高三数学《函数单调性在不等式中的运用》教案.doc
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函数单调性在不等式中的运用
函数单调性是函数的重要性质之一,其有着广泛应的应用.巧妙利用函数的单调性可解抽象函数不等式、证明函数型不等式、求解不等式中参数的取值范围等。
一、解抽象不等式
抽象函数不等式常利用函数的单调必性,化归为函数自变量的大小,脱去函数中的“f”,再利用函数单调性的性质从而化为不等式求解。
基本方法:
若函数在区间D上单调递增,且x1,x2∈D,则由f(x1) <; 若函数在区间D上单调递减,且x1,x2∈D,则由f(x1) x1>x2, 利用此性质,即可确定自变量之间的关系。 例1.已知偶函数在区间单调增加,则满足<的x取值范围是 (A)(,)(B)[,)(C)(,)(D)[,) 【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|) ∴得f(|2x-1|)<f(),再根据f(x)的单调性 得|2x-1|<解得<x< 例2.设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为(D) A. B. C. D. 【解析】由是奇函数可知,而,则,当时,;当时,,又在上为增函数,则奇函数在上为增函数,. 二.证明函数不等式 利用函数单调性证明不等式,是函数、导数、不等式综合中的一个难点,也是高考的热点。 其主要思想是利用不等式与函数之间的联系,将不等式的部分或者全部投射到函数上。 直接或等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数。 再通过研究该函数的单调性或求出该函数的最值,将不等式的证明转化为函数问题,即转化为比较函数值的大小,或者函数值在给定的区间上恒成立等,从而证得不等式.常用的证明方法有: 函数单调性法与函数最值法。 方法一: 函数单调性法(端点函数法) 函数单调性法(端点函数法)证明不等式的精髓是: 先作差构造一辅助函数,对辅助函数求导,判断辅函数在指定区间上的单调性(注: 不必求函数的最值),从而达到证明的目的。 定理1: 设R(x)=g(x)-f(x)在区间(a,b)内可导,且满足下列条件: 1)R/(x)>0,R(a)=0时,则有f(x)>g(x) 2)R/(x)<0,R(a)=0时,则有f(x) 定理2: 设R(x)=g(x)-f(x)在区间(a,b)内可导,且满足下列条件: 1)R/(x)>0,R(b)=0时,则有f(x) 2)R/(x)<0,R(b)=0时,则有f(x)>g(x) 定理理解与解释: 一般地, ①欲证f(x)>g(x)在区间(a,b)内成立时,可先作差构造出函数R(x)=f(x)-g(x),补充定义R(0)=0,然后对R(x)求导,判断R(x)在区间(a,b)内的单调性。 证R(x)在[a,b)上为增函数,且R(a)≥0; 或证R(x)在(a,b]上为减函数,且R(b)≤0. ②欲证f(x) 证R(x)=g(x)-f(x)在[a,b)上为增函数且h(a)≥0, 或证R(x)=g(x)-f(x)在(a,b]上为减函数且h(b)≥0. 定理3、设,在[]上阶可导, (1) (2)(或) 则在()内有(或 基本方法: 用单调性法证明不等式,其步骤一般是: 构造可导函数——研究单调性——得出不等关系——整理得出结论。 (1)构造辅助函数; ①利用不等式两边之差构造辅助函数;或变形(代换、比商等)后再作差构造函数 ②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数; ③若所证的不等式涉及到幂指数函数,则可通过适当的变形(若取对数)将其化为易于证明的形式,再如前面所讲那样,根据不等式的特点,构造辅助函数. (2)研究的单调性,从而证明不等式. 适用范围 利用函数单调性证明不等式,不等式两边的函数必须可导;对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续,开区间内可导,且在闭区间的某端点处的值为0,然后通过在开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性. 解题体会: 利用函数的单调性证明不等式时,都是先构造函数.然后通过对函数求导,判定函数的增减性,从而达到证明不等式的目的.即: 一般地,证明或可以构造函数 ①如果,则在上是增函数,同时若由增函数的定义可知,时,有即证明了。 ②如果,则在上是减函数,同时若由减函数的定义可知,时,有即证明了。 证明过程中常常需要构造函数模型,有时还需要对导函数同时加以放缩方可达到目的。 下面是构造函数模型的一些基本方法。 1、用不等式两边之差直接构造函数模型 (1)().构造的函数为: (2)().构造的函数为: (3)ex>x+1>x()构造的函数为: f(x)=ex-xg(x)=ex-x-1 例1.设,证明 证: 令: 补充定义f(0)=0. 当时,,f(x)在上是增函数 ∴即x-lnx>0, ∴ 令: ,补充定义f(0)=0. 当: 是增函数 例2: 设,证明不等式。 证明: 令补充定义f(0)=0. 补充定义g(0)=0,则 故由 (1)、 (2)可知, 2、将不等式变形(代换、比商等)后再作差构造函数 例1、证明: 当时,有 分析: 把要证的不等式变形为,然后把相对固定看作常数, 并选取辅助函数.则只要证明在是单调减函数即可. 证明令 于是有 因为故 所以 因而在内恒有,所以在区间内严格递减. 又因为,可知 即 所以 例2. 若 证明: 令 例3、设函数其中证明对任意的正整数, 不等式都成立. 证明: 当时,函数, 令函数, 则. 当时,,所以函数在上单调递增,又. 时,恒有,即恒成立. 故当时,有. 对任意正整数取,则有.所以结论成立. 例4.已知是正整数,且 证明: 分析: 要证成立,只要证 即要证成立。 因为m 只要证f(x)在是减函数。 证明: 设函数,则 即: 因为: 所以: ,所以在是减函数,而 所以,即; 从而: 。 3、根据不等式两边相同“形式”的结构特征,构造“形似”函数模型 例1.已知n>0,证明: . 证明: 令,则. 当时,, 所以函数在上单调递减. ∴当时,,即. 分别取. 得. 即. 也即. 即. 例2.已知n>0,证明: . 证明: 令,则. 当时,, 所以函数在上单调递增. ∴当时,,即. 分别取. 得. 即. 也即. 即. 方法二: 函数极值、最值法 如果所要证明的函数型不等式在指定区间上存在极值、最值,可以构造一辅助函数.利用函数的单调性,求出此函数在指定区间上的极值、最值,将不等式的证明问题转化为用导数求函数的极值或最大(小)值问题。 从而使不等式得于证明. 如要证f(x)>g(x),只需证明函数F(x)=f(x)-g(x)的最小值大于O; 如要证f(x)≥g(x),只需证明函数F(x)=f(x)-g(x)的最小值等于0; 如要证f(x) 如要证f(x)≤g(x),只需证明函数F(x)=f(x)-g(x)的最大值等于0; (即证大时求小值,证小时求大值;大大于最小值,小小于最大值) 证明方法 用函数最值法证明不等式,其步骤一般是: 构造可导函数——研究单调性和极值——得出不等关系——整理得出结论。 (1)构造辅助函数. ①当不等式两边均含有未知数时,可利用不等式两边之差构造辅助函数; ②当不等式两边含有相同的“形式”时,可利用此形式构造辅助函数; ③当不等式形如(或)(为常数)时,可设为辅助函数. (2)求出在函数的极值与最大、最小值. 例1.证明ex>x 例2.当x>-1时,证明不等式 证明: 设,, 当时,,函数f(x)在减函数; 当时,,函数f(x)在上是增函数。 所以,当x=0时,函数f(x)取到最小值, ∴当x>-1时,f(x)f(0)=0, 即: 当x>-1时,不等式恒成立. 三.求解不等式中参数的取值范围 形如f(x)>0;f(x)<0;f(x)>g(x);f(x) 分离参数法、函数单调性一一讨论法、最值法。 解题技巧: 一般地,: ⑴对于求形如f(x)>0或f(x)<0不等式中的参数取值范围,可用分离参数法、函数单调性一一讨论法、最值法求解。 即: f(x)>0;f(x)<0 ⑵对于求形如f(x)>g(x)或f(x) ⑶对导数作适当的放大或缩小处理时,应作正反丙面的讨论,即;放大时,还要应考虑缩小;缩小时,还应考虑放大,二者选用的不等式不同但所得不等式中参数的范要相同。 (大换大,小换小) 1.分离参数(参数可分离,函数极值可确定)----常用方法 若在不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 即: (1)恒成立; (2)恒成立; (3)有解; (4)有解。 (5)f(x)>0 (6)f(x)<0 例1.设函数,其中常数a>1.若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围。 w.w.w.k. 解: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由知,当时,,故在区间是增函数; 当时,,故在区间是减函数; 当时,,故在区间是增函数。 由上述知: 当时,在或处取得最小值。 由假设知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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