选修4-4坐标系测试题.doc
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本章测评
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.在极坐标系中有如下三个结论:
①点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;
②tanθ=1与θ=表示同一条曲线;
③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.
在这三个结论中正确的是 ( )
A.①③ B.①
C.②③ D.③
答案:
D
解析:
点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程;tanθ=1能表示θ=和θ=π两条射线;ρ=3和ρ=-3都表示以极点为圆心,以3为半径的圆,∴只有③成立.
2.已知点M的极坐标为,下列所给出的四个坐标中不能表示点M
的坐标的是 ( )
A. B.
C. D.
答案:
A
3.已知点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为 ( )
A. B.
C. D.
答案:
C
解析:
因为点P(1,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为,所以点P的一个极坐标为,排除A、B选项,-+2π=,所以极坐标所表示的点在第二象限.故选C.
4.极坐标ρ=cos表示的曲线是 ( )
A.双曲线 B.椭圆
C.抛物线 D.圆
答案:
D
解析:
法一:
常见的是将方程化为直角坐标方程,可以判断曲线形状,由于ρ不恒等于0,方程两边同乘ρ,
得ρ2=ρcos=ρ=ρ(cosθ+sinθ),
在以极点为原点,以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中,
ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,
因此有x2+y2=(x+y),故方程ρ=cos表示圆.
法二:
极坐标方程ρ=2acosθ表示圆,而-θ与极轴的旋转有关,它只影响圆心的位置,而不改变曲线的形状,故方程ρ=cos表示圆.
5.在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的一条直线方程为 ( )
A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=4 D.ρcosθ=-4
答案:
B
解析:
如图所示,⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ,CO⊥Ox,OA为直径,|OA|4,l和圆相切,l交极轴于B(2,0),点P(ρ,θ)为l上任意一点,
则有cosθ==,得ρcosθ=2.
6.圆ρ=(cosθ+sinθ)的圆心坐标是 ( )
A. B.
C. D.
答案:
A
解析:
可化为直角坐标方程2+2=1或化为ρ=2cos,这是ρ=2rcos(θ-θ0)形式的圆的方程.
7.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ=的图形是 ( )
答案:
B
解析:
ρ=cosθ两边同乘以ρ得ρ2=ρcosθ
化为直角坐标方程为x2+y2-x=0表示圆,ρcosθ=表示过点与极轴垂直的直线.
8.化极坐标方程ρ2cosθ-ρ=0为直角坐标方程为 ( )
A.x2+y2=0或y=1 B.x=1
C.x2+y2=0或x=1 D.y=1
答案:
C
解析:
ρ(ρcosθ-1)=0,ρ==0,或ρcosθ=x=1,
即x2+y2=0或x=1.
9.极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为 ( )
A.一条射线和一个圆 B.两条直线
C.一条直线和一个圆 D.一个圆
答案:
C
解析:
∵ρcosθ=4sinθcosθ,∴cosθ=0,或ρ=4sinθ,
即ρ2=4ρsinθ,则θ=kπ+或x2+y2=4y.
10.已知f1(x)=cosx,f2(x)=cosωx(ω>0),f2(x)的图象可以看做是把f1(x)的
图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)而得到的,则ω为 ( )
A. B.2
C.3 D.
答案:
C
解析:
本题直接考查变换规律:
函数y=cosωx,x∈R(其中ω>0,ω≠1)的图象,可以看做把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.因此应选C.
11.圆ρ=5cosθ-5sinθ的圆心坐标是 ( )
A. B.
C. D.
答案:
A
解析:
化为直角坐标方程后求得圆心的直角坐标为,然后再化为极坐标即可.
12.(2011·北京)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是 ( )
A. B.
C.(1,0) D.(1,π)
答案:
B
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.直线xcosα+ysinα=0的极坐标方程为____________.
答案:
θ=+α
解析:
由互化公式得ρcosθcosα+ρsinθsinα=0,
∴cos(θ-α)=0,取θ-α=.
14.(2010·广东)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=
-1的交点的极坐标为________.
答案:
(,)
解析:
曲线ρ=2sinθ化为直角坐标系方程为x2+y2-2y=0.ρcosθ=-1可化为x=-1.将x=-1代入x2+y2-2y=0得x=-1,y=1,因此交点的直角坐标为(-1,1),化为极坐标为.
15.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<),
则曲线C1与C2交点的极坐标为________.
答案:
解析:
由,
解得即两曲线的交点为.
16.球坐标对应点的直角坐标为________.
答案:
解析:
直接代入互化公式,得
三、解答题(本大题共6小题,共74分)
17.(12分)在同一平面直角坐标系中,将直线x-2y=2变成直线2x′-y′
=4,求满足图象变换的伸缩变换.
解:
设变换为代入第二个方程,
得2λx-μy=4与x-2y=2比较,将x-2y=2变成2x-4y=4,比较系数得λ=1,μ=4.
∴伸缩变换公式为
即直线x-2y=2图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′-y′=4.
18.(12分)在直角坐标系中,已知三点P(2,2),Q(4,-4),R(6,0).
(1)将P、Q、R三点的直角坐标化为极坐标;
(2)求△PQR的面积.
解:
(1)P,Q,R(6,0).
(2)S△PQR=S△POR+S△OQR-S△POQ
=×4×6×sin+×4×6×sin-×4×4sin=14-4.
19.(12分)建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点。
解:
以正方体的一个顶点为极点,相邻的两条棱所在的射线分别为Ox轴和Oz轴.建立如图所示的球坐标系.
则有O(0,0,0),A(1,,0),B(,,),C(1,,),O(1,0,0),E(,,0),
F(,arccos,),G(,,).
20.(12分)
在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),点P是圆x2+y2=1上的一个动点,且∠AOP的平分线交PA于点Q,如图所示,求Q点的轨迹的极坐标方程.
解:
以O点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,
设Q(ρ,θ),P(1,2θ).
如图所示.
∵S△OQA+S△OQP=S△OAP,
∴·3ρsinθ+ρsinθ
=·3·1·sin2θ.
∴ρ=cosθ.
21.(12分)球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?
并将此方程化
为直角坐标方程.
解:
由球坐标系中坐标r的意义,得球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是以原点O为球心,3为半径的球面.此方程化为直角坐标方程是x2+y2+z2=9.
22.(14分)建立极坐标系证明:
已知半圆直径|AB|=2r(r>0),半圆外一条直
线l与AB所在直线垂直相交于点T,且|AT|=2a.若半圆上相异两点M、N到l的距离|MP|,|NQ|满足|MP|∶|MA|=|NQ|∶|NA|=1,则|MA|+|NA|=|AB|.
证明:
以A为极点,射线AB为极轴建立直角坐标系,则半圆的极坐标方程为ρ=2rcosθ,设M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2),则ρ1=2rcosθ1,ρ2=2rcosθ2,
又|MP|=2a+ρ1cosθ1=2a+2rcos2θ1,
|NQ|=2a+ρ2cosθ2=2a+2rcos2θ2,
∴|MP|=2a+2rcos2θ1=2rcosθ1,
|NQ|=2a+2rcos2θ2=2rcosθ2.
∴cosθ1,cosθ2是方程rcos2θ-rcosθ+a=0的两个根,
由韦达定理,cosθ1+cosθ2=1,
|MA|+|NA|=2rcosθ1+2rcosθ2=2r=|AB|.
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