高中对数函数公式.doc
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高中对数函数公式.doc
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指数函数和对数函数
1、指数函数:
定义:
函数叫指数函数。
定义域为R,底数是常数,指数是自变量。
为什么要求函数中的a必须。
因为若时,,当时,函数值不存在。
,,当,函数值不存在。
时,对一切x虽有意义,函数值恒为1,但的反函数不存在, 因为要求函数中的。
1、对三个指数函数的图象的认识。
图象特征与函数性质:
图象特征
函数性质
(1)图象都位于x轴上方;
(1)x取任何实数值时,都有;
(2)图象都经过点(0,1);
(2)无论a取任何正数,时,;
(3)在第一象限内的纵坐标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1,的图象正好相反;
(3)当时,
当时,
(4)的图象自左到右逐渐上升,的图象逐渐下降。
(4)当时,是增函数,
当时,是减函数。
对图象的进一步认识,(通过三个函数相互关系的比较):
①所有指数函数的图象交叉相交于点(0,1),如和相交于,当时,的图象在的图象的上方,当,刚好相反,故有及。
②与的图象关于y轴对称。
③通过,,三个函数图象,可以画出任意一个函数()的示意图,如的图象,一定位于和两个图象的中间,且过点,从而也由关于y轴的对称性,可得的示意图,即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
2、对数:
定义:
如果,那么数b就叫做以a为底的对数,记作(a是底数,N是真数,是对数式。
)
由于故中N必须大于0。
当N为零的负数时对数不存在。
(1)对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如:
求
分析:
对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成再改写为指数式就比较好办。
解:
设
评述:
由对数式化为指数式可以解决问题,反之由指数式化为对数式也能解决问题,因此必须因题而异。
如求中的,化为对数式即成。
(2)对数恒等式:
由
将
(2)代入
(1)得
运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。
计算:
解:
原式。
(3)对数的性质:
①负数和零没有对数;
②1的对数是零;
③底数的对数等于1。
(4)对数的运算法则:
①
②
③
④
3、对数函数:
定义:
指数函数的反函数叫做对数函数。
1、对三个对数函数
的图象的认识。
图象特征与函数性质:
图象特征
函数性质
(1)图象都位于y轴右侧;
(1)定义域:
R+,值或:
R;
(2)图象都过点(1,0);
(2)时,。
即;
(3),当时,图象在x轴上方,当时,图象在x轴下方,与上述情况刚好相反;
(3)当时,若,则,若,则;
当时,若,则,若时,则;
(4)从左向右图象是上升,而从左向右图象是下降。
(4)时,是增函数;
时,是减函数。
对图象的进一步的认识(通过三个函数图象的相互关系的比较):
(1)所有对数函数的图象都过点(1,0),但是与在点(1,0)曲线是交叉的,即当时,的图象在的图象上方;而时,的图象在的图象的下方,故有:
;。
(2)的图象与的图象关于x轴对称。
(3)通过,,三个函数图象,可以作出任意一个对数函数的示意图,如作的图象,它一定位于和两个图象的中间,且过点(1,0),时,在的上方,而位于的下方,时,刚好相反,则对称性,可知的示意图。
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
4、对数换底公式:
由换底公式可得:
由换底公式推出一些常用的结论:
(1)
(2)
(3)
(4)
5、指数方程与对数方程*
定义:
在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算,故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法:
名称
题型
解法
基本型
同底数型
不同底数型
需代换型
取以a为底的对数
取以a为底的对数
取同底的对数化为
换元令转化为的代数方程
对数方程的题型与解法:
名称
题型
解法
基本题
对数式转化为指数式
同底数型
转化为(必须验根)
需代换型
换元令转化为代数方程
4
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