版《试吧》高中全程训练计划数学文天天练27Word格式文档下载.docx
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③若直线a∥b,b∥α,则a∥α;
④若直线a∥b,b∥α,则a平行于平面α内的无数条直线.
其中真命题的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
A
命题①,l可以在平面α内,不正确;
命题②,直线a与平面α可以是相交关系,不正确;
命题③,a可以在平面α内,不正确;
命题④正确.
3.[2019·
泉州质检]已知直线a,b,平面α,β,a⊂α,b⊂α,则“a∥β,b∥β”是“α∥β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
因为直线a,b不一定相交,所以a∥β,b∥β不一定能够得到α∥β;
而当α∥β时,a∥β,b∥β一定成立,所以“a∥β,b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
4.已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,M,N分别是线段D1E与C1F上的点,则与平面ABCD垂直的直线MN有( )
A.0条B.1条
C.2条D.无数条
连接AC,A1C1,设D1E与平面AA1C1C相交于点M,在平面AA1C1C内过点M作MN∥AA1交C1F于点N,由C1F与D1E为异面直线知MN唯一,且MN⊥平面ABCD,故选B.
5.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B两点的任一点,则下列关系不正确的是( )
A.PA⊥BCB.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PBD.PC⊥BC
C
由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC,A正确;
由BC⊥PA,BC⊥AC,FA∩AC=A,可得BC⊥平面PAC,BC⊥PC,即B,D正确.
6.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有( )
A.2条B.4条
C.6条D.8条
如图,过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG内(其中D,E,F,G分别为三棱柱棱的中点),易知经过D,E,F,G中任意两点的直线共有C=6条,故选C.
7.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,=( )
A.B.
C.D.
连接AC交BE于点G,连接FG,因为PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面EBF=FG,所以PA∥FG,所以=.因为AD∥BC,AD=BC,E为AD的中点,所以==,所以=.
8.[2019·
四川资阳模拟]在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=120°
,AB=AC=1,PA=,则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为( )
如图,∵PA⊥底面ABC,∴∠PAB=∠PAC=90°
.又AB=AC=1,PA=,∴△PAB≌△PAC(SAS),∴PB=PC.
取BC中点D,连接AD,PD,∴PD⊥BC,AD⊥BC,∴BC⊥平面PAD.
∴平面PAD⊥平面PBC.
过点A作AO⊥PD于点O,可得AO⊥平面PBC,
∴∠APD就是直线PA与平面PBC所成的角.
在Rt△PAD中,AD=ABsin30°
=,PA=,PD==,
sin∠APD==.故选D.
二、非选择题
9.[2019·
杭州模拟]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则EF=________.
根据题意,因为EF∥平面AB1C,所以EF∥AC.又E是AD的中点,所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中,DE=DF=1,故EF=.
10.已知α,β表示两个不同的平面,m,n表示两条不同的直线,且m⊥β,α⊥β,给出下列四个结论:
①∀n⊂α,n⊥β;
②∀n⊂β,m⊥n;
③∃n⊂α,m⊥n.
则上述结论正确的为______.(写出所有正确结论的序号)
②③
由于m⊥β,α⊥β,所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α,则n⊂β或n∥β或n与β相交,所以①不正确;
∀n⊂β,则由直线与平面垂直的性质定理,知m⊥n,②正确;
当m⊂α或m∥α时,∃n⊂α,m⊥n,③正确.
11.[2019·
青岛模拟]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
DM⊥PC(或BM⊥PC等)(不唯一)
如图,连接AC,∵四边形ABCD的各边都相等,∴四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,又AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时,有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
12.[2019·
河北定州中学模拟]如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.下列说法错误的是________(将符合题意的选项序号填到横线上).
①AG⊥△EFH的在平面;
②AH⊥△EFH所在平面;
③HF⊥△AEF所在平面;
④HG⊥△AEF所在平面.
①③④
根据条件AH⊥HE,AH⊥HF,所以AH⊥平面EFH,故AG不可能垂直平面EFH,所以①错误;
②正确;
③若HF⊥△AEF所在平面,则HF⊥AF,显然一个三角形中不能有两个直角,错误;
④若HG⊥△AEF所在平面,则△AHG中有两个直角,错误,故填①③④.
课时测评
重庆六校联考]设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β,所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件;
同理,选项B,C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;
对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.
2.[2019·
河北武邑月考]如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,则下列结论不一定成立的是( )
A.PB⊥AC
B.PD⊥平面ABCD
C.AC⊥PD
D.平面PBD⊥平面ABCD
如图,对于选项A,取PB的中点O,连接AO,CO.
∵在四棱锥P-ABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,
∴AO⊥PB,CO⊥PB.
∵AO∩CO=O,∴PB⊥平面AOC.
∵AC⊂平面AOC,∴PB⊥AC,故A成立.
对于选项B,∵AC⊥BD,AC⊥PB,BD∩PB=B,∴AC⊥平面PBD.
设AC∩BD=M,连接PM,则PM⊥AC,∴PD与AC不垂直.
对于选项C,∵PB⊥平面AOC,AC⊂平面AOC,∴AC⊥PB.
∵AC⊥BD,PB∩BD=B,∴AC⊥平面PBD,
∵PD⊂平面PBD,∴AC⊥PD,故C成立.
对于选项D,∵AC⊥平面PBD,AC⊂平面ABCD,
∴平面PBD⊥平面ABCD,故D成立,故选B.
长沙模拟]如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°
,A、D分别是BF、CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起,连接AC、CF、BE、BF、CE(如图2),在折起的过程中,下列说法错误的是( )
A.AC∥平面BEF
B.B、C、E、F四点不可能共面
C.若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCD
D.平面BCE与平面BEF可能垂直
A选项,连接BD,交AC于点O,取BE的中点M,连接OM,FM,易证四边形AOMF是平行四边形,所以AO∥FM,因为FM⊂平面BEF,AC⊄平面BEF,所以AC∥平面BEF;
B选项,若B、C、E、F四点共面,因为BC∥AD,所以BC∥平面ADEF,可推出BC∥EF,又BC∥AD,所以AD∥EF,矛盾;
C选项,连接FD,在平面ADEF内,易得EF⊥FD,又EF⊥CF,FD∩CF=F,所以EF⊥平面CDF,所以EF⊥CD,又CD⊥AD,EF与AD相交,所以CD⊥平面ADEF,所以平面ADEF⊥平面ABCD;
D选项,延长AF至G,使AF=FG,连接BG、EG,易得平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于N,则FN⊥平面BCE,若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直,其垂足在BE上,矛盾.综上,选D.
4.[2019·
湖北八校联考]如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°
,∠BAD=90°
,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ACD⊥平面BCD
C.平面ABC⊥平面BCD
D.平面ACD⊥平面ABD
由题意可知,AD⊥AB,AD=AB,所以∠ABD=45°
,故∠DBC=45°
,又∠BCD=45°
,所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以平面ACD⊥平面ABD.
5.[2019·
荆州模拟]如图,在三棱柱ABC-A′B′C′中,点E,F,H,K分别为AC′,CB′,A′B′,B′C′的中点,G为△ABC的重心.从K,H,G,B′中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则P为( )
A.KB.H
C.GD.B′
取A′C′的中点M,连接EM,MK,KF,EF,则EM綊CC′綊KF,得四边形EFKM为平行四边形,若P=K,则AA′∥BB′∥CC′∥KF,故与平面PEF平行的棱超过2条;
HB′∥MK⇒HB′∥EF,若P=H或P=B′,则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面,与平面EFB′A′平行的棱只有AB,不满足条件;
连接BC′,则EF∥A′B′∥AB,若P=G,则AB,A′B′与平面PEF平行.故选C.
6.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分别是线段PB,PC上的动点,则下列说法错误的是( )
A.当AE⊥PB时,△AEF一定是直角三角形
B.当AF⊥PC时,△AEF一定是直角三角形
C.当EF∥平面ABC时,△AEF一定是直角三角形
D.当PC⊥平面AEF时,△AEF一定是直角三角形
由PA⊥底面ABC,得PA⊥BC,又AB⊥BC,所以BC⊥平面PAB,BC⊥AE.又AE⊥PB,所以AE⊥平面PBC,所以AE⊥EF,故A正确;
当EF∥平面ABC时,因为EF⊂平面PBC,平面PBC∩平面ABC=BC,所以EF∥BC,故EF⊥平面PAB,AE⊥EF,故C正确;
当PC⊥平面AEF时,PC⊥AE,又BC⊥AE,所以AE⊥平面PBC,所以AE⊥EF,故D正确.故选B.
7.[2019·
广西南宁模拟]已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的等边三角形,若球O的体积为π,则直线PC与平面PAB所成角的正切值为( )
如图,设△ABC的中心为E,M为AB的中点,过球心O作OD⊥PA,则D为PA的中点.由题意可得CM⊥平面PAB,∴∠CPM是直线PC与平面PAB所成的角.
∵△ABC是边长为2的等边三角形,
∴OD=AE=CM=.
∵π·
OP3=,
∴OP=,∴PA=2PD=2=.
∴PM==.
∴tan∠CPM==.故选A.
8.
如图,在以角C为直角顶点的三角形ABC中,AC=8,BC=6,PA⊥平面ABC,F为PB上的点,在线段AB上有一点E,满足BE=λAE.若PB⊥平面CEF,则实数λ的值为( )
∵PB⊥平面CEF,CE⊂平面CEF,∴PB⊥CE,又PA⊥平面ABC,CE⊂平面ABC,∴PA⊥CE,而PA∩PB=P,∴CE⊥平面PAB,∴CE⊥AB,∴λ====.
9.
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,且A1M=AN=a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是________.
MN∥平面BB1C1C
如图,连接AM并延长,交BB1的延长线于点P,连接CP,
则由已知可得AA1∥BB1,所以==,又=,所以==,所以MN∥PC,故有MN∥平面BB1C1C.
10.[2019·
黄冈质检]如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:
①AF⊥PB;
②EF⊥PB;
③AF⊥BC;
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________.
①②③
①由于PA⊥平面ABC,因此PA⊥BC,又AC⊥BC,因此BC⊥平面PAC,所以BC⊥AF,由于PC⊥AF,因此AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB;
②因为AE⊥PB,AF⊥PB,所以PB⊥平面AEF,因此EF⊥PB;
③在①中已证明AF⊥BC;
④若AE⊥平面PBC,由①知AF⊥平面PBC,由此可得出AF∥AE,这与AF,AE有公共点A矛盾,故AE⊥平面PBC不成立.故正确的结论为①②③.
11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明:
(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
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- 试吧 高中 全程 训练 计划 数学 天天 27
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