河南省洛阳市东方第二中学学年八年级上期期中考试数学试题解析版Word格式文档下载.docx
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(﹣0.125)2017×
82018= .
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°
,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC= 度.
13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A= ,∠C= .
14.如图,一副三角板如图所示叠放在一起,AB=10,则阴影部分的面积为 .
15.如图,在△ABC中,∠C=90°
,
BC=6,D为线段AC的中点,把△ABC沿BD折叠,C点的对应点为点E,若△ADE为直角三角形,则CD= .
三、解答题(共75分)
16.(10分)计算:
(1)﹣x2•x3+4x3•(﹣x)2﹣2x•x4
(2)﹣2m2•m3﹣(﹣3m)3•(﹣2m)2﹣m•(﹣3m)4
17.(5分)已知27b=9×
3a+3,16=4×
22b﹣2,求a+b的值.
18.(5分)若2a=3,2b=5,求22a+3b+1的值.
19.(8分)已知,如图,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,
求证:
AD=CF.
20.(9分)如图,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别是C、D.
求
证:
(1)OC=OD,
(2)OE是线段CD的垂直平分线.
21.(9分)如图,在平面直角坐标系中,A(1,2)、B(3,1)、C(﹣2,﹣1)
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)写出A1、B1、C1的坐标;
(3)求△A1B1C1的面积.
22.(9分)如图在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于点F,交AB于点E.求证:
BF=
FC.
23.(10分)在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)
【观察猜想】当点E在AB的中点时,如图1,过点E作EF∥BC,交AC于点F,观察猜想得到线段AE与DB的大小关系是 ;
(2)
【探究证明】当点E不是AB的中点时,如图2,上述结论是否成立,如果成立,请写出解答过程,如果不成立,请说明理由;
(3)
【拓展延伸】在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,若△ABC的边长为2,AE=1,求CD的长(请直接写出结果).
24.(10分)
(1)发现:
如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.
填空:
当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a、b的式子表示);
(2)应用:
点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=2,如图2,分别以AB、AC为边,作等边三角形ABD和等边△ACE,连接CD、BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;
②直接写出线段BE长的最大值;
③直接写出△DBC面积的最大值.
参考答案
一、选择题
【分析】利用同底数幂的乘法,合并同类项法则判断即可.
解:
A、原式=y8,符合题意;
B、原式=0,不符合题意;
C、原式=2x5,不符合题意;
D、原式=a5,不符合题意,
故选:
A.
【点评】此题考查了同底数幂的乘法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
【分析】根据积的乘方的性质进行计算,然后直接选取答案即可.
(ab2)3=a3•(b2)3=a3b6.
D.
【点评】本题考查积的乘方,把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解.
∵23×
83=23×
29=212=2n,
∴n=12.
【点评】本题考查了幂
的乘方和积的乘方,解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则.
【分析】此外角可能是顶角的外角,也可能是底角的外角,需要分情况考虑,再结合三角形的内角和为180°
,可求出顶角的度数.
①若100°
是顶角的外角,则顶角=1
80°
﹣100°
=80°
;
②若100°
是底角的外角,则底角=180°
,那么顶角=180°
﹣2×
=20°
.
C.
【点评】当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时,需分两种情况考虑,再根据三角形内角和180°
、三角形外角的性质求解.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得AB=AC,AE=AD,再由CD=AC﹣AD即可求出其长度.
∵△ABD≌△ACE,
∴AB=AC=6,AE=AD=4,
∴CD=AC﹣AD=6﹣4=2,
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质,根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出对应角是解题的关键.
【分析】根据SAS推出△ABD≌△ACD,求出∠B=∠C,BE=CF,根据全等三角形的判定推出△BDE≌△CDF,△AED≌△AFD,△AFB≌△AEC即可.
全等三角形有:
△ABD≌△ACD,△BDE≌△CDF,△AED≌△AFD,△AFB≌△AEC,共4对,
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的对应角相等,对应边相等.
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD=BD,再利用已知条件三角形的周长计算.
∵△DBC的周长=BC+BD+CD=35cm(已知)
又∵DE垂直平分AB
∴AD=BD(线段垂直平分线的性质)
故BC+AD+CD=35cm
∵AC=AD+DC=20(已知)
∴BC=35﹣20=15cm.
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质.
【分析】根据角平分线的性质得到OE=OF=OD,设OE=x,然后利用三角形面积公式得到S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OCB,于是可得到关于x的方程,从而可得到OF的长度.
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点,
∴OE=OF=OD,
设OE=x,
∵S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OCB,
∴
×
6×
8=
OF×
10+
OE×
6+
OD×
8,
∴5x+3x+4x=24,
∴x=2,
∴点O到AB的距离等于2.
【点评】本题考查了角平分线的性质:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等,面积法的应用是解题的关键.
【分析】根据全等三角形的性质和角的和差得到∠AOC=∠BOD,由三角形外角的性质得到∠AOD=∠BOC=∠A+∠C=50°
,根据平角的定义即可得到结论.
∵△AOC≌△BOD,
∴∠AOC=∠BOD,
∴∠AOD=∠BOC=∠A+∠C=50°
∴∠COD=180°
﹣∠AOD﹣∠BOC=80°
B.
【点评】本题考查了全等三角形的性质,三角形的内角和,三角形的外角的性质,平角的定义,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.
【分析】根据题意,结合图形,分两种情况讨论:
①OA为等腰三角形底边;
②OA为等腰三角形一条腰.
如上图:
①OA为等腰三角形底边,符合符合条件的动点P有一个;
②OA为等腰三角形一条腰,符合符合条件的动点P有三个.
综上所述,符合条件的点P的个数共4个.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质;
利用等腰三角形的判定来解决实际问题,其关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,再利用数学知识来求解.
82018= ﹣8 .
【分析】首先把82018化为82017×
8,然后再计算(﹣0.1
25)2017×
82017,进而可得答案.
原式=(﹣0.125)2017×
82017×
8=(﹣0.125×
8)2017×
8=﹣1×
8=﹣8,
故答案为
:
﹣8.
【点评】此题主要考查了积的乘方和同底数幂的乘法,关键是掌握(ab)n=anbn(n是正整数).
,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则∠DBC= 30 度.
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相可得AD=BD,根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A,然后求解即可.
∵AB=AC,∠A=40°
∴∠ABC=
(180°
﹣∠A)=
﹣40°
)=70°
∵MN垂直平分线AB,
∴AD=BD,
∴∠ABD=∠A=40°
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°
=30°
故答案为:
30.
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰三角形两底角相等的性质,等边对等角的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.
13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A= 36°
,∠C= 72°
.
【分析】首先设∠A=x°
,利用等腰三角形的性质与三角形的外角的性质,即可用x表示出∠ABC与∠C的度数,又由三角形内角和定理,即可求得x的值,继而求得答案.
设∠A=x°
∵BD=AD,
∴∠ABD=∠A=x°
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°
∵BD=BC,
∴∠C=∠BDC=2x°
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=2x°
∵在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°
∴x+2x+2x=180,
解得:
x=36,
∴∠A=36°
,∠C=72°
36°
,72°
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理.此题难度适中,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
14.如图,一副三角板如图所示叠放在一起,AB=10,则阴影部分的面积为 12.5 .
【分析】直接利用直角三角形的性质得出AC的长,进而得出CF的长,即可得出答案.
如图所示:
∵AB=10,∠B=30°
,∠ACB=90°
∴AC=5,
∵BC∥ED,
∴∠AFC=∠D=45°
∴AC=CF=5,
∴阴影部分的面积为:
5×
5=12.5.
12.5.
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质,正确得出AC,CF的长是解题关键.
,BC=6,D为线段AC的中点,把△ABC沿BD折叠,C点的对应点为点E,若△ADE为直角三角形,则CD= 6 .
【分析】由折叠可得,∠CDB=∠EDB,由∠CDE=90°
,即可得到∠CDB=45°
,∠CBD=45°
,即可得出CD=CB.
由折叠可得,∠CDB=∠EDB,
∵Rt△ADE中,∠ADE=90°
∴∠CDE=90°
∴∠CDB=45°
∴∠CDB=∠CBD,
∴CD=CB=6,
6.
【点评】本题考查的是翻转变换的性质,翻转变换是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
【分析】
(1)先计算同底数幂的乘法,后合并同类项;
(2)先计算同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方,后合并同类项.
(1)原式=﹣x5+4x5﹣2x5=x5;
(2)原式=﹣2m5+27m3•4m2﹣81m5=(﹣2+108﹣81)m5=105m5.
【点评】考查了单项式乘单项式,同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方,属于基
础计算题,熟记计算法则即可解题.
【分析】根据27b=9×
22b﹣2,可以求得a、b的值,从而可以求得a+b的值.
∵27b=9×
22b﹣2,
∴(33)b=32×
3a+3,24=22×
∴33b=3a+5,24=22b,
解得,
∴a+b=1+2=3.
【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方,解答本题的关键是明确它们各自的计算方法.
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案.
∵2a=3,2b=5,
∴22a+3b+1=(2a)2×
(2b)3×
2
=32×
53×
=2250.
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算,正确将原式变形是解题关键.
【分析】根据两直线平行,内错角相等可得∠A=∠ECF,∠ADE=∠F,然后利用“角角边”证明△ADE和△CFE全等,根据全等三角形对应边相等证明即可.
证明:
∵FC∥AB,
∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F,
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(AAS),
∴AD=CF.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的性质,比较简单,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
(1)先根据E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA得出△ODE≌△OCE,可得出OC=OD即可;
(2)由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线.
∵E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE,OE=OE,
在Rt△ODE与Rt△OCE中,
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL
),
∴OC=OD;
(2)∵△DOC是等腰三角形,
∵OE是∠AOB的平分线,
∴OE是CD的垂直平分线.
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键.
(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可;
(3)利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积,列式计算即可得解.
(1)△A1B1C1如图所示;
(2)A1(﹣1,2)B1(﹣3,1)C1(2,﹣1);
(3)△A1B1C1的面积=5×
3﹣
1×
2﹣
2×
5﹣
3×
3,
=15﹣1﹣5﹣4.5,
=15﹣10.5,
=4.5.
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
【分析】连接AF,根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠C=30°
,根据线段的垂直平分线的性质得出BF=AF,推出∠BAF=∠B=30°
,求出∠FAC=90°
,根据含30度角的直角三角形性质求出即可.
连接AF,
∵AB=AC,∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°
∵EF为AB的垂直平分线,
∴BF=AF,
∴∠BAF=∠B=3
0°
∴∠FAC=120°
﹣30°
=90°
∵∠C=30°
∴AF=
CF,
∵BF=AF,
∴BF=
【点评】本题考查了线段垂直平分线,等腰三角形性质,三角形内角和定理,含30度角的直角三角形性质的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.
【观察猜想】当点E在AB的中点时,如图1,过点E作EF∥BC,交AC于点F,观察猜想得到线段AE与DB的大小关系是 AE=DB ;
(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°
,求出∠DEB=30°
,求出BD=BE即可;
(2)过E作EF∥BC交AC于F,求出等边三角形AEF,证△DEB和△ECF全等,求出BD=EF即可;
(3)根据
(2)的结论计算即可.
(1)如图1,∵△ABC是等边三角形,点E是AB的中点,
∴CE平分∠ACB,CE⊥AB,
∴∠ACB=60°
,∠BEC=90°
,AE=BE,
又∵ED=EC,
∴∠D=∠ECB=30°
∴∠DEC=120°
∴∠DEB=120°
﹣90°
∴∠D=∠DEB=30°
∴BD=BE=AE,即AE=DB.
AE=DB.
(2)如图2,当点E为AB上任意一点时,AE=DB.理由如下:
如图2,过E作EF∥BC交AC于F,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°
,AB=AC=BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°
,∠AFE=∠ACB=60°
,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF,
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°
∴∠DBE=∠EFC=120°
,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°
∵DE=EC,
∴∠D=∠ECD,
∴∠BED=∠ECF,
在△DEB和△ECF中,
∴△DEB≌△ECF(AAS),
∴BD=EF=AE,即AE=BD,
(3)如图2,当点E在线段AB上时,CD=BC+BD=BC+AE=2+1=3.
当点E不在线段AB上时,CD=BC﹣AE=2﹣1=1.
综上所述,CD线段
的长度是3或1.
【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的外角性质等知识点的应用,解
(2)小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF,解(3)题是利用
(2)的结论.
当点A位于 CB的延长线上 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 a+b (用含a、b的式子表示);
(1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;
(2)①根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°
,推出△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE;
②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据
(1)中的结论即可得到结果;
③作DP⊥CB,交CB延长线于点P,当DB⊥BC时,DP取得最大值,最大值为2,再根据三角形的面积公式求解可得.
(1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,
∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b,
故答
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