高中推理与证明知识总结.docx
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模块十二推理与证明
²考纲解读
Ø高考大纲
考试内容
要求层次
A
B
C
合情推理与演绎推理
合情推理
P
归纳和类比
P
演绎推理
P
直接证明与间接证明
综合法
P
分析法
P
反证法
P
数学归纳法
P
Ø分析解读
(1)能利用已知结论类比未知结论,并作出判断或证明
(2)利用归纳推理猜想结论并加以证明
(3)在解答综合题目中掌握演绎推理的基本模式
(4)了解直接证明与间接证明的基本方法,体会数学证明的思考过程及特点,提升综合分析解决问题的能力
(5)掌握“归纳——猜想——证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
归纳
类比
综合法
分析法
反证法
直接证明
间接证明
数学归纳法
²知识导航
²考点剖析
Ø考点一类比推理
1、根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理。
2、类比推理的思维过程是:
观察、比较
联想、类推
推测新的结论
Ø考点二归纳推理
1、归纳推理的定义:
从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
2、归纳推理的思维过程大致如图:
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
3、归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实验检验,因此,它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题。
Ø考点三演绎推理
1、演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
2、主要形式是三段论式推理。
3、三段论式常用的格式为:
M——P(M是P) ①
S——M(S是M) ②
S——P(S是P) ③
其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。
Ø考点四直接证明
1、直接证明:
是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性。
直接证明包括综合法和分析法。
2、综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论。
3、分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式:
要证A,只要证B,B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。
Ø考点五间接证明
1、间接证明:
即反证法:
是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。
2、反证法的一般步骤是:
反设——推理——矛盾——原命题成立。
(所谓矛盾是指:
与假设矛盾;与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾;与公认的简单事实矛盾)。
3、常见的“结论词”与“反议词”如下表:
原结论词
反议词
原结论词
反议词
至少有一个
一个也没有
对所有的x都成立
存在某个x不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x成立
至少有n个
至多有n-1个
p或q
¬p且¬q
至多有n个
至少有n+1个
p且q
¬p或¬q
Ø考点六数学归纳法
数学归纳法证题的步骤:
(1)(归纳奠基)证明当取第一个值时,命题成立
(2)(归纳递推)假设时,命题成立,证明当时,命题也成立。
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对于开始的所有正整数都成立。
²真题演练
由于北京市近五年来仅在2010年和2012年考查了该专题知识,因此本专题的“真题
演练”版块还将选取近两年其他省份的高考题作为练习。
1.【2010北京,20,13分】已知集合.对于,定义与的差为:
A与B之间的距离为.
(I)证明:
,有,且;
(II)证明:
,三个数中至少有一个是偶数;
(III)设,中有个元素,记中所有两元素间距离的平均值为.
证明:
Ø举一反三
1.1【2012江西,6,5分】观察下列各式:
则
A.28B.76C.123D.199
1.2【2012陕西,11,5分】观察下列不等式
,
……
照此规律,第五个不等式为.
1.3【2012福建,17,13分】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°
(2)sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°
(3)sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°
(4)sin2(﹣18°)+cos248°﹣sin2(﹣18°)cos48°
(5)sin2(﹣25°)+cos255°﹣sin2(﹣25°)cos55°
(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
2.【2012北京,20,13分】设是由个实数组成的行列的数表,满足:
每个数的绝对值不大于,且所有数的和为零.记为所有这样的数表构成的集合.
对于,记为的第行各数之和≤≤,为的第列各数之和≤≤.
记为,,…,,,,…,中的最小值.
(Ⅰ)对如下数表,求的值;
(Ⅱ)设数表形如
求的最大值;
(Ⅲ)给定正整数,对于所有的,求的最大值.
Ø举一反三
2.1【2012湖南,16,5分】设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,…,xN依次放入编号为1,2,…,N的N个位置,得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.
(1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置;
(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置.
2.2【2012湖北,13,5分】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:
11,22,33,…,99.3位回文数有90个:
101,111,121,…,191,202,…,999.则
(Ⅰ)4位回文数有个;
(Ⅱ)位回文数有个.
2.3【2012湖北,22,14分】(Ⅰ)已知函数,其中为有理数,且.求的最小值;
(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:
设,为正有理数.若,则;
(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注:
当为正有理数时,有求导公式.
【其他省份相关高考题】
3.【2012全国,12,5分】正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为
(A)16(B)14(C)12(D)10
4.【2011湖南,16,5分】对于,将表示为
,当时,,当时,为0或1.记为上述表示中为0的个数,(例如,:
故)则
(1)
(2)
5.【2011陕西,13,5分】观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律,第个等式为.
6.【2011山东,15,4分】设函数,观察:
,,,
,……
根据上述事实,由归纳推理可得:
当,且时,。
7.【2011湖北,15,5分】给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相连的着色方案如图所示:
由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有2种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有4种,(结果用数值表示)
²轻松驿站
高三学生怎样提高备考应试心理素质
高考虽然不是每一个高中毕业生的惟一出路,但每一个高三毕业生都希望通过高考进入高等学府深造,从而为将来立足社会打下坚实的基础。
近几年来我国高校虽然不断扩招,但高考录取率在某些地区仍然满足不了需求,每个高三毕业生仍面临着优胜劣汰的选择,有的同学由于压力过大,在复习备考过程中出现一系列的心理问题,而这些问题恰恰又制约了学生能力的发挥。
本文试图就产生这些心理问题的原因及解决办法谈谈粗浅的看法。
20世纪90年代中期,美国的丹尼尔·戈尔曼提出了“情商”理论。
这一理论的提出,可以说在全球范围内进行了一场学习的革命。
人们逐渐认识到,在日益信息化的社会里,一个人学会学习比学到什么本身更重要,每一个智力正常的人都具有学习的能力,但并不代表每个有能力的人都能获得成功。
学生学习成绩的差异,往往不是智力水平高低所造成的,而是智力以外的一些因素,如动机、兴趣、自我意识、自信心、热情专注、如何看待失败、进取心、意志力、性格品质以及人际关系等,这些叫非智力因素,它和智力因素共同制约着人的学习能力,并且起着非常重要的作用。
对于高三学生,只有充分挖掘他们的非智力因素,才能有效地调动起智力资源,提高其能力素质,帮助他们实现自己的目标。
一、高三学生学习过程中存在的心理问题
笔者对所在学校的高三年级学生进行了一次调查。
调查显示,50%的同学在学习过程中有浮躁心理,表现为做事无恒心、见异思迁、不安心,总想投机取巧,急功近利,往往“欲速则不达”;75%的学生在考试时有焦虑感,无论考试前和考试中都有不同程度的紧张,表现为胸闷、呼吸急促、手心出汗、头昏脑胀,平时很容易做出的题目这时做不出,遇到没见过的难题就更心慌,考完之后总认为没发挥出应有的正常水平;63%的学生感觉平时复习时不能长时间地集中注意力,精力容易涣散,如做着数学题,忽又想着外语要赶紧做,东一榔头西一棒槌,不知到底先学什么、后学什么,有的把学习看做是一个负担,提不起兴趣,学习时如嚼鸡肋,食之无味弃之不甘;40%的学生认为自己进步不大,因此信心不足,甚至想逃避考试。
这样一些不正常、不健康的心理活动带给学生的是学习效率低下,思维呆滞,心态疲懒,严重影响了学习进步,导致考试发挥失利或落榜。
概言之,他们在复习、备考中所表现出来的心理问题主要有缺乏自信、学习焦虑、意志力弱、心态不稳、注意力不集中。
那么,出现这些问题的症结究竟是什么呢?
二、产生异常心理的原因分析
1.考生的学习基础差容易导致学习焦虑,缺乏自信。
学习不是一朝一夕的事,基础也不
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