高中数列知识点、解题方法和题型大全.doc
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高中数列知识点、解题方法和题型大全
一高中数列知识点总结
1.等差数列的定义与性质 2
2.等比数列的定义与性质 3
二解题方法 4
1求数列通项公式的常用方法 4
(1)求差(商)法 4
(2)叠乘法 4
(3)等差型递推公式 4
(4)等比型递推公式 5
(5)倒数法 5
2求数列前n项和的常用方法 6
(1)裂项法 6
(2)错位相减法 6
(3)倒序相加法 7
三方法总结及题型大全 9
一高中数列知识点总结
1.等差数列的定义与性质
定义:
(为常数),
等差中项:
成等差数列
前项和
性质:
是等差数列
(1)若,则
(2)数列仍为等差数列,仍为等差数列,公差为;
(3)若三个成等差数列,可设为
(4)若是等差数列,且前项和分别为,则
(5)为等差数列(为常数,是关于的常数项为0的二次函数)
的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界项,
即:
当,解不等式组可得达到最大值时的值.
当,由可得达到最小值时的值.
(6)项数为偶数的等差数列,有
,.
(7)项数为奇数的等差数列,有
,
,.
2.等比数列的定义与性质
定义:
(为常数,),.
等比中项:
成等比数列,或.
前项和:
(要注意!
)
性质:
是等比数列
(1)若,则
(2)仍为等比数列,公比为.
注意:
由求时应注意什么?
时,;
时,.
二解题方法
1求数列通项公式的常用方法
(1)求差(商)法
如:
数列,,求
解时,,∴ ①
时, ②
①—②得:
,∴,∴
[练习]数列满足,求
注意到,代入得;又,∴是等比数列,
时,
(2)叠乘法
如:
数列中,,求
解,∴又,∴.
(3)等差型递推公式
由,求,用迭加法
时,两边相加得
∴
[练习]数列中,,求()
(4)等比型递推公式
(为常数,)
可转化为等比数列,设
令,∴,∴是首项为为公比的等比数列
∴,∴
(5)倒数法
如:
,求
由已知得:
,∴
∴为等差数列,,公差为,∴,
∴
(附:
公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)
2求数列前n项和的常用方法
(1)裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.
如:
是公差为的等差数列,求
解:
由
∴
[练习]求和:
(2)错位相减法
若为等差数列,为等比数列,求数列(差比数列)前项和,可由,求,其中为的公比.
如:
①
②
①—②
时,,时,
(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
相加
[练习]已知,则
由
∴原式
(附:
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:
等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项:
首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
即若在数列{an·bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下,可把这个式子变成an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出an,从而求出Sn。
f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前n项和。
)
三方法总结及题型大全
方法技巧
数列求和的常用方法
一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
4、
例1(07高考山东文18)设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和.已知,且构成等差数列.
(1)求数列的等差数列.
(2)令求数列的前项和.
解:
(1)由已知得解得.
设数列的公比为,由,可得.
又,可知,即,
解得.由题意得.
.故数列的通项为.
(2)由于由
(1)得
,又
是等差数列.
故.
练习:
设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.
解:
由等差数列求和公式得,(利用常用公式)
∴=
==
∴当,即n=8时,
二、错位相减法
设数列的等比数列,数列是等差数列,则数列的前项和求解,均可用错位相减法。
例2(07高考天津理21)在数列中,,其中.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅰ)解:
由,,
可得,
所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列的通项公式为.
(Ⅱ)解:
设, ①
②
当时,①式减去②式,
得,
.
这时数列的前项和.
当时,.这时数列的前项和.
例3(07高考全国Ⅱ文21)设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,
(Ⅰ)求,的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
解:
(Ⅰ)设的公差为,的公比为,则依题意有且
解得,.
所以,
.
(Ⅱ).
,①
,②
②-①得,
.
三、逆序相加法
把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)
例4(07豫南五市二联理22.)设函数的图象上有两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),若,且点P的横坐标为.
(I)求证:
P点的纵坐标为定值,并求出这个定值;
(II)若
(III)略
(I)∵,且点P的横坐标为.
∴P是的中点,且
由(I)知,
,
(1)+
(2)得:
四、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:
(1)
(2)
(3)等。
例5求数列的前n项和.
解:
设(裂项)
则(裂项求和)
=
=
例6(06高考湖北卷理17)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;
解:
(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得
a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.
又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5()
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,
故Tn===(1-).
因此,要使(1-)<()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.
评析:
一般地,若数列为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,则求和:
首先考虑则=。
下列求和:
也可用裂项求和法。
五、分组求和法
所谓分组法求和就是:
对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。
例7数列{an}的前n项和,数列{bn}满.
(Ⅰ)证明数列{an}为等比数列;(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn。
解析:
(Ⅰ)由,
两式相减得:
,
同定义知是首项为1,公比为2的等比数列.
(Ⅱ)
等式左、右两边分别相加得:
=
例8求()
解:
⑴ 当为偶数时,
;
⑵ 当为奇数时,
综上所述,.
点评:
分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.
六、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.
例9求之和.
解:
由于(找通项及特征)
∴
=(分组求和)
=
=
=
例10已知数列{an}:
的值.
解:
∵(找通项及特征)
=(设制分组)
=(裂项)
∴(分组、裂项求和)
=
=
类型1
解法:
把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例:
已知数列满足,,求。
解:
由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即
所以
,
类型2
解法:
把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:
已知数列满足,,求。
解:
由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即
又,
例:
已知,,求。
。
类型3(其中p,q均为常数,)。
解法(待定系数法):
把原递推公式转化为:
,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
例:
已知数列中,,,求.
解:
设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且
.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则
所以.
变式:
递推式:
。
解法:
只需构造数列,消去带来的差异.
类型4(其中p,q均为常数,)。
(,其中p,q,r均为常数)。
解法:
一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:
引入辅助数列(其中),得:
再待定系数法解决。
例:
已知数列中,,,求。
解:
在两边乘以得:
令,则,解之得:
所以
类型5递推公式为(其中p,q均为常数)。
解法一(待定系数法):
先把原递推公式转化为其中s,t满足
解法二(特征根法):
对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。
若是特征方程的两个根,
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