青岛高三统一质量检测文科数学含答案.doc
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2018年青岛市高三统一质量检测
数学(文科)
本试题卷共6页,23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
祝考试顺利
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:
每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答:
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答:
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将答题卡上交。
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则
A.B.C.D.
2.已知复数(是虚数单位),则下列命题中错误的是
A.B.在复平面上对应点在第二象限
C.D.的虚部为
3.已知双曲线的一个焦点为,一条渐近线的斜率为,则该双曲线的方程为
A.B.C.D.
4.为了得到函数的图像,可以将函数的图像
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
5.公差不为的等差数列的前项和为,若,且,则的值为
A.B.C.D.
俯视图
正视图
侧视图
6.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.B.
C.D.
开始
结束
输出
是
否
输入
7.中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有
一道两鼠穿墙问题:
“今有垣厚十尺,两鼠对穿,
初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何
日相逢?
”现用程序框图描述,如图所示,
则输出结果
A.B.
C.D.
8.函数的大致图像为
B
C
D
A
9.已知三棱柱的侧棱与底面垂直,,,则三棱柱外接球的表面积为
A.B.C.D.
10.已知,则下列结论正确的为
A. B. C. D.
11.函数在上单调递减,且的图像关于对称,若,则满足的的取值范围是
A.B.
C.D.
12.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,若的面积为,则的值为
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共4个小题,每小题5分.
13.已知向量,向量,若,则的值为;
14.已知实数,满足,则的最大值为;
15.已知某种商品的广告费支出(单位:
万元)与销售额(单位:
万元)之间有如下对应数据:
根据上表可得回归方程,其中,据此估计,当投入万元广告费时,销售额为___________万元;
16.已知数列满足:
,若数列满足,数列的前项和为,则的值为.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求解答.
(一)必考题:
共60分.
17.(12分)已知的内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角;
(2)若,且的面积是,求的值.
18.(12分)某校高三年级的名学生参加了一次数学测试,已知这名学生的成绩全部介于分到分之间(满分分),为统计学生的这次考试情况,从这名学生中随机抽取名学生的考试成绩作为样本进行统计.将这名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组:
第一组,第二组,第三组,……,第八组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
(1)求第七组的频率,并完成频率分
布直方图;
(2)估计该校高三年级的这名学
生的这次考试成绩的中位数;
(3)若从样本成绩属于第一组和第
六组的所有学生中随机抽取
名,求这名学生的分数差的
绝对值大于分的概率.
19.(12分)如图,圆柱横放在底面边长为的正六棱锥的顶点上,和分别是圆柱左和右两个底面的圆心,正六棱锥底面中心为,,分别是圆柱的底面的最高点和最低点,是圆柱的底面的最低点,为中点,点共面,点共线,四边形为矩形.
(1)求圆柱的体积,并证明:
平面;
(2)作出点在平面上的正投影,并证明之.
注:
正棱锥就是底面是一个正多边形,
顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥.
20.(12分)已知椭圆和圆,点在椭圆上,点在圆上,的最大值和最小值分别为,.
(1)求椭圆及圆的标准方程;
(2)已知为坐标原点,直线的斜率分别为,直线的斜率等于,若四边形为平行四边形,求的值.
21.(12分)已知函数(,,为自然对数的底数),若对于恒成立.
(1)求实数的值;
(2)证明:
存在唯一极大值点,且.
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修:
坐标系与参数方程(10分)
已知曲线为参数,为参数,在以原点为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中,直线.
(1)求曲线的普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若上的点对应的参数,为上的点,求的中点到直线距离的最小值.
23.选修:
不等式选讲(10分)
设函数.
(1)解不等式;
(2)若对一切实数都成立,求的取值范围.
2018年青岛市高三统一质量检测
数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:
本大题共12小题.每小题5分,共60分.
CBCDADCBCCDA
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.14.15.16.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求解答.
(一)必考题:
共60分.
17.(本题满分12分)
解:
(1)
由正弦定理得,…………………………2分
…………………………………………………4分
,………………………………………………………………………6分
(2),……………………………8分
由余弦定理得,,
……………………………………………………10分
,
………………………………………………………………………………12分
18.(本题满分12分)
解:
(1)由频率分布直方图知第七组的频率
…………2分
直方图如图.………………………………………………………………………………4分
(2)成绩落在第一组的频率为;
成绩落在第二组的频率为;
成绩落在第三组的频率为;
成绩落在第四组的频率为;
由于;
设该校的名学生这次考试成绩的中位数为,则……………………………………………………………………6分
…………………………………………………………………………………………8分
(3)第六组有学生:
人,分别记作;
第一组有学生:
人,分别记作.
从中任取人的所有基本事件为
,共个.……………………………………………10分
这名学生的分数差的绝对值大于分,表示所选人来自不同组,其基本事件有个:
所以从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取名,这名学生的分数差的绝对值大于分的概率为:
…………………………………………………12分
19.(本题满分12分)
解:
(1)正六棱锥底面中心,底面,
为中点,四边形为矩形,为的中点,,
,,从而底面,
分别是圆柱的底面的最高点和最低点,
底面,
从而共线………………………………………………………………………1分
正六棱锥的底面边长为,,
四边形为矩形,,且
为中点,,且
在中,为的中位线,从而为中点,
所以…………………………………………………………………………3分
所以圆柱的体积………………………………………………4分
下面证明:
平面
证明:
因为为中点,为中点,所以;
又因为共线,所以;………………………………………………6分
面,面,所以平面………………………………8分
(2)取中点,连接;
在中作于,则为点在平面上的正投影……………9分
下面证明之:
六棱锥为正棱锥,,从而,
正六棱锥底面中心为,底面
底面,
,平面,
平面,………………………………………………………11分
,平面,
所以点在平面上的正投影为…………………………………………………12分
20.(本题满分12分)
解:
(1)由题知:
,…………………………………………………2分
,
所以,椭圆的标准方程:
;圆的标准方程:
……………5分
(2)设直线的方程:
由………………………………………6分
设,的中点坐标为,
由得
从而…………………………………………8分
四边形为平行四边形
,满足……………………………………………………………………10分
所以:
…………………………………………12分
21.(本题满分12分)
解:
(1)由可得:
……………1分
因为,所以,
从而是的一个极小值点,
由于,所以……………………………………4分
当时,,
在上单调递减;
在上单调递增;
,故………………………………………………………………5分
(2)当时,,.
令,则
,在上为减函数;
,在上为增函数
由于,所以在上存在满足
在上为减函数,
时,,即,在上为增函数;时,,即,在上为减函数
因此在上只有一个极大值点,.………………………………………7分
由于,且在上为增函数
时,,即,在上为减函数;
时,,即,在上为增函数
因此在上只有一个极小值点,.
综上可知:
存在唯一的极大值点,且…………………………9分
,
所以,,时,,
……………………………………………………………………………12分
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本题满分10分)选修:
坐标系与参数方程
解:
(1)由题曲线的普通方程为
是以为圆心,半径为的圆………………………………………………2分
曲线的普通方程为
是以原点为中心,焦点在轴上长轴为短轴为的椭圆………………………4分
(2)当时,点坐标为…
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