高三文数二轮复习参数方程和极坐标.doc
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2018届高三文数限时训练(极坐标和参数方程1)
1.已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点,以极轴为轴的正半轴,取相同的单位长度,建立平面直角坐标系,直线的参数方程为.
(Ⅰ)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设曲线经过伸缩变换得到曲线,曲线上任一点为,求的取值范围.
2.设直线的参数方程为,若以直角坐标系的点为极点,轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线的极坐标方程为。
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;
(2)若直线与曲线交于两点,求。
3.已知曲线的参数方程是,直线的参数方程是,曲线C与直线有一个公共点在轴上,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系.
(Ⅰ)求曲线普通方程;
(Ⅱ)若点在曲线上,求的值.
4.已知直线的方程为,圆的方程为。
(1)把直线和圆的方程化为普通方程;
(2)求圆上的点到直线距离的最大值.
5.在平面直角坐标系中,以为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为,两曲线相交于两点.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
6.在直角坐标系中,直线:
,为上的动点,在线段上,满足,记的轨迹为曲线;以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求与的极坐标方程;
(2)设的极坐标为,点在曲线上,的面积为,求点的直角坐标.
7.在直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为。
(Ⅰ)求与的直角坐标方程;
(Ⅱ)若与的交于点,与交于两点,求的面积.
8.在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线:
,直线:
。
(1)将曲线上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线,请写出直线,和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线经过点且∥,与曲线交于点,求的值.
9.已知曲线的极坐标方程是,若以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,且取相同的单位长度建立平面直角坐标系,则直线的参数方程是。
(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;
(2)设点,若直线与曲线交于两点,且,求非负实数的值.
10.在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为,曲线的直角坐标方程为。
以直角坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线的极坐标方程为。
(1)求曲线、的极坐标方程;
(2)设点为射线与曲线、除原点之外的交点,求的最大值.
11.在直角坐标系中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为。
(I)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(II)设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标.
12.已知在平面直角坐标系中,椭圆的方程为,以为极点,轴的非负半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为。
(1)求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程;
(2)设为椭圆上任意一点,求的最大值.
13.在直角坐标系中,曲线的参数方程为,其中。
以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为。
(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知曲线与交于两点,记点相应的参数分别为,当时,求的值.
14.以直角坐标系的原为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且两个坐标系相等的单位长度,已知直线的参数方程为,圆的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出直线的一般方程及圆标准方程;
(Ⅱ)设,直线和圆相交于两点,求的值.
2018届高三文数二轮复习专题(极坐标和参数方程)
参考答案与解析
1.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,以极轴为x轴的正半轴,取相同的单位长度,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).
(Ⅰ)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′,曲线C′上任一点为M(x0,y0),求+的取值范围.
【分析】(Ⅰ)由(t为参数)消去参数可得直线l的普通方程,由ρ=2,两端平方可得曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′的方程为x2+=4,化为参数方程,则(θ为参数)代入+即可求得取值范围.
【解答】解:
(Ⅰ)由(t为参数)消去参数可得直线l的普通方程为:
x+y﹣2﹣1=0
由ρ=2,两端平方可得:
曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4…(5分)
(Ⅱ)曲线C经过伸缩变换得到曲线C′的方程为x2+=4,
即+=1又点M在曲线C′上,则(θ为参数)
代入x0+y0得:
x0+y0得=•2cosθ+•4sinθ=22osθ+2sinθ=4sin(θ+),
所以x0+y0的取值范围是[﹣4,4]…(10分)
2.【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;
(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|.
【分析】
(1)由ρ=得ρ2sin2θ=8ρcosθ,故有y2=8x,故曲线C表示顶点在原点,焦点在x上的抛物线.
(2)把即y=2x﹣4,代入y2=8x利用韦达定理,以及|AB|=|x1﹣x2|,计算求得结果.
【解答】解:
(1)由ρ=得ρsin2θ=8cosθ,∴ρ2sin2θ=8ρcosθ,∴y2=8x,
∴曲线C表示顶点在原点,焦点在x上的抛物线.
(2),即y=2x﹣4,代入y2=8x得x2﹣6x+4=0,∴x1+x2=6,x1•x2=4,
∴|AB|=•|x1﹣x2|=•=•=10.
3.(选修4﹣4:
坐标系与参数方程)已知曲线C的参数方程是(φ为参数,a>0),直线l的参数方程是(t为参数),曲线C与直线l有一个公共点在x轴上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系.
(Ⅰ)求曲线C普通方程;
(Ⅱ)若点在曲线C上,求的值.
【分析】(Ⅰ)消去直线l的参数t得普通方程,令y=0,得x的值,即求得直线与x轴的交点;消去曲线C的参数即得C的普通方程,再把上面求得的点代入此方程即可求出a的值;
(Ⅱ)把点A、B、C的极坐标化为直角坐标,代入曲线C的方程,可得,即=,同理得出其它,代入即可得出答案.
【解答】解:
(Ⅰ)∵直线l的参数方程是(t为参数),消去参数t得x+y=2,令y=0,得x=2.
∵曲线C的参数方程是(φ为参数,a>0),消去参数φ得,
把点(2,0)代入上述方程得a=2.
∴曲线C普通方程为.
(Ⅱ)∵点在曲线C上,即A(ρ1cosθ,ρ1sinθ),,在曲线C上,
∴==
=
=+
=.
4.已知直线l的方程为ρsin(θ+)=,圆C的方程为(θ为参数).
(1)把直线l和圆C的方程化为普通方程;
(2)求圆C上的点到直线l距离的最大值.
【分析】
(1)利用和角的正弦函数公式、以及x=ρcosθ、y=ρsinθ,即可求得该直线的直角坐标方程.
(2)把圆C的方程利用同角三角函数的基本关系,消去θ,化为普通方程.
【解答】解:
(1)线l的方程为ρsin(θ+)=,即sinθ+cosθ=,化为直角坐标方程为x+y﹣2=0.
把圆C的方程为(θ为参数),利用同角三角函数的基本关系,消去θ,化为普通方程为x2+y2=1.
(2)圆心(0,0)到直线l的距离d==,半径为1,故圆C上的点到直线l距离的最大值为d+r=.
5.在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,直线l的参数方程为:
(t为参数),两曲线相交于M,N两点.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(Ⅱ)若P(﹣2,﹣4),求|PM|+|PN|的值.
【分析】(Ⅰ)根据x=ρcosθ、y=ρsinθ,写出曲线C的直角坐标方程;用代入法消去参数求得直线l的普通方程.
(Ⅱ)把直线l的参数方程代入y2=4x,得到,设M,N对应的参数分别为t1,t2,利用韦达定理以及|PM|+|PN|=|t1+t2|,计算求得结果.
【解答】解:
(Ⅰ)根据x=ρcosθ、y=ρsinθ,求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x,
用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0.
(Ⅱ)直线l的参数方程为:
(t为参数),
代入y2=4x,得到,设M,N对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=12,t1•t2=48,∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=.
6.在直角坐标系xOy中,直线l:
x=4,M为l上的动点,P在线段OM上,满足|OM|•|OP|=16,记P的轨迹为曲线C;以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求l与C的极坐标方程;
(2)设A的极坐标为(2,),点B在曲线C上,△OAB的面积为,求B点的直角坐标.
【分析】
(1)由直线l:
x=4,能求出直线l的极坐标方程;设P(ρ,θ),(ρ>0),M(ρ1,θ),(ρ1>0),则ρ1cosθ=4,由|OM|•|OP|=16,得|OM|•|OP|=ρρ1=16,由此能求出C的极坐标方程.
(2)设B点极坐标为(4cosα,α),则S△ABO=|AO|•|BO|sin∠AOB=2|sin(2α﹣)﹣|,解得,此时B(2,),由此能求出点B直角坐标.
【解答】解:
(1)∵在直角坐标系xOy中,直线l:
x=4,
∴直线l的极坐标方程为l:
ρcosθ=4.
设P(ρ,θ),(ρ>0),M(ρ1,θ),(ρ1>0),则ρ1cosθ=4,
∵M为l上的动点,P在线段OM上,满足|OM|•|OP|=16,
∴|OM|•|OP|=ρρ1=16,
∴ρ=4cosθ,ρ>0,
∴C的极坐标方程为ρ=4cosθ,ρ>0.
(2)依题意设B点极坐标为(4cosα,α),
则S△ABO=|AO|•|BO|sin∠AOB
=
=2|sin(2α﹣)﹣|,
解得,此时B(2,),
化为直角坐标为B(3,).
7.在直角坐标系xOy中,以O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=4,曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1=0,曲线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R).
(Ⅰ)求C1与C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)若C2与C1的交于P点,C2与C3交于A、B两点,求△PAB的面积.
【分析】(Ⅰ)由曲线C1的极坐标方程能求出曲线C1的普通方程,由曲线C2的极坐标方程能求出曲线C2的普通方程.
(Ⅱ)由曲线C3的极坐标方程求出曲线C3的普通方程,联立C2与C3得x2﹣2x+1=0,解得点P坐标(1,4),从而点P到C3的距离d=.设A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2).将代入C2,得,求出|AB|=|ρ1﹣ρ2|,由此能求出△PAB的面积.
【解答】[选修4﹣4,坐标系与参数方程](10分)
解:
(Ⅰ)∵曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=4,
∴根据题意,曲线C1的普通方程为y=4,…(2分)
∵曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+1=0,
∴曲线C2的普通方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1=0,即(x﹣1)2+(y+2)2=4.…(4分)
(Ⅱ)∵曲线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R).
∴曲线C3的普通方程为y=x,
联立C2与C3:
,
得x2﹣2x+1=0,解得x=1,∴点P坐标(1,4)
点P到C3的距离d==.…(6分)
设A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2).将代入C2,得,
则ρ1+ρ2=3,ρ1ρ2=1,
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- 高三文数 二轮 复习 参数 方程 坐标