控制测量概述及坐标计算Word格式.docx
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沿地质构造稳定、交通不太繁忙、地势平缓交通路线布设构成网状,环线周长1000〜2000km,视地形条件而定。
二等水准网:
是国家高程控制全面基础,在一等水准环内沿主要公路、铁路及河流布设,环线周长500~750km。
三、四等水准网:
在高等水准环内进一步加密。
三等水准网布设成附合路线,并尽量交叉,环线长不超过300km,单独附合路线不超过200km。
四等水准一般以附合路线形式布设在高等水准点之间,附合路线长不超过
80knio
二、矿区控制测量概述
在一个矿区内,当国家控制点较少时,为了满足地质勘探、矿井建设和生产需要,应根据矿区范围大小,顾及发展远景,在国家控制点基础上,加密矿区首级控制网,网中控制点也要埋石造标,永久保存。
控制点测算成果是矿区一切测量工作基本依据。
矿区控制网主要作用,在于保证矿区开发各个阶段中所进行地形测图和工程测量需要。
例如在地质勘探阶段,需要测绘比例尺为1:
5000或者1:
10000地形图;
在矿井设计、施工和生产阶段,需要测绘1:
500〜1:
5000地形图。
而且各个阶段有许多工程需要进行施工测量,例如钻孔位置标定,矿区内公路、铁路、输电线测量,井口定位、工业广场布置以及两井间巷道贯通等等,都要以矿区控制网为依据。
我国矿区进行大量平面控制测量工作,都是严格按照国家有关规范测设,例如《]:
10001:
20001:
5000比例尺地形测量规范》、《工程测
量规范》、《城市测量规范》等等。
这些都是建立矿区测量控制网重要技术文件。
表5-1是矿区平面控制测量主要技术规格及精度要求。
表5-1平面控制测量主要技术规格及精度要求
等
平均
测
最弱边
测回
数
三角形
级
边长
角
相对中误差
Ji
J2
Jg
最大闭
KM
中误
口左
差
〃
C)
三
5〜
1.6
1/80000
9
12
7
四
8
5"
2.5
1/50000
6
10〃
2〜
5
1/20000
3
15
10
1/10000
2
30
0.8〜
0.5〜
1
目前,各地小煤矿发展较快。
那些面积小于10平方公里小矿区,由于附近缺少国家控制点,又缺少原始测量资料,联测比较困难。
遇到这种情况时,参照表5-1测设独立5"
或10〃小三角作为矿区首级平面控制网(参见第一章第一节)。
采用独立平面直角坐标系统,合理选择坐标原点,将测区置于第一象限内,避免X,Y值出现负数。
可假定网中某点起算坐标精确测量出网中三角形某边磁方位角作为起算方位角,该边磁北方向即为坐标纵轴方向。
这样布测小矿区首级控制网是小矿区一切测量工作基本依据。
矿区基本高程控制应在国家等级水准点基础上建立。
一般来说,大矿区应测设三等水准作为基本高程控制,中等矿区应测设四等水准,小矿区可用等外水准作为基本高程控制。
由于矿区需要测绘大比例尺地形图,以及要进行井上、下各种工程建筑物定位和施工放样工作,因此,作为矿区基本高程控制水准路线长度应予适当缩短,以加大水准点密度,保证各种高
程测量精度。
矿区各级水准路线布设长度,一般不应超过表5-2规定。
三、图根控制测量概述
直接用于测绘地形图控制点称为图根控制点,简称图根点。
对图根点进行平面测
表5-2矿区各级水准路线布设要求
闭合环线周长及高级点间
结点间路线
支线长
路线长km
长
km
三等水
60
35
准
25
四等水
4
等外水
量和高程测量称为图根控制测量,其任务是通过测量和计算,得到各点平面坐标和高程,并将这些点精确地展绘在有坐标方格网图纸上,作为测图控制。
测图平面控制网(或称图根网)是在国家三、四等三角点或矿区首级控制点基础之上加密测设。
这些高等级点分布密度比较稀,不能满足测图要求。
以四等三角点为例,相邻两点间距离通常为2〜5Km,而地形图要求两图根点平均距离对1:
5000比例尺来说应不大于500m,对1:
2000比例尺应不大于350m,对1;
1000比例尺应不大于170m,对1;
500比例尺应不大于100m,因此需要在等级控制网以下进一步加密,建立等级更低控制。
加密图根控制点主要方法有小三角测量、导线测量,其次是交会定点。
目前多数测绘单位已用GPS测量代替图根控制测量。
图根高程控制测量是以三、四等水准网作为基本高程控制,其下布设等外水准和三角高程网即可作为小测区首级控制,又可作为测图控制。
等外水准测量和三角高程测量精度施测要求见本书第三章。
二计算坐标及坐标方位角基本公式
控制测量主要目是通过测量和计算求出控制点坐标,控制点坐标是根据边长及方位角计算出来。
下面介绍计算坐标及坐标方位角基本公式,这些公式是矿山测量工中最基本最常用公式。
一、坐标正算和坐标反算公式
1.坐标正算
根据已知点坐标和已知点到待定点坐标方位角、边长计算待定点坐标,这种计算在测量中称为坐标正算。
如图5-5所示,已知A点坐标为、,A到B边长和坐标方位角分别为S肿和aAB,则待定点B坐标为
+Axab}(5
—1)
式中»
.\b、Ay朋坐标增量。
由图5—5可知
^AB=SABcosaAB△>加=S,BSina朋
(5—2)
式中S,\b——水平边长;
——坐标方位角。
将式(5-2)代入式(5-1),则有
心=XA+SABCOSaAB}
=yA+SABsinctAB
(5—3)
当A点坐标、和边长S加及其坐标方位角a就为已知时,就可以用上述公式计算出待定点B坐标。
式(5-2)是计算坐标增量基本公式,式(5一3)是计算坐标基本公式,称为坐标正算公式。
从图5—5可以看出心肋是边长在X轴上投影长度,4>加是边长,出在y轴上投影长度,边长是有向线段,是在实地由A量到B得到正值。
而公式中坐标方位角可以从0°
到360°
变化,根据三角函数定义,坐标方位角正弦值和余弦值就有正负两种
情况,其正负符号取决于坐标方位角所在象限,如图5—6所示。
从式(5一2)知,由于三角函数值正负决定了坐标增量正负,其符号归纳成表5
—3o
图5—5坐标计算
图5—6坐标增量符
表5—3坐标增量符号表
坐标方位角
(°
)
所在象限
坐标增量正负号
Z1X
/y
0〜90
I
+
90〜180
II
—
180〜270
III
270〜360
IV
例1已知A点坐标二100.00m,二300.10m;
边长二100m,方位角5讦330°
□
求B点坐标、。
解:
根据公式(5-3)有
xB=xA+sABcosaAB=100+100cos330°
=186.\m
yB=yA+sABsinaAB=300.1+100-sin330°
=249.6m
2、坐标反算
由两个已知点坐标计算出这两个点连线坐标方位角和边长,这种计算称为坐标反算。
由式(5—1)有
^AB=XB-XA}(5
叽=-5
_4)
该式说明坐标增量就是两点坐标之差。
在图5—5中心朋表示由A点到达B点纵坐标之差称纵坐标增量;
①加表示由A点到B点横坐标之差称横坐标增量。
坐标增量也有正负两种情况,它们决定于起点和终点坐标值大小。
在图5—5中如果A点到B点坐标已知,需要计算AB边坐标方位角5〃和边长时S』\b,
则有
S^=^r=^r}(5-5)
cos%sing
或S\b=JWmF+GVmF
公式(5—5)称为坐标反算公式。
应当指出,使用公式(5-5)中第
一式计算角是象限角R,应根据Nx、/y正负号,确定所在象限,再将象
限角换算为方位角。
因此公式(5-5)中第一式还可表示为:
例2-已知=300m,二500m,二500m,二300m,求A、B二点连线坐标方位角乙怡和边长S.、b。
由公式(5-5)有
厂-yAjuu-buuz小
R=arctan—__—=arctan=arctan(-l)
輛Xr_心500_300
因为山加为正、①加为负,直线AB位于第四象限。
所以Rab=NW45°
根据第四象限坐标方位角及象限角关系得:
=360°
-45°
=315°
AB边长为:
SAli=yl(xB-xA)2+(yB-yA)2=J(500-300)2+(300—500)2=282.8/7?
坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本公式,应用十分广泛。
在测量计算时,由于公式中各元素数字较多,测量规范对数字取位及计算成果作了规定。
例如图根控制点要求边长计算取至毫米;
角度计算取至秒;
坐标计算取至厘米。
二、坐标方位角推算公式
由公式(5-2)知,计算坐标增量需要边长和该边坐标方位角两个要素,
其中边长是
在野外直接测量或通过三角学公式计算得到,坐标方位角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来。
下面介绍坐标方位角推算公式。
如图5-7所示,箭头所指方向为“前进”方向,位于前进方向左侧观测角称为左观测角,简称左角;
位于前进方向右侧角称为右观测角,简称右角。
1.观测左角时坐标方位角计算公式
在图5—7及5—8中,已知AB边方位角为a.,’,为左观测角,需要求得BC边方位角^Co是外业观测得到水平角,从图上可以看出已知方位角&
朋及左观测角之和有两种情况:
即大于180°
或小于180°
o图5-7中为大于180°
情况,图5-8中为小于180°
情况。
图5-7坐标方位角推算图5-8坐标方位角推算
从图5—7可知,BC边坐标方位角为
aBC=<
XAB+Pl5.-180*
从图5—8可知,BC边坐标方位角为
综上所述两式则有
珀二N+0左±
18°
°
(5
—6)
式(5-6)是按照边前进方向,根据后一条边已知方位角计算前一条边方位角基本公式。
公式说明:
导线前一条边坐标方位角等于后一条边坐标方位角加上左观测角,其和大于180°
时应减去180°
小于180°
时应加上180°
o
2.观测右角时坐标方位角计算公式
从图5-7或图5-8可以看出
0左=360。
-0右
将该式代入式(5-6),得
张=(q后—0右±
180。
)+360°
当方位角大于360°
时,应减去360°
方向不变。
所以上式变为
%“后—0占±
(5-7)
上式说明:
导线中,前一条边坐标方位角等于后一条边坐标方位角减去右观测角,
其差大于180°
时应加上180°
使用式(5-6)及(5-7)时,还应注意相应两条边前进方向必须一致,计算结果大于360。
时,则应减去360°
例3图5-9为一条支导线,己知A点坐标方位角勺八二101°
28:
导
线A点左观测角二108°
32'
M点右观测角二75°
。
试推算坐标方位角
aAM>
aMN。
由式(5-6)得
由式(5-7)得
图5-9支导线
乙m=%+0左±
0加=101°
28'
+108°
32'
-180°
=30°
勺小=30°
-75°
+180°
=135°
利用多面体顶点坐标计算多边形面积
南海区大沥高级中学江福松2006年6月26日
在平面直角坐标系或空间直角坐标系中,经常会遇到需要求某个多边形面积或多面体体积问题。
但是有时题目给却是多面体或多边形顶点坐标。
尤其是三维空间坐标。
计算其面积时会比较麻烦。
下面利用多面体顶点坐标利用向量方法推导多边形面积。
一、平而直角坐标系中坐标求面积公式推导:
(1)三角形面积:
设三角形ABC三个顶点坐标分别
(X1,Y1),(X2,y:
),(x3,yj
则AB=(x2-Xi,y2-yi),AC=(x3一几旳一yj。
令x2-x1=m,y2-yi=n
xs—xi二p,y3一刃二贝9
AB=(n),AC=(〃,g)
设43,AC夹角为,则三角形ABC面积为:
S=-ABAC|sin二丄ABACJl—cos?
^
22
=1|a5||ac|)i_(皿:
)・(阳)二^
2qJ〃厂+n2・'
p-+q-
yjnr+n2--J/?
2+q2
yj(nr+n2)-(p2+q1)-(mp+nq)1
-Imq—npi
⑵平行四边形ABCD面积:
(可以看作两个相等三角形面积之和)
s二Sabd+SBCD=2SABD=Imq-np\
同理,对梯形,五边形,六边形等平面图形,都可以将它们转化为求
三角形面积进行求解。
二、空间直角坐标系中用坐标求面积公式推导:
在空间直角坐标系中由三角形ABC三个顶点坐标分别求得(x“yi,Z1),(x2,y:
>
ZJ,(x3,y3,zj・
AB二(m,n,e),AC=(p,q,f)
则三角形ABC面积为:
ABAC
sin二丄ABACIJl—cosS
及求平面图形面积一样可以求出四边形,五边形,六边形面积等。
或者可以这样记法:
若AB二(和必心),AC=(x2,y2,z2)则三角形ABC面积为
公式中三组数平方对应如下:
(兀2,歹2,5)
二、例题应用:
例1(二维空间面积求法):
已知平行四边形ABCD四个顶点坐标分别是:
A(1,2),B(3,4),C(4,7),D(2,5)。
求平行四边形ABCD面积。
解:
由己知:
AB=(2,2)
AD=(1,3)
所以,平行四边形ABCD面积:
S二Sabd+sbcd=2S冏)二\mq-np=2x3-2xl1=4
例2(三维空间面积求法):
在空间直角坐标系中,已知三角形ABC坐标分别是A(2,1,3),B(3,1,-2),C(5,2,4)求三角形ABC面积。
AB=(1,0,-5),
AC=(3,1,1)
所以,三角形ABC面积为:
空间坐标公式,就不用考虑图形具体情况了,我们要只是三角形顶点
坐标而已。
对于三角形ANM,显然:
而二(0,2,1),丽二(1,1,1)
三角形AMN面积:
S二£
J(“y2—勺风)2+(X]Z2-gZ])'
+(),忆2—
=—J(lx2-1x0)'
+(1x1-1x2)'
+(1x1-1x0)'
2
而点P到面AMN距离可以用法向量方法求解:
设面AMN法向量为二(x,y,z)o则有:
则z二-2,x=1,所以:
=(1,1,-2)•
所以点P到面AMN距离
I帀•;
;
I_I(0Q2)•(1,1,-2)I_2拓InI\/63
由锥体体积公式得:
V=—Sh=—xy[6x—y/b=—3333
特别地,对于一些不规则多边形或非特殊形状多边形,如果能求出它
们各个顶点坐标,利用多面体顶点坐标计算多边形面积,可以避免许多比较复杂常规运算。
多面体顶点坐标计算多边形面积公式运用可以将复杂问题简单化。
S二*J(x』2—勺儿)2+仗忆2—wz}+()淀2—
=-J(lxl-Ox3)*2+(lxl-(-5)x3)2+(Oxl-(-5)xl)2
=-V282
例3:
四棱锥P-ABCD底面ABCD是直角梯形,PA底面ABCD,PA二AB二BC二2,AD二4,BCAB,ADAB,点M,N分别是PD,PC中点。
求四棱锥P-AMN体积。
分析:
建立空间直角坐标系如图:
易知,各点坐标如下:
M(0,2,1),N(1,1,1),A(0,0,0),P(0,0,4)
如果要求四棱锥P-AMN体积,关键是要求出:
1、其中一个底面面积。
2、该底面对应顶点到底面距离。
当多边形底面不是特殊规则图形(如直角三角形、等边三角形、平行
四边形梯形等等)时求面积可能就不是那么容易。
但是如果用三角形
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