高三数学一轮复习阶段性测试题5平面向量1.doc
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阶段性测试题五(平面向量)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。
)
1.(文)(2011·北京西城区期末)已知点A(-1,1),点B(2,y),向量a=(1,2),若∥a,则实数y的值为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
[答案] C
[解析] =(3,y-1),∵∥a,∴=,∴y=7.
(理)(2011·福州期末)已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与4b-2a平行,则实数x的值为( )
A.-2 B.0
C.1 D.2
[答案] D
[解析] a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),
∵a+b与4b-2a平行,∴=,∴x=2,故选D.
2.(2011·蚌埠二中质检)已知点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
[答案] B
[解析] =(2,3),∵⊥a,∴2(2k-1)+3×2=0,∴k=-1,∴选B.
3.(2011·北京丰台期末)如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且方向相反,那么k的值为( )
A.-3 B.2
C.- D.
[答案] A
[解析] 由条件知,存在实数λ<0,使a=λb,∴(k,1)=(6λ,(k+1)λ),∴,∴k=-3,故选A.
4.(文)(2011·北京朝阳区期末)在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )
A.- B.-
C. D.
[答案] A
[解析] 由条件知,·(+)=·
(2)
=·=-||2=-2=-.
(理)(2011·黄冈期末)在平行四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,DE交AF于H,记、分别为a、b,则=( )
A.a-b B.a+b
C.-a+b D.-a-b
[答案] B
[解析] =b+a,=a-b,设=λ,则=λa-λb,∴=+=λa+b,
∵与共线且a、b不共线,∴=,∴λ=,∴=a+b.
5.(2011·山东潍坊一中期末)已知向量a=(1,1),b=(2,n),若|a+b|=a·b,则n=( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
[答案] D
[解析] ∵a+b=(3,1+n),
∴|a+b|==,
又a·b=2+n,∵|a+b|=a·b,
∴=n+2,解之得n=3,故选D.
6.(2011·烟台调研)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点,则·(+)( )
A.最大值为8 B.是定值6
C.最小值为2 D.与P的位置有关
[答案] B
[解析] 设BC边中点为D,则
·(+)=·
(2)
=2||·||·cos∠PAD=2||2=6.
7.(2011·河北冀州期末)设a,b都是非零向量,那么命题“a与b共线”是命题“|a+b|=|a|+|b|”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
[答案] B
[解析] |a+b|=|a|+|b|⇔a与b方向相同,或a、b至少有一个为0;而a与b共线包括a与b方向相反的情形,
∵a、b都是非零向量,故选B.
8.(2011·甘肃天水一中期末)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则a与c的夹角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
[答案] C
[解析] 由条件知|a|=,|b|=2,a+b=(-1,-2),∴|a+b|=,∵(a+b)·c=,∴×·cosθ=,其中θ为a+b与c的夹角,∴θ=60°.
∵a+b=-a,∴a+b与a方向相反,∴a与c的夹角为120°.
9.(文)(2011·福建厦门期末)在△ABC中,∠C=90°,且AC=BC=3,点M满足=2,则·等于( )
A.2 B.3
C.4 D.6
[答案] B
[解析] 解法1:
如图以C为原点,CA、CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,3),设M(x0,y0),
∵=2,∴,∴,
∴·=(2,1)·(0,3)=3,故选B.
解法2:
∵=2,∴=,
∴·=·(+)=||2+·
=9+×3×3×=3.
(理)(2011·安徽百校联考)设O为坐标原点,点A(1,1),若点B(x,y)满足则·取得最大值时,点B的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.无数
[答案] A
[解析] x2+y2-2x-2y+1≥0,即(x-1)2+(y-1)2≥1,画出不等式组表示的平面区域如图,·=x+y,设x+y=t,则当直线y=-x平移到经过点C时,t取最大值,故这样的点B有1个,即C点.
10.(2011·宁夏银川一中检测)a,b是不共线的向量,若=λ1a+b,=a+λ2b(λ1,λ2∈R),则A、B、C三点共线的充要条件为( )
A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1
C.λ1·λ2+1=0 D.λ1λ2-1=0
[答案] D
[分析] 由于向量,有公共起点,因此三点A、B、C共线只要,共线即可,根据向量共线的条件可知存在实数λ使得=λ,然后根据平面向量基本定理得到两个方程,消去λ即得结论.
[解析] ∵A、B、C共线,∴,共线,根据向量共线的条件知存在实数λ使得=λ,即a+λ2b=λ(λ1a+b),由于a,b不共线,
根据平面向量基本定理得,消去λ得λ1λ2=1.
11.(文)(2011·北京学普教育中心)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量运算a⊕b=(a1,a2)⊕(b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动,且满足=m⊕+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最大值及最小正周期分别为( )
A.2;π B.2;4π
C.;4π D.;π
[答案] C
[解析] 设点Q(x′,y′),则=(x′,y′),由新定义的运算法则可得:
(x′,y′)=⊕(x,y)+
=,
得,∴,
代入y=sinx,得y′=sin,则
f(x)=sin,故选C.
(理)(2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若=λ+μ其中λ,μ∈R,则λ+μ是( )
A. B.
C. D.1
[答案] B
[解析] =+=+,
=+=+,
相加得+=(+)=,
∴=+,∴λ+μ=+=.
12.(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量与满足·=0,且·=-,则△ABC的形状为( )
A.等腰非等边三角形 B.等边三角形
C.三边均不相等的三角形 D.直角三角形
[答案] A
[分析] 根据平面向量的概念与运算知,表示方向上的单位向量,因此向量+平行于角A的内角平分线.由·=0可知,角A的内角平分线垂直于对边,再根据数量积的定义及·=-可求角A.
[解析] 根据·=0知,角A的内角平分线与BC边垂直,说明三角形是等腰三角形,根据数量积的定义及·=-可知A=120°.故三角形是等腰非等边的三角形.
[点评] 解答本题的关键是注意到向量,分别是向量,方向上的单位向量,两个单位向量的和一定与角A的内角平分线共线.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)
13.(文)(2011·湖南长沙一中月考)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|3a+b|等于________.
[答案]
[解析] 3a+b=(3,6)+(-2,y)=(1,6+y),
∵a∥b,∴=,∴y=-4,∴3a+b=(1,2),
∴|3a+b|=.
(理)(2011·北京朝阳区期末)平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=________.
[答案] 2
[解析] a·b=|a|·|b|cos60°=2×1×=1,
|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4×1=12,
∴|a+2b|=2.
14.(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知a=(2+λ,1),b=(3,λ),若〈a,b〉为钝角,则λ的取值范围是________.
[答案] λ<-且λ≠-3
[解析] ∵〈a,b〉为钝角,∴a·b=3(2+λ)+λ=4λ+6<0,
∴λ<-,当a与b方向相反时,λ=-3,
∴λ<-且λ≠-3.
15.(2011·黄冈市期末)已知二次函数y=f(x)的图像为开口向下的抛物线,且对任意x∈R都有f(1+x)=f(1-x).若向量a=(,-1),b=(,-2),则满足不等式f(a·b)>f(-1)的m的取值范围为________.
[答案] 0≤m<1
[解析] 由条件知f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(-1)=f(3),∵m≥0,∴a·b=m+2≥2,由f(a·b)>f(-1)得f(m+2)>f(3),
∵f(x)在[1,+∞)上为减函数,∴m+2<3,∴m<1,
∵m≥0,∴0≤m<1.
16.(2011·河北冀州期末)已知向量a=,b=(cosθ,1),c=(2,m)满足a⊥b且(a+b)∥c,则实数m=________.
[答案] ±
[解析] ∵a⊥b,∴sinθcosθ+=0,∴sin2θ=-,
又∵a+b=,(a+b)∥c,
∴m(sinθ+cosθ)-=0,
∴m=,∵(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=,∴sinθ+cosθ=±,∴m=±.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知向量a=(-cosx,sinx),b=(cosx,cosx),函数f(x)=a·b,x∈[0,π].
(1)求函数f(x)的最大值;
(2)当函数f(x)取得最大值时,求向量a与b夹角的大小.
[解析]
(1)f(x)=a·b=-cos2x+sinxcosx
=sin2x-cos2x-=sin-.
∵x∈[0,π],∴当x=时,f(x)max=1-=.
(2)由
(1)知x=,a=,b=,设向量a与b夹角为α,则cosα===,
∴α=.因此,两向量a与b的夹角为.
18.(本小题满分12分)(2011·呼和浩特模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证·=0.
[解析]
(1)解:
∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ,
∵过(4,-)点,∴16-10=λ,即λ=6,
∴双曲线方程为x2-y2=6.
(2)证明:
F1(-2,0),F2(2,0),=(-3-2,-m),=(-3+2,-m),
∴·=-3+m2,
又∵M点在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,
∴·=0,即⊥.
19.(本小题满分12分)(2011·宁夏银川一中月考,辽宁沈阳二中检测)△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,向量m=(2sinB,2-cos2B),n=(2sin2(+),-1),m⊥n.
(1)求角B的大小;
(2)若a=,b=1,求c的值.
[分析] 根据向量关系式得到角B的三
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