高三数学南京、盐城一模.doc
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南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试
数学Ⅰ卷
一.填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.已知集合,若,则实数=▲.
2.若,为虚数单位),则=▲.
3.若向量,且,则实数=▲.
4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是▲.
5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为▲.
6.在中,已知,则▲.
7.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的的值
为▲.
8.已知四边形为梯形,,为空间一直线,则“垂直于两腰”是“垂直于两底”的▲条件(填写“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”中的一个).
9.函数的单调减区间为▲.
10.已知是定义在上的奇函数,则的值域为▲.
11.记等比数列的前项积为,已知,且,
则▲.
12.若关于的方程有解,则实数的取值范围是▲.
13.设椭圆恒过定点,则椭圆的中心到准线的距离的最小值为▲.
14.设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是▲.
二.解答题(本大题共6小题,计90分。
解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)
15.(本小题满分14分)
已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.
(1)求证:
面;
(2)求证:
平面平面.
17.(本小题满分14分)
在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由长6分米的材料弯折而成,BC边的长为分米();曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种:
曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为),此时记门的最高点到BC边的距离为;曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点到边的距离为.
(1)试分别求出函数、的表达式;
(2)要使得点到BC边的距离最大,应选用哪一种曲线?
此时,最大值是多少?
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系中,已知点为椭圆的右顶点,点,点在椭圆上,.
(1)求直线的方程;
(2)求直线被过三点的圆截得的弦长;
(3)是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆?
若存在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分16分)
对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.
(1)判断函数是否为“()型函数”,并说明理由;
(2)已知函数是“(1,4)型函数”,且当时,,若当时,都有成立,,试求的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知数列满足:
,,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若对每一个正整数,若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列,且公差为.
①求的值及对应的数列.
②记为数列的前项和,问是否存在,使得对任意正整数恒成立?
若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由.
数学附加题部分
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.(选修4—1:
几何证明选讲)
A
B
C
P
O
·
E
D
如图,的半径垂直于直径,为上一点,的延长线交于点,过点的圆的切线交的延长线于.
求证:
.
B.(选修4—2:
矩阵与变换)
已知矩阵,若矩阵对应的变换把直线:
变为直线,求直线的方程.
C.(选修4—4:
坐标系与参数方程)
在极坐标系中,圆的方程为,以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数),求直线被截得的弦的长度.
D.(选修4—5:
不等式选讲)
已知均为正数,求证:
.
[必做题]第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22.(本小题满分10分)
如图所示,在棱长为2的正方体中,点分别在棱上,满足,且.
A
D
B
C
P
A1
B1
C1
Q
D1
第22题
(1)试确定、两点的位置.
(2)求二面角大小的余弦值.
23.(本小题满分10分)
已知整数≥4,集合的所有3个元素的子集记为.
(1)当时,求集合中所有元素之和.
(2)设为中的最小元素,设=,试求.
南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1.32.23.-44.5.1206.7.218.充分不必要9.(或闭区间)
10.11.12.13.14.
二、解答题:
本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.解:
(1)因为……………………………………………………………4分
……………………………………………………………………………………………6分
故的最小正周期为………………………………………………………………………………8分
(2)当时,…………………………………………………………………10分
故所求的值域为………………………………………………………………………………14分
16.
(1)证明:
设,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以…………4分
而,所以面…………………………………………………7分
(2)连接PO,因为,所以,又四边形是菱形,所以…………10分
而面,面,,所以面……………………………13分
又面,所以面面……………………………………………………………14分
17.解:
(1)对于曲线,因为曲线的解析式为,所以点D的坐标为……2分
所以点到的距离为,而,
则…………………………………………………4分
对于曲线,因为抛物线的方程为,即,所以点D的坐标为………2分
所以点到的距离为,而,所以……………7分
(2)因为,所以在上单调递减,所以当时,取得最大值
为…………………………………………………………………………………………………9分
又,而,所以当时,取得最大值为……………………11分
因为,所以,
故选用曲线,当时,点到边的距离最大,最大值为分米……………………………14分
18.解:
(1)因为,且A(3,0),所以=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,
从而得……………………………………………………………………………………3分
所以直线BD的方程为………………………………………………………………………5分
(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为,
所以圆C的圆心为(0,-1),且圆C的半径为……………………………………………………8分
又圆心(0,-1)到直线BD的距离为,所以直线被圆截得的弦长
为……………………………………………………………………………………10分
(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线上,当圆和圆是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN…………………………………………………………………………………………12分
设,则,根据在直线上,
解得…………………………………………………………………………………………………14分
所以,故存在这样的两个圆,且方程分别为
………………………………………………………………16分
19.解:
(1)函数是“()型函数”…………………………………………………………2分
因为由,得,所以存在这样的实数对,如………………6分
(2)由题意得,,所以当时,,其中,
而时,,且其对称轴方程为,
①当,即时,在上的值域为,即,则在上的值域为,由题意得,此时无解………………………11分
②当,即时,的值域为,即,所以则在上的值域为,则由题意得且,解得……………………………………………………………………13分
③当,即时,的值域为,即,则在上的值域为=,
则,解得.
综上所述,所求的取值范围是…………………………………………………16分
20.解:
(Ⅰ)因为,所以时,,两式相减,得,故数列从第二项起是公比为的等比数列…………………………3分
又当n=1时,,解得,从而…………………………5分
(2)①由
(1)得,
[1]若为等差中项,则,即或,解得…………6分
此时,所以……………………8分
[2]若为等差中项,则,即,此时无解………………………………9分
[3]若为等差中项,则,即或,解得,
此时,所以……………11分
综上所述,,或,…………………………………12分
②[1]当时,,则由,得,
当时,,所以必定有,所以不存在这样的最大正整数……………………14分
[2]当时,,则由,得,因为,所以满足恒成立;但当时,存在,使得即,
所以此时满足题意的最大正整数……………………………………………………………16分
数学附加题部分
21.A.证明:
连结OE,因为PE切⊙O于点E,所以∠OEP=900,所以∠OEB+∠BEP=900,因为OB=OE,所以∠OBE=∠OEB,因为OB⊥AC于点O,所以∠OBE+∠BDO=900……………5分
故∠BEP=∠BDO=∠PDE,PD=PE,又因为PE切⊙O于点E,所以PE2=PA·PC,
故PD2=PA·PC………………………………………………………………………………………10分
B.易得……3分,在直线上任取一点,经矩阵变换为
点,则,∴,即……………8分
代入中得,∴直线的方程为…………………10分
C.解:
的方程化为,两边同乘以,得
由,得………………………………5分
其圆心坐标为,半径,又直线的普通方程为,
∴圆心到直线的距离,∴弦长……………………………10分
D.证明:
由柯西不等式得……………………………………5分
则,即………………………10分
22.解:
(1)以为正交基底建立空间直角坐标系,设,
则,,,
∵,∴,∴,解得……………………………4分
∴PC=1,CQ=1,即分别为中点………
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- 数学 南京 盐城