高一数学必修二《圆与方程》知识点整理.doc
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《圆与方程》知识点整理
一、标准方程
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心和半径
①待定系数:
往往已知圆上三点坐标,例如教材例2
②利用平面几何性质
往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:
相切和相交
相切:
利用到圆心与切点的连线垂直直线
相交:
利用到点到直线的距离公式及垂径定理
二、一般方程
1.表示圆方程则
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:
3.常可用来求有关参数的范围
三、圆系方程:
四、参数方程:
五、点与圆的位置关系
1.判断方法:
点到圆心的距离与半径的大小关系
点在圆内;点在圆上;点在圆外
2.涉及最值:
(1)圆外一点,圆上一动点,讨论的最值
(2)圆内一点,圆上一动点,讨论的最值
思考:
过此点作最短的弦?
(此弦垂直)
六、直线与圆的位置关系
1.判断方法(为圆心到直线的距离)
(1)相离没有公共点
(2)相切只有一个公共点
(3)相交有两个公共点
这一知识点可以出如此题型:
告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.
2.直线与圆相切
(1)知识要点
①基本图形
②主要元素:
切点坐标、切线方程、切线长等
问题:
直线与圆相切意味着什么?
圆心到直线的距离恰好等于半径
(2)常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数
点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无
②求切线方程的方法及注意点
i)点在圆外
如定点,圆:
,[]
第一步:
设切线方程
第二步:
通过,从而得到切线方程
特别注意:
以上解题步骤仅对存在有效,当不存在时,应补上——千万不要漏了!
如:
过点作圆的切线,求切线方程.
答案:
和
ii)点在圆上
1)若点在圆上,则切线方程为
会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目.
2)若点在圆上,则切线方程为
碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果.
由上述分析,我们知道:
过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系,得出切线的条数.
③求切线长:
利用基本图形,
3.直线与圆相交
(1)求弦长及弦长的应用问题
垂径定理及勾股定理——常用
弦长公式:
(暂作了解,无需掌握)
(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合):
直线过定点,而定点恰好在圆内.
(3)关于点的个数问题
例:
若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1,则半径的取值范围是_________________.答案:
4.直线与圆相离
会对直线与圆相离作出判断(特别是涉及一些参数时)
七、对称问题
1.若圆,关于直线,则实数的值为____.
答案:
3(注意:
时,,故舍去)
变式:
已知点是圆:
上任意一点,点关于直线的对称点在圆上,则实数_________.
2.圆关于直线对称的曲线方程是________________.
变式:
已知圆:
与圆:
关于直线对称,则直线的方程为_______________.
3.圆关于点对称的曲线方程是__________________.
八、最值问题
方法主要有三种:
(1)数形结合;
(2)代换;(3)参数方程
1.已知实数,满足方程,求:
(1)的最大值和最小值;——看作斜率
(2)的最小值;——参数法;截距(线性规划)
(3)的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2.已知中,,,,点是内切圆上一点,求以,,为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
数形结合和参数方程两种方法均可!
3.设为圆上的任一点,欲使不等式恒成立,则的取值范围是____________.答案:
(数形结合和参数方程两种方法均可!
)
七、圆的参数方程
,为参数
,为参数
八、相关应用
1.若直线(,),始终平分圆的周长,则的取值范围是______________.
2.已知圆:
,问:
是否存在斜率为1的直线,使被圆截得的弦为,以为直径的圆经过原点,若存在,写出直线的方程,若不存在,说明理由.
提示:
或弦长公式.答案:
或
3.已知圆:
,点,,设点是圆上的动点,,求的最值及对应的点坐标.
4.已知圆:
,直线:
()
(1)证明:
不论取什么值,直线与圆均有两个交点;
(2)求其中弦长最短的直线方程.
5.若直线与曲线恰有一个公共点,则的取值范围.
6.已知圆与直线交于,两点,为坐标原点,问:
是否存在实数,使,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
九、圆与圆的位置关系
1.判断方法:
几何法(为圆心距)
(1)外离
(2)外切
(3)相交(4)内切
(5)内含
2.两圆公共弦所在直线方程
圆:
,圆:
,
则为两相交圆公共弦方程.
补充说明:
若与相切,则表示其中一条公切线方程;
若与相离,则表示连心线的中垂线方程.
3圆系问题
(1)过两圆:
和:
交点的圆系方程为()
说明:
1)上述圆系不包括;2)当时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦)
(2)过直线与圆交点的圆系方程为
(3)有关圆系的简单应用
(4)两圆公切线的条数问题
①相内切时,有一条公切线;②相外切时,有三条公切线;③相交时,有两条公切线;④相离时,有四条公切线
十、轨迹方程
(1)定义法(圆的定义):
略
(2)直接法:
通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.
例:
过圆外一点作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.
分析:
(3)相关点法(平移转换法):
一点随另一点的变动而变动
动点主动点
特点为:
主动点一定在某一已知的方程所表示的(固定)轨迹上运动.
法2:
(参数法)
设,由,则
设,则
,由得:
参数法的本质是将动点坐标中的和都用第三个变量(即参数)表示,通过消参得到动点轨迹方程,通过参数的范围得出,的范围.
(4)求轨迹方程常用到得知识
①重心,②中点,
③内角平分线定理:
④定比分点公式:
,则,
⑤韦达定理.
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