闵行区2016年高三数学文科一模试卷(含答案).doc

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闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试

数学试卷（文科）

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．

2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．本试卷共有23道试题．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格

内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若复数满足（为虚数单位），则.

2．若全集，函数的值域为集合，则.

3．方程的解为.

4．函数的最小正周期=.

5．不等式的解集为.

6．若一圆锥的底面半径为，体积是，则该圆锥的侧面积等于.

7．已知中，，，其中是基本单位向量，则的面积为.

8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种.

9．若是等差数列的前项和，且，则.

10．若函数，且在上单调递增，则实数的最小值等于.

11．若点、均在椭圆上运动，是椭圆的左、右焦点，则的最大值为.

12．已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是.

13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：

设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（）,则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为.

14．数列的前项和为，若对任意，都有，则数列的前项和为.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．若，且，则“”是“等号成立”的（）.

（A）充要条件（B）充分不必要条件

（C）必要不充分条件（D）既非充分又非必要条件

16．设，则其反函数的解析式为（）.

（A）（B）

（C）（D）

17．的内角的对边分别为，满足，则角的范围是（）.

（A）（B）（C）（D）

18．函数的定义域为，图像如图1所示；函数的定义域为，图像如图2所示.,,则中元素的个数为（）.

（A）1（B）2（C）3（D）4

x

y

-1

O

1

2

1

图2

x

y

-1

O

1

1

-1

图1

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

C

A

B

D

A1

B1

C1

19.（本题满分12分）

如图，三棱柱中，侧棱底面，，,，为棱中点，证明异面直线与所成角为，并求三棱柱的体积．

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第

（1）小题满分8分，第

（2）小题满分6分．

O

x

y

A

B

如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，．

（1）若，，求的值；

（2）证明：

．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第

（1）小题满分6分，第

（2）小题满分8分．

x

y

A

B

M

N

P

O

大海

某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路、，海岸边界近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道，且直线与曲线有且仅有一个公共点（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段是函数图像的一段，点到、的距离分别为千米和千米，点到的距离为千米，点到的距离为千米.以、分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）求曲线段的函数关系式，并指出其定义域；

（2）求直线的方程，并求出公路的长度（结果精确到米）.

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第

（1）小题满分4分，第

（2）（3）小题满分各6分．

已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线经过点，设点，且的面积为，求的值；

（3）若直线过点，设直线，的斜率分别为，且成等差数列，求直线的方程.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第

（1）小题满分4分，第

（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．

已知数列的各项均为整数，其前项和为．规定：

若数列满足前项依次成公差为的等差数列，从第项起往后依次成公比为的等比数列，则称数列为“关联数列”．

（1）若数列为“关联数列”，求数列的通项公式；

（2）在

（1）的条件下，求出，并证明：

对任意，；

（3）若数列为“关联数列”，当时,在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求，并探究在数列{}中是否存在三项，，（其中成等差数列）成等比数列？

若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.

闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷

参考答案和评分标准

一、（第1题至第14题）

1．2；2．；3．；4．；5．；

6．；7．；8．10；9．；10．；11．；

12．理、文；13．；14．理、文.

二、（第15题至第18题）15．A；16．C；17．B；18．C.

三、（第19题至第23题）19.（本题满分12分）

[证明]在三棱柱中，侧棱底面，，或它的补角即为异面直线与所成角，…………………………2分

由，,以及正弦定理得，即，…………4分

又，，…………6分

………………8分

所以异面直线与所成角的为．……………………10分

三棱柱的体积为．……………12分

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第

（1）小题满分8分，第

（2）小题满分6分．

[解]

（1）方法一:

，=…3分

，即，…………………………………6分

．…………………………………8分

方法二:

，，即，……………3分

，两边平方得，……………………………6分

．…………………………………8分

（2）[证明]由题意得，，

=………………10分

又因为与夹角为，

=………………………12分

综上成立．……………………………14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第

（1）小题满分6分，第

（2）小题满分8分．

[解]

（1）由题意得，则，故曲线段的函数关系式为，…4分

又得，所以定义域为.…………………………………6分

（2）（理科），设由得

，,…………8分

，得直线方程为，………10分

得，故点为线段的中点，

由即………………………………12分

得时，，所以，当时，经点至路程最近.……14分

（文科）由

（1）知，设直线方程为，

由得,…8分

，，所以直线方程为，………………10分

得、，……………………………………………………12分

所以千米．答:

公路的长度为千米.………14分

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第

（1）小题满分4分，第

（2）（3）小题满分各6分．

[解]

（1）设椭圆的方程为，由题设得，…2分

，椭圆的方程是…………………………4分

（2）设直线，由得

与抛物线有两个交点，，，

则……………………………6分

到的距离，又,8分

，故．………………………10分

（3）（理科），点关于轴的对称点为，

则直线，设得12分

直线，设得…14分

，又，，

．………………………16分

（文科）设直线，由消去得，

在椭圆内部，与椭圆恒有两个交点,设，则，由成等差数列得

…………………12分

，………………………14分

即，直线的方程为．………………………16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第

（1）小题满分4分，第

（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．

[解]

（1）为“6关联数列”，前6项为等差数列，从第5项起为等比数列

且，即，解得……………2分

（或）．……………………4分

（2）由

（1）得（或）

……………………………………6分

，

，可见数列的最小项为，

证明：

，

列举法知当时，；………………………………………8分

当时，，设，则，．………………………10分

（3）（理科）为“关联数列”，且

，

……………………………12分

①当时，由得

，或．

②当时，由得，不存在…………………14分

③当时，由，

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，；当时，；

当时，舍去；当时，舍去

当时，舍去；当时，舍去………16分

综上所述，存在或或或．…………………18分

（文科）由

（1）可知，当时，，因为：

，故：

．……………………………13分

假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比数列，则：

，即：

，（*）…15分

因为成等差数列，所以，（*）式可以化简为，

即：

，故，这与题设矛盾．

所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列．…18分

（或：

因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列，而又要求成等比数列，则必为非零常数列，而显然不是非零的常数，所以不存在．）

高三年级质量调研考试文科数学试卷第12页共12页