高三数学第一轮复习单元测试《平面向量》.doc
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高三数学第一轮复习单元测试—《平面向量》
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图1所示,D是△ABC的边AB上的中点,
则向量()
A. B.
C. D.
2.与向量a=的夹解相等,且模为1的向量是 ()
A. B.或
C. D.或
3.设与是两个不共线向量,且向量与共线,则= ()
A.0 B.-1 C.-2 D.0.5
4.已知向量,是不平行于轴的单位向量,且,则= ()
A. B. C. D.(1,0)
5.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量
的数量积中最大的是()
A. B.
C. D.
6.在中,,,是边上的高,若,则实数等
于 ()
A. B. C. D.
7.设,,则满足条件,的动点P的
变化范围(图中阴影部分含边界)是 ()
A.B.C.D.
8.将函数f(x)=tan(2x+)+1按向量a平移得到奇函数g(x),要使|a|最小,则a=()
A.() B.() C.() D.()
9.已知向量、、且,,,.设与的夹角为,
与的夹角为,与的夹角为,则它们的大小关系是 ()
A. B.C.D.
10.已知向量,,其中.若,则当恒成立时实数的取值范围是 ()
A.或 B.或
C. D.
11.已知,,,点C在内,且,设,则等于 ()
A. B.3 C. D.
12.对于直角坐标平面内的任意两点,,定义它们之间的一种“距离”:
给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上,则
②在中,若则
③在中,
其中真命题的个数为 ()
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.
13.在ABCD中,,M为BC的中点,则_______.(用表示)
14.已知为坐标原点,动点满足,其中且,则的轨迹方程为.
15.在ΔABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则的最小值为
.
16.已知向量,若点A、B、C能构成三角形,则实数m满足的条件是.
三、解答题:
本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知向量,.
(1)若,试判断与能否平行?
(2)若,求函数的最小值.
18.(本小题满分12分)(2006年湖北卷)设函数,其中向量
,.
(1)求函数的最大值和最小正周期;
(2)将函数的图像按向量平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的.
19.(本小题满分12分)(2007年宁夏卷)在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和.
(I)求的取值范围;
(II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量与共线?
如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.
20.(本小题满分12分)在中,.
(1)求的值;
(2)当的面积最大时,求的大小.
21.(本小题满分12分)如图,三定点A(2,1),B(0,-1),C(-2,1);三动点D,E,M满足
(1)求动直线DE斜率的变化范围;
y
x
O
M
D
A
B
C
-1
-1
-2
1
2
B
E
(2)求动点M的轨迹方程.
22.(本小题满分14分)已知点是圆上的一个动点,过点作轴于点,设.
(1)求点的轨迹方程;
(2)求向量和夹角的最大值,并求此时点的坐标
参考答案(4)
1.,故选A.
2.B设所求向量=(cos,sin),则由于该向量与的夹角都相等,故
3cos=-4sin,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B选项成立,故选B.
3.D依题意知向量与共线,设(),则有,所以,解得,选D.
4.解选B.设,则依题意有
5.解析:
利用向量数量积的几何意义:
数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积.显然由图可知在方向上的投影最大.所以应选(A).
6.B即得又是边上的高,即,整理可得即得,故选B.
7.A设P点坐标为,则.由,得,在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可,选A.
8.A要经过平移得到奇函数g(x),应将函数f(x)=tan(2x+)+1的图象向下平移1个单位,再向右平移个单位.即应按照向量进行平移.要使|a|最小,应取a=(),故选A.
9.B由得,两边平方得,将,,代入得,所以;同理,由得,可得,,所以.
10.B由已知得,所以,因此,由于恒成立,所以,解得或.
11.答案B∵,,
A
O
B
C
∴△ABC为直角三角形,其中
∴
∴即故本题的答案为B.
12.答案B取特殊值、数形结合
在中,,不妨取A(0,1),C(0,0),B(0,1),则
∵∴、、
此时、、;
A
C
B
即命题②、③是错误的.
设如图所示共线三点,,,则
=
=
∴即命题①是正确的.
综上所述,真命题的个数1个,故本题的答案为B.
13.解:
,,所以.
14.设,则,又,所以由得,于是,由消去m,n得的轨迹方程为:
.
15.如图,设,则,所以
,
故当时,取最小值-2.
16.因为,所以.由于点A、B、C能构成三角形,所以与不共线,而当与共线时,有,解得,故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是.
17.解析:
(1)若与平行,则有,因为,,所以得,这与相矛盾,故与不能平行.
(2)由于,又因为,所以,于是,当,即时取等号.故函数的最小值等于.
18.解:
(Ⅰ)由题意得,f(x)=a·(b+c)=(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx-3cosx)
=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+sin(2x+).
所以,f(x)的最大值为2+,最小正周期是=.
(Ⅱ)由sin(2x+)=0得2x+=k.,即x=,k∈Z,
于是d=(,-2),k∈Z.
因为k为整数,要使最小,则只有k=1,此时d=(―,―2)即为所求.
19.解:
(Ⅰ)由已知条件,直线的方程为,
代入椭圆方程得.
整理得 ①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于,
解得或.即的取值范围为.
(Ⅱ)设,则,
由方程①,. ②
又. ③
而.
所以与共线等价于,
将②③代入上式,解得.
由(Ⅰ)知或,故没有符合题意的常数.
20.解:
(Ⅰ)由已知得:
因此,.
(Ⅱ),
.(当且仅当时,取等号),
当的面积取最大值时,,所以.
解:
(I)由条件知:
且
,
设夹角为,则,
,故的夹角为,
(Ⅱ)令的夹角为
,
的夹角为.
21.解析:
如图,(Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t,=t,
知(xD-2,yD-1)=t(-2,-2).∴同理.
y
x
O
M
D
A
B
C
-1
-1
-2
1
2
B
E
第21题解法图
∴kDE===1-2t.
∴t∈[0,1],∴kDE∈[-1,1].
(Ⅱ)如图,=+=+t
=+t(-)=(1-t)+t,
=+=+t=+t(-)
=(1-t)+t,
=+=+t=+t(-)=(1-t)+t
=(1-t2)+2(1-t)t+t2.
设M点的坐标为(x,y),由=(2,1),=(0,-1),=(-2,1)得
消去t得x2=4y,∵t∈[0,1],x∈[-2,2].
故所求轨迹方程为:
x2=4y,x∈[-2,2]
22.解析:
(1)设,,则,,
.
(2)设向量与的夹角为,则,
令,则,
当且仅当时,即点坐标为时,等号成立.
与夹角的最大值是.
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陆
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