第二章解线性方程组的直接方法 matlab用法Word格式.docx

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因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.

RA=4,RB=4,n=4

在MATLAB工作窗口输入

X=A\b,

运行后输出结果为X=（0000）’.

（2）在MATLAB工作窗口输入程序

A=[34-57;

2-33-2;

411-1316;

7-213];

b=[0;

[RA,RB,n]=jiepb（A,b）

运行后输出结果

n，所以此方程组有无穷多解.

RA=2,RB=2,n=4

（3）　在MATLAB工作窗口输入程序

A=[42-1;

3-12;

1130];

b=[2;

10;

8];

[RA,RB,n]=jiepb（A,B）

因为RA~=RB，所以此方程组无解.

RA=2,RB=3,n=3

（4）在MATLAB工作窗口输入程序

A=[21-11;

42-21;

21-1-1];

b=[1;

2;

1];

RA=2,RB=2,n=3

2.2三角形方程组的解法及其MATLAB程序

2.2.2解三角形方程组的MATLAB程序

解上三角形线性方程组

的MATLAB程序

function[RA,RB,n,X]=shangsan（A,b）

n=length（b）;

RB=rank（B）;

）

X=zeros（n,1）;

X（n）=b（n）/A（n,n）;

fork=n-1:

-1:

1

X（k）=（b（k）-sum（A（k,k+1:

n）*X（k+1:

n）））/A（k,k）;

end

例2.2.2用解上三角形线性方程组的MATLAB程序解方程组

.

A=[5-123;

0-27-4;

0065;

0003];

b=[20;

-7;

4;

6];

[RA,RB,n,X]=shangsan（A,b）

RA=RB=

4,4,

n=

4,

X=[2.4-4.0-1.02.0]’

2.3高斯（Gauss）消元法和列主元消元法及其MATLAB程序

2.3.1高斯消元法及其MATLAB程序

用高斯消元法解线性方程组

function[RA,RB,n,X]=gaus（A,b）

C=zeros（1,n+1）;

forp=1:

n-1

fork=p+1:

n

m=B（k,p）/B（p,p）;

B（k,p:

n+1）=B（k,p:

n+1）-m*B（p,p:

n+1）;

b=B（1:

n,n+1）;

A=B（1:

n,1:

n）;

forq=n-1:

X（q）=（b（q）-sum（A（q,q+1:

n）*X（q+1:

n）））/A（q,q）;

else

例2.3.2用高斯消元法和MATLAB程序求解下面的非齐次线性方程组，并且用逆矩阵解方程组的方法验证.

解在MATLAB工作窗口输入程序

A=[1-11-3;

0-1-11;

2-2-46;

1-2-41];

0;

-1;

-1];

[RA,RB,n,X]=gaus（A,b）

X=

0

-0.5000

0.5000

RA=

4

RB=

n=

2.3.2列主元消元法及其MATLAB程序

用列主元消元法解线性方程组

function[RA,RB,n,X]=liezhu（A,b）

[Y,j]=max（abs（B（p:

n,p）））;

C=B（p,:

）;

B（p,:

）=B（j+p-1,:

B（j+p-1,:

）=C;

例2.3.3用列主元消元法解线性方程组的MATLAB程序解方程组

A=[0-1-11;

1-11-3;

b=[0;

1;

-1;

[RA,RB,n,X]=liezhu（A,b）

RA=4，RB=4，n=4，X=[0-0.50.50]’

2.4LU分解法及其MATLAB程序

2.4.1判断矩阵LU分解的充要条件及其MATLAB程序

判断矩阵

能否进行LU分解的MATLAB程序

functionhl=pdLUfj（A）

[nn]=size（A）;

ifRA~=n

因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下：

'

）,RA,hl=det（A）;

return

ifRA==n

forp=1:

n,h（p）=det（A（1:

p,1:

p））;

end

hl=h（1:

fori=1:

ifh（1,i）==0

因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：

）,hl;

RA,return

ifh（1,i）~=0

因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：

hl;

RA

例2.4.1判断下列矩阵能否进行LU分解，并求矩阵的秩.

（1）

；

（2）

（3）

解

（1）在MATLAB工作窗口输入程序

A=[123;

1127;

456];

hl=pdLUfj（A）

RA=3，hl=110-48

（2）在MATLAB工作窗口输入程序

127;

RA=3，hl=1012

（3）在MATLAB工作窗口输入程序

123;

因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下

RA=2，hl=0

2.4.2直接LU分解法及其MATLAB程序

将矩阵

进行直接LU分解的MATLAB程序

functionhl=zhjLU（A）

因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下:

h（p）=det（A（1:

）,hl;

forj=1:

U（1,j）=A（1,j）;

fork=2:

fori=2:

forj=2:

L（1,1）=1;

L（i,i）=1;

ifi>

j

L（1,1）=1;

L（2,1）=A（2,1）/U（1,1）;

L（i,1）=A（i,1）/U（1,1）;

L（i,k）=（A（i,k）-L（i,1:

k-1）*U（1:

k-1,k））/U（k,k）;

U（k,j）=A（k,j）-L（k,1:

k-1,j）;

RA,U,L

例2.4.3用矩阵进行直接LU分解的MATLAB程序分解矩阵

A=[1020;

0101;

1243;

0103];

hl=zhjLU（A）

L=1000

0100

1210

0101

hl=1124

RA=4

U=1020

0021

0002

2.4.4判断正定对称矩阵的方法及其MATLAB程序

是否是正定对称矩阵的MATLAB程序

functionhl=zddc（A）

forp=1:

zA=A'

;

ifh（1,i）<

=0

因为A的各阶顺序主子式hl不全大于零，所以A不是正定的.A的转置矩阵zA和各阶顺序主子式值hl依次如下：

zA,return

ifh（1,i）>

因为A的各阶顺序主子式hl都大于零，所以A是正定的.A的转置矩阵zA和各阶顺序主子式值hl依次如下：

zA

例2.4.5判断下列矩阵是否是正定对称矩阵：

（2）

（3）

（4）

解

（1）在MATLAB工作窗口输入程序

A=[0.1234;

-12-34;

11211341;

5789];

hl=zddc（A）

A不是对称矩阵

zA=1/10-1115

22217

3-3138

44419

hl=1/1011/5-1601/103696/5

因此,

即不是正定矩阵，也不是对称矩阵.

（2）在MATLAB工作窗口输入程序

A=[1-121;

-130-3;

209-6;

1-3-619],hl=zddc（A）

A=1-121

-130-3

209-6

1-3-619

A是对称矩阵

zA=1-121

hl=12624

（3）在MATLAB工作窗口输入程序

A=[1/sqrt

（2）-1/sqrt

（2）00;

-1/sqrt

（2）1/sqrt

（2）00;

001/sqrt

（2）-1/sqrt

（2）;

00-1/sqrt

（2）1/sqrt

（2）],hl=zddc（A）

A=985/1393-985/139300

-985/1393985/139300

00985/1393-985/1393

00-985/1393985/1393

zA=985/1393-985/139300

hl=985/1393000

可见，

不是正定矩阵，是半正定矩阵；

因为

=

T因此，

是对称矩阵.

（4）在MATLAB工作窗口输入程序

A=[-211;

1-60;

10-4];

运行后输出结果

A=-211

1-60

10-4

zA=-211hl=-211-38

可见

不是正定矩阵，是负定矩阵；

=

2.5求解线性方程组的LU方法及其MATLAB程序

2.5.1解线性方程组的楚列斯基（Cholesky）分解法及其MATLAB程序

例3.5.1先将矩阵

进行楚列斯基分解,然后解矩阵方程

，并用其他方法验证.

解在工作窗口输入

A=[1-121;

209-6;

1-3-619];

b1=1:

2:

7;

b=b1'

R=chol（A）;

C=A-R'

*R,R1=inv（R）;

R2=R1'

x=R1*R2*b,Rx=A\b-x

运行后输出方程组的解和验证结果

x=Rx=1.0e-014*C=1.0e-015*

-8.0000-0.71050000

0.3333-0.08330-0.444100

3.66670.22200000

2.00000.13320000

2.5.2解线性方程组的直接LU分解法及其MATLAB程序

例3.5.2首先将矩阵

直接进行LU分解，然后解矩阵方程

，

解

（1）首先将矩阵

直接进行LU分解.在MATLAB工作窗口输入程序

2;

5];

hl=zhjLU（A）,A-L*U

运行后输出LU分解

L=1000

0100

1210

0101

hl=1124

RA=4

U=1020

0101

0021

0002

分解为一个单位下三角形矩阵

和一个上三角形矩阵

的积

（2）在工作窗口输入

U=[1020;

0021;

0002];

L=[1000;

0100;

1210;

0101];

U1=inv（U）;

L1=inv（L）;

X=U1*L1*b,x=A\b

运行后输出方程组的解

X=8.50000000000000

0.50000000000000

-3.75000000000000

1.50000000000000

2.5.3解线性方程组的选主元的LU方法及其MATLAB程序

例3.5.3先将矩阵

进行LU分解，然后解矩阵方程

其中

解方法1根据（3.28）式编写MATLAB程序，然后在工作窗口输入

[LUP]=LU（A）,U1=inv（U）;

X=U1*L1*P*b

P=0010

1000

0001

X=[-1.20133.36770.0536-1.4440]’

L=1.0000000

-0.09091.000000

0.00910.46281.00000

0.4545-0.65120.24361.0000

U=11.000021.000013.000041.0000

03.9091-1.81827.7273

003.72330.0512

000-4.6171

方法2根据（3.29）式编写MATLAB程序，然后在工作窗口输入

[FU]=LU（A）,U1=inv（U）;

F1=inv（F）;

X=U1*F1*b

U=11.000021.000013.000041.0000

03.9091-1.81827.7273

003.72330.0512

000-4.6171

F=0.00910.46281.00000

1.0000000

0.4545-0.65120.24361.0000

用LU分解法解线性方程组

function[RA,RB,n,X,Y]=LUjfcz（A,b）

ifh（1,i）~=0

X=zeros（n,1）;

Y=zeros（n,1）;

C=zeros（1,n）;

r=1:

[max1,j]=max（abs（A（p:

C=A（p,:

A（p,:

）=A（j+P1,:

C=A（j+P1,:

g=r（p）;

r（p）=r（j+P1）;

r（j+P1）=g;

H=A（k,p）/A（p,p）;

A（k,p）=H;

A（k,p+1:

n）=A（k,p+1:

n）-H*A（p,p+1:

Y

（1）=B（r

（1））;

Y（k）=B（r（k））-A（k,1:

k-1）*Y（1:

k-1）;

X（n）=Y（n）/A（n,n）;

fori=n-1:

X（i）=（Y（i）-A（i,i+1:

n）*X（i+1:

n））/A（i,i）;

[RA,RB,n,X,Y]’;

2.6误差分析及其两种MATL