选修1-1第三章-导数及其应用导学案.doc
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第三章导数及其应用
沈丘三高高二数学导学案
编写人:
楚志勇审稿人:
高二数学组
§3.1.1变化率问题
【使用课时】:
1课时
【学习目标】:
1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中,经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义;
2.理解平均变化率的意义,为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.
【学习重点】:
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
【学习方法】:
分组讨论学习法、探究式.
【学习过程】:
一、课前准备(预习教材P72~P74,找出疑惑之处)
问题1气球膨胀率
我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积(单位:
)与半径(单位:
)之间的函数关系是
如果将半径表示为体积的函数,那么
在吹气球问题中,当空气容量V从0增加到1L时,气球的平均膨胀率为__________
当空气容量V从1L增加到2L时,气球的平均膨胀率为__________________
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_____________
h
t
o
问题2高台跳水
在高台跳水运动中,,运动员相对于水面的高度h(单位:
m)与起跳后的时间t(单位:
s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
在这段时间里,=_________________
在这段时间里,=_________________
问题3平均变化率已知函数,则变化率可用式子_____________,此式称之为函数从到___________.习惯上用表示,即=___________,可把看做是相对于的一个“增量”,可用代替,类似有__________________,于是,平均变化率可以表示为_______________________
提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
二、新课导学
学习探究
探究任务一:
问题1:
气球膨胀率,求平均膨胀率
吹气球时,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2:
高台跳水,求平均速度
新知:
平均变化率:
试试:
设,是数轴上的一个定点,在数轴上另取一点,与的差记为,即=或者=,就表示从到的变化量或增量,相应地,函数的变化量或增量记为,即=;如果它们的比值,则上式就表示为,此比值就称为平均变化率.
反思:
所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.
典型例题
例1过曲线上两点和作曲线的割线,求出当时割线的斜率.
变式:
已知函数的图象上一点及邻近一点,则=
例2已知函数,分别计算在下列区间上的平均变化率:
(1)[1,3];
(2)[1,2];(3)[1,1.1];(4)[1,1.001]
沈丘三高高二数学导学案
编写人:
周方审稿人:
高二数学组
§3.1.2导数的概念
【使用课时】:
1课时
【学习目标】:
1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义;
2.会运用瞬时速度的定义,求物体在某一时刻的瞬时速度.
【学习重点】:
导数概念的形成,导数内涵的理解
【学习方法】:
分组讨论学习法、探究式.
【学习过程】:
一、课前准备
(预习教材P74~P76,找出疑惑之处)
复习1:
气球的体积V与半径之间的关系是,求当空气容量V从0增加到1时,气球的平均膨胀率.
复习2:
高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为:
.求在这段时间里,运动员的平均速度.
二、新课导学
学习探究
探究任务一:
瞬时速度
问题1:
我们把物体在某一时刻的速度称为________.一般地,若物体的运动规律为,则物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内,当_________时平均速度的极限,即=___________________
时,在这段时间内
时,在这段时间内
探究任务二:
导数
问题2:
瞬时速度是平均速度当趋近于0时的
得导数的定义:
函数在处的瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作或即
注意:
(1)函数应在点的附近有定义,否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中,趋近于0可正、可负、但不为0,而可以为0
(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线上点()及点)的割线斜率
(4)导数是函数在点的处瞬时变化率,它反映的函数在点处变化的快慢程度.
小结:
由导数定义,高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度,气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.
典型例题
例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh时,原油的温度(单位:
)为.计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
总结:
函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减;它的绝对值反映函数值变化的快慢.
例2已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:
cm,时间单位:
s),
(1)当t=2,Δt=0.01时,求.
(2)当t=2,Δt=0.001时,求.
(3)求质点M在t=2时的瞬时速度
小结:
利用导数的定义求导,步骤为:
第一步,求函数的增量;
第二步:
求平均变化率;
第三步:
取极限得导数.
沈丘三高高二数学导学案
编写人:
楚士东审稿人:
高二数学组
§3.1.3导数的几何意义
【使用课时】:
1课时
【学习目标】:
通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率,理解导数的概念并会运用概念求导数.
【学习重点】:
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.
【学习方法】:
分组讨论学习法、探究式.
【学习过程】:
一、课前准备
(预习教材P76~P79,找出疑惑之处)
1.曲线的切线及切线的斜率
(1)如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,即时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线称为.
(2)割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点时,
无限趋近于切线的斜率,即==
2.导数的几何意义
函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,
即=.
二、新课导学
学习探究
探究任务:
导数的几何意义
1.曲线的切线及切线的斜率
图3.1-2
(1)如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么?
(2)如何定义曲线在点处的切线?
(3)割线的斜率与切线的斜率有什么关系?
(4)切线的斜率为多少?
说明:
(1)当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.
这个概念:
①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
(2)曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.
2.导数的几何意义
(1)函数在处的导数的几何意义是什么?
(2)将上述意义用数学式表达出来。
(3)根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程?
3.导函数
(1)由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.
注:
在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
(2)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系是什么?
区别:
联系:
典型例题
例1如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象.根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.
例2如图,它表示人体血管中药物浓度(单位:
)随时间(单位:
min)变化的函数图象.根据图象,估计=0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
当堂检测
1.求双曲线在点处的切线的斜率,并写出切线方程.
2.求在点处的导数.
※知识拓展
导数的物理意义:
如果把函数看做是物体的运动方程(也叫做位移公式,自变量表示时间),那么导数表示运动物体在时刻的速度,,即在的瞬时速度.即
而运动物体的速度对时间的导数,即称为物体运动时的瞬时加速度.
学习小结
函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率.
即=,其切线方程为
三、课后练习与提高
1.已知曲线上一点,则点处的切线斜率为()
A.4B.16C.8D.2
3.在可导,则()
A.与、都有关B.仅与有关而与无关
C.仅与有关而与无关D.与、都无关
4.若函数在处的导数存在,则它所对应的曲线在点的切线方程为
5.已知函数在处的导数为11,则
=
沈丘三高高二数学导学案
编写人:
楚志勇审稿人:
高二数学组
§3.2.1几个常用函数导数
【使用课时】:
1课时
【学习目标】:
1.握四个公式,理解公式的证明过程;
2.学会利用公式,求一些函数的导数;
3.理解变化率的概念,解决一些物理上的简单问题
【学习重点】:
四种常见函数、、、的导数公式及应用
【学习方法】:
分组讨论学习法、探究式.
【学习过程】:
一、课前准备
(预习教材P81~P82,找出疑惑之处)
复习1:
导数的几何意义是:
曲线上点()处的切线的斜率.因此,如果在点可导,则曲线在点()处的切线方程为
复习2:
求函数的导数的一般方法:
(1)求函数的改变量
(2)求平均变化率
(3)取极限,得导数==
二、新课导学
学习探究
探究任务一:
1.利用导数定义求函数的导数,并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.
2.利用导数定义求函数的导数,并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.
[来源:
学科网ZXXK
3.利用导数定义求函数的导数,并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.
4.利用导数定义求函数的导数.
5.利用导数定义求函
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- 关 键 词:
- 选修 第三 导数 及其 应用 导学案