选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点.doc
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3.1 空间向量及其运算知识点
1.空间向量的有关概念
(1)空间向量:
在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量.
(2)单位向量:
模为1的向量称为单位向量
(3)相等向量:
方向相同且模相等的向量.
(4)共线向量:
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.
(5)共面向量:
平行于同一个平面的向量.
2.空间向量的加法、减法与数乘运算
向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则
向量加法的多边形法则:
首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量
.
运算律:
①加法交换律:
a+b=b+a②加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)③数乘分配律:
λ(a+b)=λa+λb.
3.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.
推论:
点P在直线AB上的充要条件是:
存在实数λ,使得①
或对空间任意一点O,有②
或对空间任意一点O,有其中x+y=1③
【推论③推导过程:
】
(2)共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,那么p与a,b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使p=xa+yb
推论:
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是
存在唯一有序实数对(x,y)使,
或对空间任意一点O,有
或对空间任意一点O,有,其中x+y+z=1
【推论③推导过程:
】
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc
基底:
把{a,b,c}叫做空间的一个基底,空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
4.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角:
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉,其范围是0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉=,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
②两向量的数量积:
已知空间两个非零向量a,b,向量a,b的数量积记作a·b,且a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)空间向量数量积的运算律:
①结合律:
(λa)·b=λ(a·b);②交换律:
a·b=b·a;③分配律:
a·(b+c)=a·b+a·c.
5.空间向量的坐标表示及应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
(1)数量积的坐标运算:
a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
(2)共线与垂直的坐标表示:
a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R),
a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量).
(3)模、夹角和距离公式:
|a|==,
cos〈a,b〉==.
设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则dAB=||=.
6.用空间向量解决几何问题的一般步骤:
(1)适当的选取基底{a,b,c};
(2)用a,b,c表示相关向量;
(3)通过运算完成证明或计算问题.
题型一 空间向量的线性运算
用已知向量来表示未知向量,应结合图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,表示为其他向量的和与差的形式,进而寻找这些向量与基向量的关系.
例1:
三棱锥O—ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量,,表示,.
解析:
=+=+=+(-)=+[(+)-]=-++.
=+=-++=++.
例2:
如图所示,ABCD-A1B1C1D1中,ABCD是平行四边形.若=,=2,且,试求x、y、z的值.
.解 连接AF,=+.∵=-=-(+)
=+=-=-=-(+)=∴=+=
题型二 共线定理应用
向量共线问题:
充分利用空间向量运算法则,用空间中的向量表示a与b,化简得出a=b,从而得出a∥b,即a与b共线.
点共线问题:
证明点共线问题可转化为证明向量共线问题,如证明A、B、C三点共线,即证明与共线.
例3:
如图所示,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与是否共线?
∵
∴=2,∴∥,即与共线.
例4:
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2ED1,F在对角线A1C上,且=.
求证:
E,F,B三点共线.
证明:
设=a,=b,=c.
∴=2==b,===(-)=(+-)=a+b-c
∴E=-=a-b-c=,=++=-b-c+a=a-b-c,
∴=.所以E,F,B三点共线.
题型三 共面定理应用
点共面问题:
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P、A、B、C四点共面,只要能证明=x+y,或对空间任一点O,有=+x+y或=x+y+z(x+y+z=1)即可
例5:
已知A、B、C三点不共线,对于平面ABC外一点O,若=++,则点P是否与A、B、C一定共面?
试说明理由.
解析:
∵
∴=+,故A、B、C、P四点共面.
例6:
如图所示,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,连结PA、PB、PC、PD,点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心,应用向量共面定理证明:
E、F、G、H四点共面.
证明:
分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.
∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心,∴M、N、Q、R为所在边的中点
顺次连结M、N、Q、R,所得四边形为平行四边形,且有=,=,=,=.
∴=-=-==(+)=(-)+(-)=(-)+(-)
=+.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.
例7:
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和A1D1的中点,求证向量,,是共面向量.
证明:
如图所示,=++=-+=(+)-=-.
由向量共面的充要条件知,,是共面向量.
题型四 空间向量数量积的应用
例8:
①如图所示,平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长;
(2)求BD1与AC夹角的余弦值.
解析:
(1)记=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,∴a·b=b·c=c·a=.
||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×=6,∴||=,即AC1的长为.
(2)=b+c-a,=a+b,∴||=,||=,·=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1.
∴cos〈,〉==.∴AC与BD1夹角的余弦值为.
②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点,则·的值为( )A.a2B.a2C.a2D.a2
解析:
设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.
=(a+b),=c,∴·=(a+b)·c=(a·c+b·c)=(a2cos60°+a2cos60°)=a2.
题型五 空间向量坐标运算
例9:
如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈,〉=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为( )
A.(1,1,1) B.C. D.(1,1,2)
设PD=a(a>0),则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E,
∴=(0,0,a),=,cos〈,〉=,∴=a·,∴a=2.∴E的坐标为(1,1,1).
例10:
已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ).若a,b,c三向量共面,则实数λ=________________
解析:
由题意得c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),∴ ∴
例11:
已知△ABC的顶点A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4),试求△ABC的面积
=(1,1,1),=(2,1,3),||=,||=,·=2+1+3=6,
∴cosA=cos〈,〉==.∴sinA==.
∴S△ABC=||·||·sinA=×××=.
例12:
已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是( )
A.2, B.-,C.-3,2 D.2,2
解析 由题意知:
解得或
例13:
已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.,若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.
方法一 ∵ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,
∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,∴k=2或-,
方法二 由
(2)知|a|=,|b|=,a·b=-1,∴(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或-.
例14:
已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以,为边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.
解
(1)cos〈,〉====.∴sin〈,〉=,
∴以,为边的平行四边形的面积为S=2×||·||·sin〈,〉=14×=7.
(2)设a=(x,y,z),由题意得,解得或,
例15:
如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF至多与A1D、AC之一垂直B.EF与A1D、AC都垂直C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面
解析:
设AB=1,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.
例16:
已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当·取最小值时,点Q的坐标是__________.
解析:
设=λ=(λ,λ,2λ),则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ).
∴·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-)2-.
∴当λ=时,·取最小值为-.此时,=(,,),
综合练习
一、选择题
1、下列命题:
其中不正确的所有命题的序号为__________.
①若A、B、C、D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件;
③若a、b共线,则a与b所在直线平行;
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若=x+y+z(x、y、z∈R),则P、A、B、C四点共面.
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- 选修 第三 空间 向量 及其 运算 知识点