高三三角函数试卷及详细答案.docx
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高三三角函数试卷及详细答案.docx
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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题中只有一项符合题目要求)
1.已知α∈(,π),sinα=,则tan(α+)等于()
A. B.7
C.- D.-7
2.函数y=sin2xcos2x的最小正周期是()
A.2π B.4π
C. D.
3.“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α,β,γ成等差数列”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数y=2sin(-x)+cos(+x)(x∈R)的最小值等于()
A.-3 B.-2
C.-1 D.-
5.已知△ABC的周长为4(+1),且sinB+sinC=sinA,则角A的对边a的值为()
A.2 B.4
C. D.2
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosA=bsinB,则sinAcosA+cos2B=()
A.- B.
C.-1 D.1
7.已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-,]上的最小值是-2,则ω的最小值等于()
A. B.
C.2 D.3
8.(2011·浙江)若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=()
A. B.-
C. D.-
9.已知θ为第二象限角,且cos=-,那么的值是()
A.-1 B.
C.1 D.2
10.(2013·大纲全国)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是()
A.y=f(x)的图像关于点(π,0)中心对称
B.y=f(x)的图像关于直线x=对称
C.f(x)的最大值为
D.f(x)既是奇函数,又是周期函数
11.把函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图像向左平移个单位,所得曲线的一部分如图所示,则ω,φ的值分别为()
A.1, B.1,-
C.2, D.2,-
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则()
A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数
B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数
C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数
D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知tan2θ=2tan2φ+1,则cos2θ+sin2φ的值为________.
14.在△ABC中,若b=5,∠B=,tanA=2,则sinA=________;a=________.
15.(2013·课标全国Ⅰ)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=________.
16.下面有五个命题:
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π.
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=,k∈Z}.
③在同一坐标系中,函数y=sinx的图像和函数y=x的图像有三个公共点.
④把函数y=3sin(2x+)的图像向右平移得到y=3sin2x的图像.
⑤函数y=sin(x-)在[0,π]上是减函数.
其中,真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号)
.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知函数f(x)=,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递减区间.
19.(本小题满分12分)
(2013·大纲全国)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.
(1)求B;
(2)若sinAsinC=,求C.
20.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足ac=a2+c2-b2.
(1)求角B的大小;
(2)若|-|=2,求△ABC面积的最大值.
21.(本小题满分12分)
在△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,·=8,∠BAC=θ,a=4.
(1)求bc的最大值及θ的取值范围.
(2)求函数f(θ)=2sin2(+θ)+2cos2θ-的最值.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(1+)sin2x+msin(x+)sin(x-).
(1)当m=0时,求f(x)在区间[,]上的取值范围;
(2)当tanα=2时,f(α)=,求m的值.
答案
一、选择题1.
答案,A
解析,∵α∈(,π),sinα=,∴cosα=-,tanα=-.∴tan(α+)==.
2.
答案,D
解析,y=sin2xcos2x=sin4x,所以最小正周期为T==.
3.
答案,B
解析,若等式sin(α+γ)=sin2β成立,即α+γ=2β+2kπ,或α+γ+2β=π+2kπ,k∈Z;若α,β,γ成等差数列,即α+γ=2β,可得等式sin(α+γ)=sin2β成立.
4.
答案,A
解析,y=2sin(-x)+cos(+x)=2cos[-(-x)]+cos(+x)=2cos(+x)+cos(+x)=3cos(+x).
当x=π+2kπ,k∈Z时,ymin=-3.
5.
答案,B
解析,因为sinB+sinC=sinA,所以由正弦定理得b+c=a,又周长为4(+1),所以a=4.
6.
答案,D
解析,∵acosA=bsinB,∴sinAcosA=sin2B.
∴sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.
7.
答案,B
解析,方法一:
画图知[-,]内包含最小值点,∴≤,即≤,∴ω≥.
方法二:
∵f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-,]上的最小值是-2时,ωx=2kπ-,x=-(k∈Z),∴-≤-≤,得⇒ω≥.
8.
答案,C
解析,根据条件可得α+∈(,π),-∈(,),所以sin(α+)=,sin(-)=.
所以cos(α+)=cos[(+α)-(-)]
=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-)
=×+×=.
9.
答案,C
解析,由θ为第二象限角知在第一、三象限,又由cos=-<0知是第三象限角,且cos>sin.
故===1.
10.
答案,C
解析,由题意知f(x)=2cos2x·sinx=2(1-sin2x)sinx.
令t=sinx,t∈[-1,1],则g(t)=2(1-t2)t=2t-2t3.
令g′(t)=2-6t2=0,得t=±.
当t=±1时,函数值为0;
当t=-时,函数值为-;
当t=时,函数值为.
∴g(t)max=,即f(x)的最大值为.故选C.
11.
答案,D
解析,由题知,×=-,∴ω=2,∵函数的图像过点(,0),∴2(+)+φ=π.∴φ=-.故选D.
12.
答案,A
解析,∵T=6π,∴ω===.
又∵f()=2sin(×+φ)=2sin(+φ)=2,
∴+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.
又∵-π<φ≤π,∴φ=.∴f(x)=2sin(+).
∴f(x)的单调递增区间为[-π+6kπ,+6kπ],单调递减区间为[+6kπ,π+6kπ],k∈Z.
观察各选项,故选A.
二、填空题13.答案,0
解析,由tan2θ=2tan2φ+1,得
cos2θ===-.
∴cos2θ+sin2φ=-+sin2φ=-sin2φ+sin2φ=0.
14.答案,,,2
解析,∵tanA==2,∴sinA=.又∵b=5,B=,根据正弦定理,得a===2.
15.答案,-
解析,f(x)=sinx-2cosx=(sinx-cosx),
令cosα=,sinα=-,则f(x)=sin(α+x).
当x=2kπ+-α(k∈Z)时,sin(α+x)有最大值1,f(x)有最大值,即θ=2kπ+-α(k∈Z),
所以cosθ=cos(2kπ+-α)=cos(-α)=sinα=-=-.
16.
答案,①④
解析 考查①y=sin2x-cos2x=-cos2x,所以最小正周期为π.
②k=0时,α=0,则角α终边在x轴上.
③由y=sinx在(0,0)处切线为y=x,所以y=sinx与y=x图像只有一个交点.
④y=3sin(2x+)图像向右平移个单位得
y=3sin[2(x-)+]=3sin2x.
⑤y=sin(x-)=-cosx在[0,π]上为增函数,综上知①④为真命题.
三、解答题17.
答案,偶函数,{y|-1≤y<或 解析,由cos2x≠0,得2x≠kπ+,解得x≠+,k∈Z. 所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠+,k∈Z}. 因为f(x)的定义域关于原点对称, 且f(-x)= ==f(x), 所以f(x)是偶函数. 当x≠+,k∈Z时, f(x)= ==3cos2x-1, 所以f(x)的值域为{y|-1≤y<或 18. 答案, (1){x∈R|x≠kx,k∈Z},T=π (2)[kπ+,kπ+](k∈Z) 解析, (1)由sinx≠0,得x≠kπ(k∈Z). 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. 因为f(x)=(sinx-cosx) =2cosx(sinx-cosx) =sin2x-cos2x-1 =sin(2x-)-1, 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z). 由2kπ+≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z), 得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z). 所以f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). 19. 答案, (1)120° (2)15°或45° 解析, (1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac. 由余弦定理,得cosB==-,因此B=120°. (2)由 (1)知A+C=60°, 所以cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=+2×=. 故A-C=30°或C-A=30°,因此C=15°或C=45°. 20. 答案 (1), (2) 解析 (1)∵在△ABC中,ac=a2+c2-b2, ∴cosB==. ∵B∈(0,π),∴B=. (2)∵|-|=2,∴||=2,即b=2. ∴a2+c2-ac=4. ∵a2+c2≥2ac,当且仅当a=c=2时等号成立, ∴4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,即ac≤4. ∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤. ∴当a=b=c=2时,△ABC的面积取得最大值为. 21. 答案 (1)16,0<θ< (2)f(θ)min=2 f(θ)max=3 解析 (1)∵·=8,∠BAC=θ,∴bc·cosθ=8. 又∵a=4,∴b2+c2-2bccosθ=42,即b2+c2=32. 又b2+c2≥2bc,∴bc≤16,即bc的最大值为16. 而bc=,∴≤16. ∴cosθ≥.又0<θ<π,∴0<θ≤. (2)f(θ)=2sin2(+θ)+2cos2θ- =·[1-cos(+2θ)]+1+cos2θ- =sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+)+1. ∵0<θ≤,∴<2θ+≤. ∴≤sin(2θ+)≤1. 当2θ+=,即θ=时,f(θ)min=2×+1=2; 当2θ+=,即θ=时,f(θ)max=2
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