届高考数学文一轮复习讲义 第2章22 函数的单调性与最值Word文档下载推荐.docx
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(3)函数y=
的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( ×
(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( ×
(5)所有的单调函数都有最值.( ×
题组二 教材改编
2.函数f(x)=x2-2x的单调递增区间是____________.
答案 [1,+∞)(或(1,+∞))
3.函数y=
在[2,3]上的最大值是______.
答案 2
4.若函数f(x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是_______.
答案 (-∞,2]
解析 由题意知,[2,+∞)⊆[m,+∞),∴m≤2.
题组三 易错自纠
5.函数y=
(x2-4)的单调递减区间为________.
答案 (2,+∞)
6.若函数f(x)=|x-a|+1的增区间是[2,+∞),则a=________.
解析 ∵f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是[a,+∞),
∴a=2.
7.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<
f(2a),则实数a的取值范围是________.
答案 [-1,1)
解析 由条件知
解得-1≤a<
1.
8.函数f(x)=
的最大值为________.
解析 当x≥1时,函数f(x)=
为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f
(1)=1;
当x<
1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.
故函数f(x)的最大值为2.
题型一 确定函数的单调性
命题点1 求函数的单调区间
例1
(1)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2)B.(-∞,1)
C.(1,+∞)D.(4,+∞)
答案 D
解析 函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>
0,解得x>
4或x<
-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).
(2)函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间是__________________.
答案 [-1,0],[1,+∞)
解析 由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;
0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
二次函数的图象如图.
由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞).
命题点2 讨论函数的单调性
例2判断并证明函数f(x)=ax2+
(其中1<
a<
3)在[1,2]上的单调性.
解 函数f(x)=ax2+
(1<
3)在[1,2]上单调递增.
证明:
设1≤x1<
x2≤2,则
f(x2)-f(x1)=ax
+
-ax
-
=(x2-x1)
,
由1≤x1<
x2≤2,得x2-x1>
0,2<
x1+x2<
4,
1<
x1x2<
4,-1<
<
.
又因为1<
3,所以2<
a(x1+x2)<
12,
得a(x1+x2)-
0,
从而f(x2)-f(x1)>
0,即f(x2)>
f(x1),
故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增.
引申探究
如何用导数法求解本例?
解 f′(x)=2ax-
=
因为1≤x≤2,所以1≤x3≤8,又1<
3,
所以2ax3-1>
0,所以f′(x)>
所以函数f(x)=ax2+
3)在[1,2]上是增函数.
思维升华确定函数单调性的方法:
(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;
(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;
(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.(4)具有单调性函数的加减.
跟踪训练1
(1)下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·
[f(x1)-f(x2)]<
0”的是( )
A.f(x)=2xB.f(x)=|x-1|
C.f(x)=
-xD.f(x)=ln(x+1)
答案 C
解析 由(x1-x2)·
0可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,A,D选项中,f(x)为增函数;
B中,f(x)=|x-1|在(0,+∞)上不单调;
对于f(x)=
-x,因为y=
与y=-x在(0,+∞)上单调递减,因此f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(2)函数f(x)=(a-1)x+2在R上单调递增,则函数g(x)=a|x-2|的单调递减区间是______________.
解析 因为f(x)在R上单调递增,所以a-1>
0,即a>
1,因此g(x)的单调递减区间就是y=|x-2|的单调递减区间(-∞,2].
(3)函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是________.
答案 [1,2]
解析 f(x)=
画出f(x)图象,
由图知f(x)的单调递减区间是[1,2].
题型二 函数的最值
1.函数y=
的值域为____________.
解析 由y=
,可得x2=
由x2≥0,知
≥0,解得-1≤y<
1,
故所求函数的值域为[-1,1).
2.函数y=x+
答案
解析 由1-x2≥0,可得-1≤x≤1.
可令x=cosθ,θ∈[0,π],
则y=cosθ+sinθ=
sin
,θ∈[0,π],
所以-1≤y≤
,故原函数的最大值为
3.函数y=|x+1|+|x-2|的值域为________.
答案 [3,+∞)
解析 函数y=
作出函数的图象如图所示.
根据图象可知,函数y=|x+1|+|x-2|的值域为[3,+∞).
4.函数y=
的值域为________________.
答案 {y|y∈R且y≠3}
解析 y=
=3+
因为
≠0,所以3+
≠3,
所以函数y=
的值域为{y|y∈R且y≠3}.
5.函数f(x)=
x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.
答案 3
解析 由于y=
x在[-1,1]上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.
6.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,但与b有关
答案 B
解析 方法一 设x1,x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点,
则m=x
+ax1+b,M=x
+ax2+b.
∴M-m=x
-x
+a(x2-x1),
显然此值与a有关,与b无关.
故选B.
方法二 由题意可知,函数f(x)的二次项系数为固定值,则二次函数图象的形状一定.随着b的变动,相当于图象上下移动,若b增大k个单位,则最大值与最小值分别变为M+k,m+k,而(M+k)-(m+k)=M-m,故与b无关.随着a的变动,相当于图象左右移动,则M-m的值在变化,故与a有关,故选B.
思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法:
先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(2)图象法:
先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(3)换元法:
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
(4)分离常数法:
形如求y=
(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.
(5)均值不等式法:
先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>
x1>
1时,[f(x2)-f(x1)]·
(x2-x1)<
0恒成立,设a=f
,b=f
(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.c>
a>
bB.c>
b>
aC.a>
c>
bD.b>
c
解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数,因为a=f
=f
,且2<
3,所以b>
c.
命题点2 解函数不等式
例4设函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<
0的解集是( )
A.{x|-3<
x<
0或x>
3}
B.{x|x<
-3或0<
C.{x|x<
-3或x>
D.{x|-3<
0或0<
解析 ∵f(x)是奇函数,f(-3)=0,
∴f(-3)=-f(3)=0,解得f(3)=0.
∵函数f(x)在(0,+∞)内是增函数,
∴当0<
3时,f(x)<
0;
当x>
3时,f(x)>
0.
∵函数f(x)是奇函数,∴当-3<
0时,f(x)>
-3时,f(x)<
则不等式f(x)<
0的解集是{x|0<
3或x<
-3}.
命题点3 求参数的取值范围
例5
(1)(2018·
全国Ⅱ)若f(x)=cosx-sinx在[0,a]上是减函数,则a的最大值是( )
A.
B.
C.
D.π
解析 ∵f(x)=cosx-sinx=-
∴当x-
∈
,即x∈
时,
y=sin
单调递增,
f(x)=-
单调递减,
∴
是f(x)在原点附近的单调减区间,
结合条件得[0,a]⊆
∴a≤
,即amax=
(2)已知函数f(x)=
若f(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为________.
答案 (1,2]
解析 由题意,得12+
a-2≤0,则a≤2,又y=ax-a(x>
1)是增函数,故a>
1,所以a的取值范围为1<
a≤2.
(3)(2018·
呼伦贝尔模拟)已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是______________.
答案 (-4,4]
解析 设g(x)=x2-ax+3a,根据对数函数及复合函数的单调性知,g(x)在[2,+∞)上是增函数,且g
(2)>
0,∴
∴-4<
a≤4,
∴实数a的取值范围是(-4,4].
思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小.
(2)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数.
①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较;
②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;
③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
跟踪训练2
(1)如果函数f(x)=
满足对任意x1≠x2,都有
0成立,那么a的取值范围是________.
解析 对任意x1≠x2,都有
所以y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
所以
解得
≤a<
2.
故实数a的取值范围是
(2)已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)<
f
的x的取值范围是______________.
解析 因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,
且满足f(2x-1)<
所以0≤2x-1<
≤x<
1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
A.y=ln(x+2)B.y=-
C.y=
xD.y=x+
答案 A
解析 函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数.
2.已知函数f(x)=
,则该函数的单调递增区间为( )
A.(-∞,1]B.[3,+∞)
C.(-∞,-1]D.[1,+∞)
解析 设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).
3.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>
f(-3)>
f(-2)
B.f(π)>
f(-2)>
f(-3)
C.f(π)<
f(-3)<
D.f(π)<
f(-2)<
解析 因为f(x)是偶函数,
所以f(-3)=f(3),f(-2)=f
(2).
又因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,
所以f(π)>
f(3)>
f
(2),
即f(π)>
f(-2).
4.已知函数f(x)=
当x1≠x2时,
0,则a的取值范围是( )
B.
C.
D.
解析 当x1≠x2时,
∴f(x)是R上的减函数.
∵f(x)=
∴0<
a≤
,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( )
A.(1,2)B.(-1,2)
C.[1,2)D.[-1,2)
解析 因为f(x)=
=-1+
在(-1,+∞)上单调递减,且f
(2)=0,所以n=2,-1≤m<
2,故选D.
6.已知函数f(x)=
则“c=-1”是“函数f(x)在R上单调递增”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若函数f(x)在R上单调递增,
则需log21≥c+1,即c≤-1.
由于c=-1,即c≤-1,但c≤-1不能得出c=-1,
所以“c=-1”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
7.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f
,b=f
,c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为________________.
答案 a>
解析 ∵f(x)在R上是奇函数,
∴a=-f
=f(log25).
又f(x)在R上是增函数,
且log25>
log24.1>
log24=2>
20.8,
∴f(log25)>
f(log24.1)>
f(20.8),∴a>
8.已知函数y=log2(ax-1)在(1,2)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
答案 [1,+∞)
解析 要使y=log2(ax-1)在(1,2)上是增函数,则a>
0且a-1≥0,即a≥1.
9.记min{a,b}=
若f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为________.
答案 6
解析 由题意知,f(x)=
易知f(x)max=f(4)=6.
10.设函数f(x)=
若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是__________________.
答案 (-∞,1]∪[4,+∞)
解析 作函数f(x)的图象如图所示,
由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,
即a≤1或a≥4.
11.已知f(x)=
(x≠a).
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
(2)若a>
0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
(1)证明 当a=-2时,f(x)=
设x1<
x2<
-2,
则f(x1)-f(x2)=
因为(x1+2)(x2+2)>
0,x1-x2<
所以f(x1)-f(x2)<
0,即f(x1)<
f(x2),
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
(2)解 设1<
x1<
x2,
因为a>
0,x2-x1>
0,所以要使f(x1)-f(x2)>
只需(x1-a)(x2-a)>
0恒成立,
所以a≤1.综上所述,0<
a≤1.
12.(2018·
盘锦调研)设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)=
(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;
(2)在
(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.
解
(1)∵f(-1)=0,∴b=a+1.
由f(x)≥0恒成立,知a>
0且方程ax2+bx+1=0中Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,∴a=1.
从而f(x)=x2+2x+1.
∴F(x)=
(2)由
(1)可知f(x)=x2+2x+1,
∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,
由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知-
≤-2或-
≥2,得k≤-2或k≥6.
即实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).
13.已知函数f(x)=
若f(2-x2)>
f(x),则实数x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-1,2)D.(-2,1)
解析 ∵当x=0时,两个表达式对应的函数值都为0,
∴函数的图象是一条连续的曲线.又∵当x≤0时,函数f(x)=x3为增函数,当x>
0时,f(x)=ln(x+1)也是增函数,∴函数f(x)是定义在R上的增函数.因此,不等式f(2-x2)>
f(x)等价于2-x2>
x,即x2+x-2<
0,解得-2<
14.已知f(x)=
不等式f(x+a)>
f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 (-∞,-2)
解析 二次函数y1=x2-4x+3的对称轴是x=2,
∴该函数在(-∞,0]上单调递减,
∴x2-4x+3≥3,同样可知函数y2=-x2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,
∴-x2-2x+3<
3,∴f(x)在R上单调递减,
∴由f(x+a)>
f(2a-x)得到x+a<
2a-x,
即2x<
a,∴2x<
a在[a,a+1]上恒成立,
∴2(a+1)<
a,∴a<
∴实数a的取值范围是(-∞,-2).
15.已知函数f(x)=2020x+ln(
+x)-2020-x+1,则不等式f(2x-1)+f(2x)>
2的解集为____________.
解析 由题意知,f(-x)+f(x)=2,
∴f(2x-1)+f(2x)>
2可化为f(2x-1)>
f(-2x),
又由题意知函数f(x)在R上单调递增,
∴2x-1>
-2x,∴x>
∴原不等式的解集为
16.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)是增函数,f
(1)=0,f(3)=1.
(1)解不等式0<
f(x2-1)<
1;
(2)若f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
解
(1)由
得
2或-2<
∴原不等式的解集为(-2,-
)∪(
,2).
(2)∵函数f(x)在(0,3]上是增函数,
∴f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)=1,
∴不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3],a∈[-1,1]恒成立转化为1≤m2-2am+1对所有a∈[-1,1]恒成立,即m2-2am≥0对所有a∈[-1,1]恒成立.
设g(a)=-2ma+m2,a∈[-1,1],
∴需满足
即
解该不等式组,得m≤-2或m≥2或m=0,
即实数m的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).
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- 届高考数学文一轮复习讲义 第2章 22 函数的单调性与最值 高考 数学 一轮 复习 讲义 函数 调性