高一数学必修5不等式题型总结.doc

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含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？

对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按项的系数的符号分类，即;

例1解不等式：

分析：

本题二次项系数含有参数，，故只需对二次项

系数进行分类讨论。

解：

∵

解得方程两根

∴当时,解集为

当时，不等式为,解集为

当时,解集为

例2解不等式

分析因为，，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解

当时，解集为；当时，解集为

二、按判别式的符号分类，即；

例3解不等式

分析本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。

解：

∵∴当即时，解集为；当即Δ＝0时，解集为；

当或即,此时两根分别为，，显然,

∴不等式的解集为

例4解不等式

解因，所以当，即时，解集为；

当，即时，解集为；

当，即时，解集为R。

三、按方程的根的大小来分类，即；

例5解不等式

分析：

此不等式可以分解为：

，故对应的方程必有两解。

本题只需讨论两根的大小即可。

解：

原不等式可化为：

，令，可得：

，∴当或时，，故原不等式的解集为；当或时，,可得其解集为；

当或时,,解集为。

例6解不等式，

分析此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小.

解原不等式可化为：

，对应方程的两根为

，当时，即，解集为；当时，即，解集为

一元二次不等式参考例题

（2）

1．

（1）解不等式（）

（2）不等式的解集为，求的值.（）

2．解下列关于的不等式：

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

3．

（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.（）

（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.（）

4．

（1）已知，

①若，求实数的取值范围.；（）

②若，求实数的取值范围.；（）

③若为仅含有一个元素的集合，求的值.（）

（2）已知，，求实数的取值范围.

（）

（3）关于的不等式与的解集依次为与，

若，求实数的取值范围.（）

（4）设全集，集合，若，

求实数的取值范围.（）

（5）已知全集，，

若，求实数的取值范围.（）

一元二次不等式及其解法

1．二次函数的图象及性质:

二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是．

2．二次函数的解析式的三种形式：

（一般式）；

（零点式）；

（顶点式）．

3．一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解集：

设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

4．解一元二次不等式的步骤：

（1）将二次项系数化为“+”：

A=>0（或<0）（a>0）；

（2）计算判别式，分析不等式的解的情况；

（3）写出解集．

5．讨论二次函数在指定区间上的最值问题：

（1）注意对称轴与区间的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：

①对称轴在区间左边，函数在此区间上具有单调性；②对称轴在区间之内；③对称轴在区间右边．

（2）函数在区间上的单调性．要注意系数的符号对抛物线开口的影响．

6．二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：

①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．

三、典型例题选讲

题型1：

考查一元二次函数的性质

例1函数是单调函数的充要条件是（）

A．B．C．D．

解：

∵函数的对称轴为，

∴函数）是单调函数，．故选A．

归纳小结：

二次函数的单调区间是和，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出的范围．

例2已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析．

解：

∵二次函数的对称轴为，可设所求函数为，∵截轴上的弦长为，

∴过点和，又过点，∴，解之得，

∴．

归纳小结：

求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：

一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化．

题型2：

简单不等式的求解问题

例3求下列不等式的解集．

（1）；

（2）

解法一：

因为．所以，原不等式的解集是．

解法二：

整理，得．

因为无实数解，所以不等式的解集是．从而，原不等式的解集是．

归纳小结：

解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察．

例4不等式的解集为，求与的值．

解法一：

设的两根为、，由韦达定理得：

由题意得∴，，此时满足，．

解法二：

构造解集为的一元二次不等式：

，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故，．

归纳小结：

此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，，的两根为，．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系．

题型3：

含参不等式的求解问题

例5解关于的不等式．

证：

分以下情况讨论

（1）当时，原不等式变为：

，∴，即不等式的解集为

（2）当时，原不等式变为：

　①①当时，①式变为，∴不等式的解为或．即不等式的解集为；②当时，①式变为．②，∵，

∴当时，，此时②的解为．即不等式的解集为；当时，，此时②的解为．

当时，，即不等式的解集为．

归纳小结：

解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：

分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解．

题型4：

一元二次不等式的应用

例6

（1）已知函数，则不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

解：

依题意得

所以，选C．

（2）若函数f（x）=的定义域为R，则a的取值范围为_______．

解：

函数的定义域为R，对一切都有恒成立，即恒成立，

成立，即，，故选A．

归纳小结：

解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，

一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一．

例7已知函数的最大值为，求的值．

解：

令，，∴，对称轴为，当，即时，，得或（舍去）．当，即时，函数在上单调递增，由，得；当，即时，函数在上单调递减，由，得（舍去）．

综上可得，的值为或．

归纳小结：

令，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间的三种位置关系的讨论就可求得的值．此题中要注意的条件．

例8设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围？

解：

有两种情况：

其一是=，此时＜0；其二是M≠，此时=0或＞0，分三种情况计算a的取值范围．设，有==，当＜0时，－1＜＜2，=；当=0时，=－1或2；当=－1时=；当=2时，=

当＞0时，a＜－1或a＞2．设方程的两根，，且＜，那么M=［，］，M1≤x1＜x2≤4，即解得2＜＜，∴M［1，4］时，的取值范围是（－1，）．

一元二次不等式解法应试能力测试

1．不等式的解集是（）

A．B．C．D．

2．设集合M＝{x|0≤x<2}，，则有M∩N＝（）

A．{x|0≤x<1}B．{x|0≤x<2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}

3．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）

A．－1≤a≤0B．－1≤a<0C．－1

4．不等式的解集为（）

A．{x|－2≤x≤2}B．{x|x≤－2或x≥2}C．{x|－2≤x≤2或x＝6}D．{x|x≥2}

5．已知，，则A∩B的非空真子集个数为（）

A．2B．3C．7D．8

6．已知，，且A∪B＝R，A∩B＝{x|3

A．p＝－3，q＝－4B．p＝－3，q＝4C．p＝3，q＝－4D．p＝3，q＝4

7．若关于x的二次不等式的解集是{x|－7

A．1B．2C．3D．4

8．不等式ax

A．a＝0且b≤0B．b＝0且a>0C．a＝0且b>0D．b＝0且a<0

1．不等式的解为_______________．

2．使函数有意义的x的取值范围是_______________．

3．已知，，若，则a的取值范围是_______________；

若，则a的取值范围是_______________．

4．关于x的不等式（a＋b>0）的解集是_______________．

1．为使周长为20cm的长方形面积大于，不大于，它的短边要取多长？

2．解不等式．

3．解关于x的不等式（a>0）．

4．k为何值时，关于x的不等式对一切实数x恒成立．

参考答案

一、

1．D2．B3．C4．C

5．A提示：

因为A∩B＝{3，4}

6．A提示：

因B＝{x|x<－1或x>3}，由已知得A＝{x|－1≤x≤4}∴－1，4是的两根，∴p＝－3，q＝－4．

7．C8．A，提示：

因的解为，只有a＝0且b≤0时，ax

二、

1．x<－5或x>5提示：

原不等式化为，∴|x|>5

2．{x|－32，1≤a≤2，提示：

∵A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|（x－1）（x－a）≤0}，∵，∴a>2

4．{x|x<－b或x>a}，提示：

原不等式可化为（a－x）（x＋b）<0，即（x－a）（x＋b）>0，∵a＋b>0，∴a>－b，∴x>a或x<－b．

三、

1．设长方形较短边长为xcm，则其邻边长（10－x）cm，显然0

∴．2．当x≤0时，不等式无解，当x>0时，不等式化为，即

解得：

3．原不等式化为（ax－2）（x－2）>0，∵a>0，∴，当a＝1时，，∴，∴{x|x∈R且x≠2}，当a≠1时：

若a>1，则，∴，若0

4．∵恒正，∴不等式化为，即恒成立

∴⊿，∴，∴1