(3)8,15,22,29,36,…,71。
其中
(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;
(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;
(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:
和=(首项+末项)×
项数÷
2。
例11+2+3+…+1999=?
这串加数1,2,3,…,1999是等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
原式=(1+1999)×
1999÷
2=1999000。
注意:
利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例211+12+13+…+31=?
这串加数11,12,13,…,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。
原式=(11+31)×
21÷
2=441。
在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系,可以得到
项数=(末项-首项)÷
公差+1,
末项=首项+公差×
(项数-1)。
例33+7+11+…+99=?
3,7,11,…,99是公差为4的等差数列,
项数=(99-3)÷
4+1=25,
原式=(3+99)×
25÷
2=1275。
例4求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
末项=25+3×
(40-1)=142,
和=(25+142)×
40÷
2=3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。
问:
(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?
(2)整个图形由多少根火柴棍摆成?
分析:
最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表:
由上表看出,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列。
(1)最大三角形面积为
(1+3+5+…+15)×
12
=[(1+15)×
8÷
2]×
=768(厘米2)。
2)火柴棍的数目为
3+6+9+…+24
=(3+24)×
2=108(根)。
答:
最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。
例6盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;
第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球?
一只球变成3只球,实际上多了2只球。
第一次多了2只球,第二次多了2×
2只球……第十次多了2×
10只球。
因此拿了十次后,多了
2×
1+2×
2+…+2×
10
=2×
(1+2+…+10)
55=110(只)。
加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。
综合列式为:
(3-1)×
(1+2+…+10)+3
[(1+10)×
10÷
2]+3=113(只)。
练习3
1.计算下列各题:
(1)2+4+6+…+200;
(2)17+19+21+…+39;
(3)5+8+11+14+…+50;
(4)3+10+17+24+…+101。
2.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下。
时钟一昼夜敲打多少次?
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中,十位数比个位数大的数共有多少个?
第四讲
我们在三年级已经学习了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将讨论整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质:
性质1如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除。
例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除。
性质2如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如,21与15都能被3整除,那么21+15及21-15都能被3整除。
性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×
7=63整除。
利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来:
(1)一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除。
(2)一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除。
(3)一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除。
(4)一个数的末两位数如果能被4(或25)整除,那么这个数就能被4(或25)整除。
(5)一个数的末三位数如果能被8(或125)整除,那么这个数就能被8(或125)整除。
(6)一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除。
其中
(1)
(2)(3)是三年级学过的内容,(4)(5)(6)是本讲要学习的内容。
因为100能被4(或25)整除,所以由整除的性质1知,整百的数都能被4(或25)整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和,所以由整除的性质2知,只要这个数的后两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。
这就证明了(4)。
类似地可以证明(5)。
(6)的正确性,我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
837=800+30+7
=8×
100+3×
10+7
(99+1)+3×
(9+1)+7
99+8+3×
9+3+7
=(8×
99+3×
9)+(8+3+7)。
因为99和9都能被9整除,所以根据整除的性质1和性质2知,(8x99+3x9)能被9整除。
再根据整除的性质2,由(8+3+7)能被9整除,就能判断837能被9整除。
利用(4)(5)(6)还可以求出一个数除以4,8,9的余数:
(4‘)一个数除以4的余数,与它的末两位除以4的余数相同。
(5')一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同。
(6')一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同。
例1在下面的数中,哪些能被4整除?
哪些能被8整除?
哪些能被9整除?
234,789,7756,8865,3728.8064。
能被4整除的数有7756,3728,8064;
能被8整除的数有3728,8064;
能被9整除的数有234,8865,8064。
例2在四位数56□2中,被盖住的十位数分
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