一级注册结构工程师文档格式.docx
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为两个相等实根时(r1
r2r),方程的通解为
y(C1
C2x)erx;
(3)
为一对共轭复根
i时,方程的通解为y
ex(C1cos
xC2sinx);
2、二阶常系数齐次线性微分方程
设y
y*(x)是非齐次线方程
ypyqyf(x),其中p、q为常数
的一个特解,y
y(x)是对应的齐次方程y
pyqy0的通解,则该二阶线性非齐次
微分方程的通解为
y(x)y*(x)。
(1)当
f
(
x
)
()
x时,可设特解形式为
Pmxe
y*(x)xkQm(x)ex
其中k为
作为特征根的重数(当
不是特征根时,k取0;
当
是特征单根时,k取
1;
当是特征重根时,k取2);
当k、
确定后,将特解y*(x)
xkQm(x)ex代入原二阶
线性非齐次微分方程即可求得Qm(x)。
(2)当f(x)pl(x)cosxpn(x)sinx时,可设特解形式为
y*(x)xk[Qm(x)cosxRm(x)sinx]
其中pl(x)、pn(x)为别为l、n次多项式;
k为复数i作为特征根的重数(当不是
特征根时,k取0;
当是特征单根时,k取1;
当是特征重根时,k取2);
mmax{l,n}
当k、确定后,将特解y*(x)xk[Qm(x)cosxRm(x)sinx]代入原二阶线性非齐次微
分方程即可求得Qm(x)和Qm(x)。
-2-
概率论与数理统计复习资料
一、随机事件概率的计算公式
1、求逆公式:
PA1PA
2、加法公式:
PAB
PA
PBPAB
当A与B不相容时,PAB
0,PA
BPA
PB
3、减法公式:
PBA
PAB;
当AB时,PA
PB,PBAPBPA
当B
时,PB
1,PA1PA
4、条件概率:
设A、B是两个事件,且PA
PAB
0,则称
为事件A发生条
件下,事件B发生的条件概率,记为PB/A
。
5、乘法公式:
PAB
PAPB/A。
更一般地,对事件A1,A2,⋯An,若
PA1A2......An10,则有P
A1A2......An1
PA1P
A2/A1......PAn/A1A2......An1
6、事件的独立性:
事件A、B满足PABPAPB,则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且PA
0,则有
PB/A
PAPB
7、全概率事件:
设A、B、C是三个事件,如果满足两两独立的条件,PABPAPB、
PBC
PBPC、PAC
PAPC并且同时满足
PABC
PAPBPC那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
8、贝叶斯公式:
设事件B1、B2⋯、Bn及A满足
(1)B1、B2⋯、Bn两两互不相容,且PBi0,i=1,2,⋯,n;
n
(2)ABi,PA0
i1
则
P(Bi/A)n
P(Bi)P(A/Bi)
,i=1,2,⋯n。
P(Bj)P(A/Bj)
j
1
此公式即为贝叶斯公式。
PBi(i=1,2,⋯n),通常叫先验概率。
P(Bi/A),(i=1,2,⋯n),通常称
为后验概率。
贝叶斯公式反映“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
9、伯努利概型:
我们作了n次试验:
每次试验只有两种可能结果,
A发生或A不发生n
次试验是重复进行的,即
A发生的概率每次均一样;
每次试验是独立的,即每次试验A
发生与否与其他次试验
A发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1p
q,用pn
k表示n重
伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率,即
pn(k)Cnkpkqnk
k1、2、3......n
10、排列组合公式:
从n个人中挑选出m个人进行排列:
Anm
n!
(nm)!
从n个人中挑选出m个人进行组合:
Cnm
m!
二、随机变量及其分布
1、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,⋯),X取各个值时事件(X=Xk)的概率
为P(X=X
k)=pk,
k=1,2,
⋯则称上式为离散型随机变量
X
的分布律。
分布律应满足如下条件:
(1)Pk0,k=1,2,⋯
(2)pk1
k1
2、连续型随机变量的分布密度
设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数f(x),对任意实数x,有
F(x)f(x)dx,则称X为连续型随机变量。
f(x)称为随机变量X的概率密度函数,简
称概率密度。
概率密度函数应满足如下条件:
(1)f(x)0,
f(x)dx
3、离散与连续型随机变量的关系
P(X
x)
P(xX
xdx)f(x)dx
积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与
P(Xxk)pk在离散型随机
变量理论中所起的作用相类似。
4、分布函数
设X为随机变量,x是任意实数,则函数
F(x)P(Xx)
称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。
P(aXb)F(b)F(a)可以得到X落入区间(a,b]的概率。
分布函数F(x)表示
随机变量落入区间(,x]内的概率。
分布函数具有如下性质:
(1)0F(x)1,x;
(2)F(x)是单调不减的函数,即x1x2时,有F(x1)F(x2);
(3)F()limF(x)0,F()limF(x)1;
xx
(4)F(x0)F(x),即F(x)是右连续的;
(5)P(Xx)F(x)F(x0)。
-3-
对于离散型随机变量,F(x)
pk;
xk
对于连续型随机变量,F(x)
f(x)dx。
5、随机变量的数字特征
(1)期望
设X是离散型随机变量,其分布律为
P(X=X
⋯,则
的期望
E
为
E(X)
xkpk(要求绝对收敛)。
函数Y=g(x)的期望E(Y)
g(xk)pk
k
设X是连续型随机变量,其概率密度为f(x),则X的期望E为E(X)
xf(x)dx(要
求绝对收敛)。
g(x)f(x)dx。
期望的性质:
1)E(C)C
2)E(aX)aE(X)
nn
3)E(XY)E(X)E(Y),E(aiXi)aiE(Xi)
i1i1
4)E(XY)E(X)E(Y),充分条件:
X和Y独立;
充要条件:
X和Y不相关。
(2)方差
方差的计算公式,D(X)E[XE(X)]2
对于离散型随机变量X,方差D(X)[xkE(X)]2pk;
对于连续型随机变量X,方差D(X)[xE(X)]2f(x)dx;
方差的性质:
1)D(a)0
2)D(aX)a2D(X)
3)D(aXb)a2D(X)
-4-
4)D(X)E(X2)E2(X)
5)D(XY)D(X)D(Y)2E[(XE(X))(YE(Y))]
6)D(XY)D(X)D(Y),充分条件:
(3)原点矩与中心矩
1)对离散型随机变量,称随机变量X的k(k为正整数)次幂的数学期望为X的k阶
原点矩,记为k,即
kE(Xk)xikpk,k=1,2,⋯
i
称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩,记为k,即
kE[XE(X)]k[XE(X)]kpi,k=1,2,⋯
2)对连续型随机变量,称随机变量X的k(k为正整数)次幂的数学期望为X的k阶
原点矩,记为
k,即
E(Xk)
xkf(x)dx,k=1,2,⋯
称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩,记为
k,即
kE[X
E(X)]k
[xE(X)]k
f(x)dx,k=1,2,⋯
(4)随机变量的分布
分布
一维随机变量的分布
期望
方差
0~1
P(X=1)=p,P(X=0)=q
p(1-p)
-5-
二项
泊松
在n重贝努里试验中,事件
A发生的概率为p,事件A
发生的次数为随机变量X,则X可能取值为0,1,2⋯⋯。
若X=k发生的概率为
P(Xk)Pn(k)
Cnkpkqnk
其中q=1-p,0<
p<
1,k=0、1、2⋯⋯、n
则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为X~
B(n,p)。
当n1时,P(Xk)pkq1
k,k=0或1,这就是(0~1)
分布,所以(0~1)分布是二项分布的特例。
若随机变量X的分布律为
P(Xk)e,
0,k=0、1、2⋯⋯
k!
则称随机变量X服从参数为
的泊松分布,记为
~πλ
或者P(λ)。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。
npnp(1-p)
λλ
超几
kn
P(Xk)
CMCNM,k
0,1,2
l
nM
何分
CNn
l
min(M,n)
左表
N
则称随机变量
X服从参数为
n,N,M的超几何分布,记为
布
H(n,N,M)。
均匀分布的方差为nM
M
n。
-6-
几何
均匀
P(Xk)qk
1p,k=1、2、3⋯,其中p
0,q1p。
则称随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。
若随机变量X的值只落在[a,b]内,其密度函数f(x)在
[a,b]上为常数
,即
ba
,a<
X<
b
f(x)ba
1,其他
则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,
b)。
随机变量X分布函数为
X<
a
,
a
,a≤X≤b
F(x)f(x)dx
b
X>
当a≤x1≤x2≤b时,X落在区间(x1,x2)内的概率为
x2x1
P(x1Xx2)
1p
p2
ab(ba)2
212
若随机变量X的概率密度为
ex
,X≥0
f(x)
,X<
指数
其中λ>
0,则称随机变量X服从参数为λ的指数分布。
2
随机变量X的分布函数为
1ex,X≥0
f(x)
1,X<
0
记住积分公式:
xnexdxn!
-7-
正态
若随机变量X的概率密度函数为
(x
)2
e2
其中μ,σ>
0为常数,则称随机变量X服从参数为μ、σ
的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X~N(μ、σ)。
正态分布的概率密度函数f(x)具有如下性质:
1)f(x)的图形是关于x=μ对称的;
2)当x=μ时,f()
为最大值;
若X~N(μ、σ),则X的分布函数为
(t
F(x)
dt
参数μ=0、σ=1时的正态分布称为标准正态分布,记为
X~N(0、1),其密度函数记为
x2
(x)
2,
e
若X~N(0、1),则X的分布函数为
t2
(x)
e2dt。
Φ(x)是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。
Φ(-x)=1-Φ(x)且Φ(0)=1。
如果X~N(μ、σ),则X
N(0,1),有
x1
-8-
分布函数的分布期望方差
设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立,且服从标
准正态分布,可以证明它们的平方和
WXi2
i1
的分布密度为
u
u2
f(u)
22
0,
u0,u0.
我们称随机变量W服从自由度为n的
2分布,记为
2分
W~
2(n),其中
2n
xdx.
x2e
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机
变量分布中的一个重要参数。
2分布满足可加性:
设
Yi2(ni)
2(n1n2
Z
Yi~
nk)
9
设X,Y是两个相互独立的随机变量,且
X~N(0,1),Y~
2(n)
可以证明函数
T
Y/n
的概率密度为
t分布
(n2)
n1
t
(t).
f(t)
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为T~
t(n)。
t1(n)
(n)
设X~
2(n1),Y~
2(n2),且X与Y独立,可以证
明F
X/n1
的概率密度函数为
Y/n2
n1
n2
n11
y0
f(y)
F分布
0,y
我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个
自由度为n2的F分布,记为F~f(n1,n2)。
F1(n1,n2)
F(n2,n1)
三、样本及统计
1、数理统计的基本概念
10
(1)总体
在数理统计中,常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全体称为(总体或母体)。
我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量(或随机向量)。
(2)个体
总体中的每一个单元称为样品(或个体)。
(3)样本
我们把从总体中抽取的部分样品x1、x2⋯xn称为样本。
样本中所含的样品数称为样
本容量,一般用n表示。
在一般情况下,总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有
相同分布的随机变量,这样的样本称为简单随机样本。
在泛指任一次抽取的结果时,x1、
x2⋯xn表示n个随机变量(样本);
在具体的一次抽取之后,x1、x2⋯xn表示n个具体的数
值(样本值)
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